Предел функции Лекция 5 Предел функции

Предел функции Лекция № 5

Предел функции Предел по Гейне: Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любой, сходящейся к точке а последовательности значений аргумента х (отличных от а), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А. 2

Предел по Коши: Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого e-окрестности точки А, можно найти проколотую d-окрестность точки а, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат e-окрестности точки А. Определение без использования окрестностей (на языке - ): 3

Замечания: 1. Использование в определении предела проколотой окрестности является существенным, т. к. сама функция может и не существовать в точке а. 2. Можно обобщить понятие предела, если под а и А понимать не только числа, но и и использовать соответствующие окрестности. 3. В отличие от последовательностей говорить о пределе функции без указания точки, в которой вычисляется предел бессмысленно! Функции имеют в разных точках различные пределы! 4

Геометрическая иллюстрация: 5

Примеры: 6

Данная функция не имеет предела в точке а = 0 Это означает, что не существует e такое, что для любого числа А не существует нужного нам числа d 7

Односторонние пределы Определение 1. Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности x 1, x 2, …, xn, … такой, что xn > a (xn < a), соответствующая последовательность f(x 1), f(x 2), …, f(xn), … сходится к А. 8

Определение 2. ( на языке - ) Число А называется правым (левым) пределом функции в точке а, если для любого >0 существует такое >0, что для всех х из правой (левой) -окрестности точки а, т. е. a

Пример: 10

Различные виды пределов Пределы на бесконечности: Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) при х + , если для любой бесконечно большой n последовательности значений аргумента x 1, x 2, …, xn, … ( xn >0 ) соответствующая последовательность значений функции f(x 1), f(x 2), …, f(xn), … сходится к А. Число А называется пределом функции f(x) в + бесконечности, если для любой e-окрестности точки А, n можно найти N-окрестность + бесконечности, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат e-окрестности точки А. 11

12

Бесконечные пределы: (бесконечно большие функции) Функция f(x) имеет в точке а предел равный плюс бесконечности (является положительной бесконечно большой в окрестности точки а ), если для любой N-окрестности плюс бесконечности, можно найти проколотую d-окрестность точки а, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат N-окрестности плюс бесконечности. 13

Геометрическая иллюстрация, пример Аналогично можно ввести понятие бесконечно большой функции бесконечности: и т. д. 14

Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки а (в точке а), если ее предел в этой точке равен 0. Теорема. Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел в точке а необходимо и достаточно, чтобы функция (х) = f(x) – A была бесконечно малой при х а. Свойства бесконечно малых: n Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая n Величина обратная бесконечно малой есть величина бесконечно большая n Величина обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая n 15

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций Пусть при х а функции (х) являются бесконечно малыми. Тогда: 1) если , то (х) – бесконечно малая более высокого порядка, чем (х). 2) если (А – число), то (х) и (х) – бесконечно малые одного порядка. 3) если , то (х) и (х) – эквивалентные бесконечно малые. Обозначается: (х) ~ (х) 4) если , то (х) – бесконечно малая n-го порядка относительно (х). 16

Теорема. Если (х) ~ 1(х) при х а и существует , то существует причем Примеры эквивалентных бесконечно малых (при x 0): Сравнение бесконечно больших функций: Для бесконечно больших функций также имеют место аналогичные правила, учитывая, что вместо термина “порядок малости” употребляется термин “порядок роста”. 17

Основные теоремы о пределах Т 1. (О единственности предела) Если функция f(x) имеет предел в точке а, то этот предел единственный. Т 2. (О предельном переходе в неравенстве ) Пусть функции f(x) и g(x) определены на одном и том же промежутке Х и существуют пределы этих функций в т. а Кроме того, существует такое число > 0, что для всех х из -окрестности числа а f(x) g(x). Тогда A B. Т 3. (Об ограниченности функции имеющей предел) Если функция f(x) имеет конечный предел в точке а, то существуют числа М > 0 и > 0 такие, что для всех х из -окрестности точки а 18

Т 4. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, функции f(x) и h(x) имеют в точке а предел, равный А, т. е. Тогда если f(x) g(x) h(x), то Т 5. (Связь предела с алгебраическими операциями) Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы В и С. Тогда функции f(x) g(x), f(x) g(x) и f(x)/g(x) (при С 0) имеют в точке а пределы, равные В С, В С и B/C соответственно. 19

Некоторые важные пределы 1. 2. Первый замечательный предел: 20

3. Второй замечательный предел или Делая замену переменной, имеем 4. 21