ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение 1 Пусть дано числовое

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение 1. Пусть дано числовое множество. Если каждому элементу поставлено в соответствие по некоторому правилу число , то говорят, что на множестве определена числовая функция. Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, , и записывают множество называют областью определения функции и обозначают , т. е. . В записи функции число часто называют аргументом или независимой переменной, а число — зависимой переменной. Числа из множества называют значениями аргумента. Число , соответствующее значению , называют значением функции при (или значением функции в точке ) и обозначают или Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве называют множеством значений функции и обозначают. Если то существует по крайней мере одно число такое, что 8. 12. 2013 Р. Мунипов , , . 2

Для обозначения функции используются также записи вида Под словом "функция" часто понимают зависимую переменную , значения которой определяются значениями независимой переменной и правилом , или даже само это правило. Термин "функция" имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция отображает множество на множество , и называют множество образом множества при отображении. Если , то говорят, что функция отображает в. Определение 2. Пусть функции и определены на множествах и соответственно, причем множество значений функции содержится в области определения функции. Тогда функцию, принимающую при каждом значение , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и и обозначают Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 3

Определение 3. Графиком функции , в прямоугольной системе координат называют множество всех точек плоскости с координатами , где. Определение 4. Функция , определенная на множестве , называется: a) чётной, если для любого и справедливо ; b) нечётной, если для любого и справедливо . Замечание. График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат чётная нечётная 8. 12. 2013 Р. Мунипов 4

Определение 5. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует число такое, что для любого выполняется неравенство , Определение 6. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если существует число такое, что для любого выполняется неравенство , Определение 7. Функция называется ограниченной на множестве если она ограничена сверху и снизу на этом множестве 8. 12. 2013 Р. Мунипов 5

Очевидно, функция ограничена на тогда и только тогда, когда существует положительное число , такое, что для любого выполняется неравенство , Геометрически ограниченность функции на множестве график функции , лежит в полосе означает, что Определение 8. Функция называется ограниченной , если существует положительное число , такое, что для любого значения аргумента области определения функции, , справедливо неравенство, Замечание. Функция 8. 12. 2013 не ограничена на множестве Р. Мунипов , если 6

Определение 8. Пусть — множество значений, которые функция принимает на множестве . Тогда точную верхнюю грань множества называют точной верхней гранью функции обозначают , а точную нижнюю грань множества нижней гранью функции 8. 12. 2013 на множестве Р. Мунипов и обозначают и — точной. 7

Определение 9. Пусть всех значение аргумента такое, что для выполняется неравенство . Тогда функция принимает в точке наибольшее (максимальное) значение на множестве т. е. , очевидно, , . Аналогично, если , то функция принимает в точке наименьшее (минимальное) значение на множестве т. е. , или , . Максимальное и минимальное значения функции называют экстремальными. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 8

Определение 10. Функция называется возрастающей (неубывающей ) на множестве , если для любых значений аргументов таких, что выполняется неравенство , Возможны участки постоянства функции 8. 12. 2013 Р. Мунипов 9

Определение 11. Функция называется убывающей (невозрастающей ) на множестве , если для любых значений аргументов таких, что выполняется неравенство , Возможны участки постоянства функции 8. 12. 2013 Р. Мунипов 10

Определение 12. Функция называется строго возрастающей на , если для любых значений аргументов таких, что выполняется строгое неравенство , 8. 12. 2013 Р. Мунипов множестве 11

Определение 13. Функция называется строго убывающей на множестве , если для любых значений аргументов таких, что выполняется строгое неравенство 8. 12. 2013 Р. Мунипов , 12

Определение 14. Убывающие и возрастающие функции называют монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие — называют строго монотонными. Немонотонная функция 8. 12. 2013 Р. Мунипов 13

Определение 15. Число называют периодом функции , если для любого значения и также принадлежат и выполняется равенство. Функцию, имеющую период , называют периодической с периодом. Замечание. Если — период функции , то каждое число вида также является периодом этой функции. 8. 12. 2013 Р. Мунипов , где , 14

Определение 16. Функция называются обратимой, если каждое значение она принимает только при одном значении Обратимая Замечание. Прямая для каждого в единственной точке , где 8. 12. 2013 . Не обратимая пересекает график обратимой функции Р. Мунипов 15

Определение 17. Если для обратимой функции уравнение можно при любом однозначно разрешить относительно , т. е. каждому соответствует единственное значение. Такое соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции и обозначают символом Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 16

Свойства для обратной функции: 1. Если функция обратная к функции , то и функция обратной к , т. е. функции и взаимно обратные причём, 2. 3. 4. 5. будет , Для любого справедливо равенство для любого справедливо График функции симметричен графику функции относительно прямой Если нечетная функция обратима, то обратная к ней функция также является нечетной Если — строго возрастающая (строго убывающая) функция, то она обратима, причем обратная к ней функция также является строго возрастающей (строго убывающей). 8. 12. 2013 Р. Мунипов и 17

Точки и симметричны относительно прямой Ось симметрии 8. 12. 2013 Р. Мунипов 18

Определение 18. Пусть — множество точек координатной плоскости. Если каждой точке поставлено в соответствие по некоторому правилу (закону) число , то говорят, что на множестве задана числовая функция от двух переменных и , и пишут. 8. 12. 2013 Замечание. В зависимости от множества геометрическими образами функции двух переменных в пространстве могут быть либо поверхность либо пространственная кривая Р. Мунипов 19

Определение 19. Пусть прямоугольник содержится в области определения функции двух переменных , и пусть. Если на отрезке существует единственная функция такая, что и справедливо тождество , то говорят, что уравнение определяет в прямоугольнике переменную как неявную функцию переменной. Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 20

Определение 20. Пусть функции и определены на некотором множестве , и пусть — множество значений функции. Предположим, что функция обратима на множестве , и — обратная к ней функция. Тогда на множестве определена сложная функция , которую называют параметрической или параметрический заданной формулами (уравнениями). Пример. Параметрическое уравнение четверти окружности 8. 12. 2013 Р. Мунипов 21

Определение 21. Множество называется для всех справедливо неравенство -окрестностью точки , Определение 22. Множество называется проколотой точки , если точка не принадлежит , 8. 12. 2013 Р. Мунипов , если -окрестностью 22

Определение 23. Определение предела функции по Коши. Число называется пределом функции в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой точки , и для каждого найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство. В этом случае пишут , или при , или Замечание. 1. Понятие предела функции есть фундаментальное понятие теории дифференциального и интегрального исчислений. Оно характеризует поведение функции в точек предела 2. В определении предела, функция может быть не определена в предельной точке, это требование является следствием последующего определения производной функции в точке. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 23

Замечание. 3. Число есть предел функции в точке означает, что для любой -окрестности числа можно найти такую проколотую -окрестность точки , что для всех , принадлежащих этой -окрестности, соответствующие значения функции содержатся в -окрестности числа. 4. Из определения предела функции следует, что число зависит от числа 8. 12. 2013 Р. Мунипов 24

Определение 24. Определение предела функции по Гейне. Число пределом функции в точке , если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности этой точки, т. е. последовательности всех называется , сходящейся к , и для любой и такой, что для , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу . Замечание. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны. Определение по Коши называют определением предела на языке « » , определение по Гейне – на языке последовательностей. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 25

Генрих Эдуард Гейне (1821 -1881) Немецкий математик один из основоположников современного математического анализа 8. 12. 2013 Огюстен Луи Коши (1789 -1857) Францзуский математик один из основоположников современного математического анализа Р. Мунипов 26

Пример. Покажем используя определение предела по Гейне, что Пусть некоторая последовательность, у которой соответствующая последовательность функции . Тогда , где Её предел 8. 12. 2013 Р. Мунипов 27

Пример. Покажем используя определение предела по Коши, что Согласно определения предела по Коши, надо для любого положительного числа , указать положительное число зависит от , такое, что для всех значений аргумента удовлетворяющих условию , для соответствующих значений функции справедливо неравенство Пусть некоторое 8. 12. 2013 , которое в общем случае . . Тогда Р. Мунипов 28

Теорема. Определение предела функции в точке по Коши и Гейне эквивалентны. Доказательство. В определениях предела функции по Коши и по Гейне предполагается, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки существует число такое, что , т. е. . А) Покажем, что из существования предела функции в точке по Коши следует существование предела по Гейне. Пусть число точке есть предел функции по Коши; тогда Рассмотрим произвольную последовательность и такую, что для всех , сходящуюся к числу . Согласно определению предела последовательности для найденного в (*) числа номер в такой, что можно указать элементы последовательности откуда в силу условия (*) следует, что. Мунипов 8. 12. 2013 Р. . , 29

Доказательство (продолжение). Таким образом, где , причем условие (**) выполняется для любой последовательности такой, Следовательно, точке и , т. е. число . — предел функции в по Гейне. Б) Докажем обратное, что если число есть предел функции по Гейне, то это же число является пределом функции в точке по Коши, т. е. выполняется условие (*). Допустим противное, что это неверно. Тогда Согласно (***) в качестве полуинтервала обозначим 8. 12. 2013 можно взять любое число из . Возьмём число , где , и . Р. Мунипов 30

Доказательство (продолжение). В силу (***) для Из (#) следует, что выполняются неравенства и при всех , а из (# #) заключаем, что число не может быть пределом последовательности Следовательно, число не является пределом функции в точке по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение (*), т. е. существование предела по Коши. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 31

Теорема. Если функция имеет в точке предел равный , то он единственный. Доказательство. Покажем единственность предела функции. Предположим противное, что функция имеет в точке более чем один предел, например, и . Тогда по определению предела функции по Гейне, для любых последовательностей значений аргумента, например к стремящихся , соответствующие последовательности значений функции стремятся к и , Образуем последовательность из 8. 12. 2013 чередованием их элементов, Р. Мунипов 32

Доказательство (продолжение) Очевидно, построенная таким образом последовательность сходится к , т. к. каждая её подпоследовательность стремится к этому числу. Рассмотрим соответствующую этой последовательности значений аргумента последовательность значений функции, Эта последовательность не имеет предела, поскольку её подпоследовательности с нечётными и чётными номерами стремятся к различным пределам и что функция имеет в точке . Это противоречит условию теоремы, предел, т. е. для любой сходящейся к последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции имеет предел. Полученное противоречие означает единственность предела функции. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 33

Определение 25. Число если для любого числа называют пределом слева функции в точке , найдётся соответствующее ему число что для всех значений аргумента удовлетворяющих условию , такое, , для соответствующих значений функции справедливо неравенство . Предел слева обозначают Определение 26. Число если для любого числа называют пределом справа функции , найдётся соответствующее ему число что для всех значений аргумента удовлетворяющих условию соответствующих значений функции справедливо неравенство в точке , такое, , для. Предел справа обозначают Определение 27. Пределы слева и справа функции в точке называют 8. 12. 2013 Р. Мунипов односторонними пределами. 34

Замечание. Односторонние пределы характеризуют поведение функции в левой и правой полуокрестностях предельной точки. Пример. Функция «сигнум» 8. 12. 2013 Р. Мунипов 35

Замечание. Функция в точке имеет предел тогда и только тогда, когда существуют её односторонние пределы и они равны между собой, 8. 12. 2013 Р. Мунипов 36

Замечание. Аналогично, левым и правым пределам функции в точке можно определить значение предела функции в левой и правой полуокрестности самого предела функции. Если т. е. значения функции лежат в правой Если т. е. значения функции лежат в левой -полуокрестности числа . . Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 37

Определение 27. Функция любого числа имеет в точке бесконечный предел, если для , найдётся соответствующее ему число всех значений аргумента удовлетворяющих условию соответствующих значений функции справедливо неравенство такое, что для , для. Бесконечный предел обозначают или При этом функцию 8. 12. 2013 называют бесконечно большой в точке Р. Мунипов 38

Определение 28. Пусть бесконечность есть число, тогда –окрестностью бесконечности будет множество Замечание. Суть бесконечно большой функции любой -окрестности бесконечности проколотая условие в точке -окрестность точки означает, что для найдется такая , что для всех выполняется . Замечание. График бесконечно большой функции всех значений в точке для лежит вне области 8. 12. 2013 Р. Мунипов 39

Определение 29. Функция если для любого числа имеет в точке предел плюс бесконечность, , найдётся соответствующее ему число такое, что для всех значений аргумента удовлетворяющих условию соответствующих значений функции справедливо неравенство , для. Предел плюс бесконечность обозначают или где множество 8. 12. 2013 есть –окрестность числа Р. Мунипов 40

Определение 30. Функция если для любого числа имеет в точке предел минус бесконечность, , найдётся соответствующее ему число такое, что для всех значений аргумента удовлетворяющих условию соответствующих значений функции справедливо неравенство , для. Предел плюс бесконечность обозначают или где множество 8. 12. 2013 есть –окрестность числа Р. Мунипов 41

8. 12. 2013 Р. Мунипов 42

Определение 31. Если то число есть предел функции при стремлении аргумента к плюс бесконечности, Определение 33. Если то число есть предел функции при стремлении аргумента к минус бесконечности, Определение 34. Если то число есть предел функции при стремлении аргумента к бесконечности, 8. 12. 2013 Р. Мунипов 43

Свойства функций имеющих в точке конечный предел. 1. Если функция имеет предел в точке проколотая окрестность точки Пусть , в которой эта функция ограничена. , в силу определения предела по заданному числу можно найти число такое, что для всех неравенство или функция 8. 12. 2013 , то существует такая выполняется. Это означает, что ограничена на множестве Р. Мунипов 44

Свойства функций имеющих в точке конечный предел (продолжение). 2. Если , причем окрестность точки знак, что и число , то найдется такая проколотая , в которой значения функции имеют тот же . Согласно определению предела по заданному числу такое число неравенство , что для всех можно найти выполняется , или . Если А > 0, то из левого неравенства следует, что для всех то из правого неравенства следует, что для всех . Если А < 0, . Что означает справедливость утверждения. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 45

Свойства функций имеющих в точке конечный предел (продолжение). 3. Если точки , то существует такая проколотая окрестность , в которой функция ограничена. Пусть , в силу определения предела по заданному можно найти число такое, что для всех неравенство получаем для , или, в силу. Отсюда следует , что означает ограниченность функции 8. 12. 2013 выполняется Р. Мунипов , , или , на 46

Свойства функций имеющих в точке конечный предел (продолжение). 4. Если существует такая проколотая окрестность точки значений аргумента и функций справедливы , причём неравенства существует , в которой для всех , то . Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть — произвольная последовательность такая, что и . В силу существования предела у функций . По условию для функций тогда для всех получаем выполняется неравенство, . По свойству о «сжатой последовательности» следует существование 8. 12. 2013 Р. Мунипов 47

Свойства функций имеющих в точке конечный предел. (продолжение) 5. Если существует такая проколотая окрестность точки значений аргумента неравенства и функций справедливы , причём , то Замечание. Если исходное неравенство является строгим, т. е. существования пределов функций только, , в которой для всех и в точке . , то в случае можно утверждать , т. е. знак строгого неравенства между функциями при переходе к пределу, в общем случае, не сохраняется. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 48

Определение 35. Функция называется бесконечно малой в точке , если её предел в этой точке равен нулю, Свойства бесконечно малых функций в точке. 1. сумма конечного числа бесконечно малых в точке функций есть бесконечно малая функция в этой точке; 2. произведение бесконечно малой в точке функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности этой точки функцию есть бесконечно малая функция в этой же точке. Замечание. Из определения предела функции и определения бесконечно малой функции следует, что число является пределом функции в точке тогда и только тогда, когда эта функция представляется в виде , где 8. 12. 2013 Р. Мунипов 49

Замечание. Пусть существует число Тогда функция для всех будет бесконечно малой функцией в точке только тогда, когда функция 8. 12. 2013 такое, что функция . , тогда и будет бесконечно большой в этой точке, Р. Мунипов 50

Свойства определяющие арифметические действия для функций с конечным пределом в точке. Если функции причем и имеют конечные пределы в точке , то: 1. предел суммы равен сумме пределов, 2. предел произведения равен произведению пределов, 3. предел частного равен частному пределов, 4. , постоянный множитель можно выносить за знак предела, 8. 12. 2013 Р. Мунипов ; . ; ; 51

Основные приёмы вычисления пределов функции. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 52

Основные приёмы вычисления пределов функции (продолжение). 8. 12. 2013 Р. Мунипов 53

Пример. Знак предела при чётной степени определяется знаком степени еще и знаком , а при нечётной Пример. Знак предела в первом случае определяется по знакам и нечётной разности показателей степеней ( ) знаком 8. 12. 2013 Р. Мунипов , а также при 54

Пример. Первый замечательный предел. Рассмотрим круг единичного радиуса. Площадь кругового сектора с углом соотносится с площадями треугольников, . Для площадей справедливо Тогда , или Преобразуем Рассмотрим предел Значит 8. 12. 2013 Первый замечательный предел Р. Мунипов 55

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 56

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 57

Теорема. Если функция каждой точке определена и монотонна на отрезке , то в эта функция имеет конечные односторонние пределы слева или справа, а в точках и — соответственно правый и левый пределы. Доказательство. Пусть, например, функция И пусть является возрастающей на отрезке . , тогда в силу возрастания монотонной функции Значит функция ограничена сверху на следовательно у неё существует точная верхняя грань Для точной верхней грани справедливо 8. 12. 2013 Р. Мунипов 58

Доказательство (продолжение) Обозначим т. е. , очевидно , поскольку . Если , то в силу возрастания функции Тогда из полученного неравенства и определяющих свойств точной верхней грани следует Но согласно определению предела слева это означает, что существует т. е. Аналогично можно доказать, что функция имеет в точке предел справа, причём что и требовалось доказать 8. 12. 2013 Р. Мунипов 59

Следствие. Если функция и определена и возрастает на отрезке , , то Замечание. Теорема о пределе монотонной функции справедлива для любого конечного или бесконечного промежутка. При этом, если функция, не ограниченная сверху на то ), а если промежутке 8. 12. 2013 , то — возрастающая (если , — возрастающая и не ограниченная снизу на функция, то Р. Мунипов 60

Пример. Второй замечательный предел. Рассмотрим функцию подобную общему члену последовательности определяющей число Определим предел этой функции . Покажем, что для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции числу . Очевидно, для последовательности стремится к возможны следующие варианты: 1) бесконечно большие последовательности , элементами которых являются целые положительные числа, например 2) бесконечно большие последовательности, элементы которых, начиная с некоторого номера, состоят из положительных действительных чисел. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 61

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). 3) Бесконечно большие последовательности, элементы которых, начиная с некоторого номера, состоят из отрицательных вещественных чисел. 4) Бесконечно большие последовательности, содержащие бесконечно много как положительных, так и отрицательных вещественных чисел. Покажем, что в каждом из этих вариантов последовательностей значений аргумента, справедливо Пусть есть некоторая последовательность первой группы. Докажем, что Пусть некоторое положительное число. Т. к. , то согласно определения предела числовой последовательности существует номер 8. 12. 2013 , что при выполняется неравенство Р. Мунипов 62

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). Поскольку последовательность бесконечно большая и ее элементы есть целые положительные числа, то для положительного числа можно указать такой номер . Но для таких целых , что при выполняется условие , как указывалось, выполняется неравенство Значит, т. е. для первого варианта утверждение справедливо, покажем справедливость для второго. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 63

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). Пусть есть некоторая бесконечно большая последовательность, элементы которой, начиная с некоторого номера, состоят из положительных действительных чисел, — номер, начиная с которого все элементы этой последовательности больше единицы. Считая целую часть , обозначим через . Тогда или также Отсюда в силу 8. 12. 2013 , получаем Р. Мунипов 64

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). При этом 8. 12. 2013 Р. Мунипов 65

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). Тогда получаем Показали справедливость утверждения для второго варианта. Пусть — бесконечно большая последовательность, элементы которой, начиная с некоторого номера, отрицательны. Образуем новую последовательность , где , которая также будет бесконечно большой и её элементы, начиная с некоторого номера, положительными. Поэтому представляет собой последовательность второго варианта. Так как получаем, 8. 12. 2013 Р. Мунипов 66

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). тогда Покажем справедливость для четвёртой группы. Пусть — бесконечно большая последовательность, содержащие бесконечно много как положительных, так и отрицательных действительных чисел. Обозначим через подпоследовательность этой последовательности, состоящую из всех неотрицательных элементов последовательности , а через — подпоследовательность, состоящую из всех отрицательных элементов последовательности 8. 12. 2013 . По доказанному выше Р. Мунипов 67

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). т. е. для любого существует номер Поскольку последовательность , что для всех состоит лишь из справедливо и то Следовательно 8. 12. 2013 Р. Мунипов 68

Пример. Второй замечательный предел (продолжение). Таким образом показали, что для любых значений аргумента Второй замечательный предел Замечание. Из доказанного следует, что Действительно, если некоторая бесконечно малая числовая последовательность аргумента, элементы которой отличны от нуля, тогда последовательность где , будет бесконечно большой, и Тогда или 8. 12. 2013 Р. Мунипов 69

Замечание. Если для всех значений аргумента из некоторой проколотой окрестности точки и , то Замечание. Если окрестности точки для всех значений аргумента из некоторой проколотой , и то в частности 8. 12. 2013 Р. Мунипов 70

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 71

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 72

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 73

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 74

Определение 36. Функция удовлетворяет в точке условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности этой точки, где справедливо 8. 12. 2013 Р. Мунипов 75

Лемма. Пусть функция Лемма точки определена в проколотой , тогда для всякой последовательности окрестности, , сходящейся к окрестности , из этой , соответствующая последовательность значений функции будет иметь единственный конечный предел, 8. 12. 2013 Р. Мунипов 76

Покажем справедливость этого утверждения от противного. Пусть последовательности и из проколотой окрестности точки сходящиеся к имеют различные пределы для соответствующих значений функции Рассмотрим последовательность , элементы которой образуются чередованием элементов последовательностей Очевидно, и , , поскольку образована из двух сходящихся к последовательностей. Тогда для соответствующей последовательности значений функции . Причём, последовательность образована из двух сходящихся подпоследовательностей и . Значит, 8. 12. 2013 , поэтому Р. Мунипов 77

Теорема. Функция Теорема имеет в точке конечный предел тогда и только тогда, когда она удовлетворяет в этой точке условию Коши. Необходимость. Пусть Рассмотрим , тогда для которых имеет место т. е. условие Коши выполняется. Достаточность. Покажем, что если проколотая окрестность принадлежит области определения функции и выполняется условие Коши, то существует предел этой функции в точке доказать, что если и . Для этого достаточно произвольная последовательность, где , соответствующая последовательность значений функции 8. 12. 2013 Р. Мунипов 78

Достаточность (продолжение) имеет конечный предел, не зависящий от выбора последовательности . По условию выполняется условие Коши Так как то для указанного в условии Коши, согласно определения предела последовательности, найдётся номер , такой, что Это означает и , аргументов , будет выполнятся для соответствующих значений функций условие Коши, Таким образом, последовательность является фундаментальной, и по критерию Коши имеет конечный предел, поэтому по доказанной раннее лемме не зависит от выбора последовательности аргумента Следовательно, функция имеет в точке , сходящейся к . конечный предел. Теорема доказана. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 79

Определение 37. Функции и (асимптотически равными) в точке называют эквивалентными , если в некоторой окрестности этой точки определены функции такие, что т. е. Имеет место запись Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 80

Отношение эквивалентности функций в имеет свойства а) симметричности (рефлексивности): б) транзитивности: Замечание. Функции и эквивалентны при 8. 12. 2013 не имеющие нулей в проколотой окрестности точки тогда и только тогда, когда Р. Мунипов 81

Замечание. Имеют место следующие эквивалентности в точке Замечание. Если функции и , из существования предела , следует существование предела и справедливо равенство 8. 12. 2013 Р. Мунипов 82

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 83

Определение 38. Функция называется бесконечно малой высокого порядка по сравнению с функцией в точке , если в некоторой проколотой окрестности этой точки определены функции такие, что . Имеет место запись или, если в некоторой проколотой окрестности точки Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 84

Для отношения бесконечно малых функций в имеют место свойства В частности 8. 12. 2013 Р. Мунипов 85

Пусть функции функция и ограниченная в определены в некоторой , , Если имеет место равенство , то справедлива запись Пример. Очевидно, если 8. 12. 2013 , то Р. Мунипов 86

Теорема. Чтобы функции Теорема и были эквивалентными в точке необходимо и достаточно, чтобы Необходимость. Пусть , тогда поэтому Тогда или Достаточность. Пусть для рассматриваемых функций выполняется равенство , то , значит и , где это означает Замечание. Итак, очевидно, 8. 12. 2013 Р. Мунипов 87

Замечание. Рассмотренные ранее эквивалентности можно записать 8. 12. 2013 Р. Мунипов 88

Пример. 8. 12. 2013 Р. Мунипов 89

Пример. т. к. аналогично, тогда 8. 12. 2013 Р. Мунипов 90

Определение 36. Функция называется показательно-степенной, если Предел показательно-степенной функции Очевидно, тогда Случай А). 8. 12. 2013 Р. Мунипов 91