Предел числовой последовательности Если по некоторому закону каждому

Предел числовой последовательности Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число аn, то говорят, что задана числовая последовательность { аn }: a 1 , a 2 , a 3 , . . . , an , . . Число А называется пределом числовой последовательности {аn}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство: аn – А Это неравенство равносильно таким двум неравенствам: А - аn А + . Предел числовой последовательности обозначается: Последовательность, имеющая предел, называется противном случае - расходящейся. сходящейся, в

Предел функции в точке Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящимся к х0, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число ( зависящее от ), что для всех х , не равных х0 и удовлетворяющих условию х- х0 , верно неравенство: f(x)– А Этот предел функции обозначается:

Предел функции в бесконечности Число А называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число S ( зависящее от ), что для всех х таких, что х S, верно неравенство: f(x)–А Этот предел функции обозначается:

Бесконечно малые величины Функция (х) называется бесконечно малой величиной при х х0 или при х , если ее предел равен нулю:

Свойства бесконечно малых величин: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе и на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие величины Функция f (x) называется бесконечно большой величиной при х х0, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М, найдется такое положительное число (зависящее от М), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию х- х0 , будет верно неравенство (х) М. Свойства бесконечно больших величин. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию имеющую предел в точке х0, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами Теорема. Если функция (х) является бесконечно малой величиной при х х0 или при х , то функция f (x)=1/ (х) есть величина бесконечно большая при х х0 или при х . И обратно, если функция f (x) есть величина бесконечно большая при х х0 или при х , то функция (х) = 1/f(x) является бесконечно малой величиной при х х0 или при х .

Связь бесконечно малых величин с пределами функций Теорема 1. Если функция f (x) имеет предел при х х0 или при х равный А, то её можно представить как сумму этого числа А и бесконечно малой (х) при х х0 или при х . Теорема 2 (обратная). Если функцию f (x) можно представить как сумму числа и бесконечно малой (х) при х х0 или при х , то число А есть предел этой функции при х х0 или при х .

Основные теоремы о пределах Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела. Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т. е. Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т. е. Следствие. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

Основные теоремы о пределах Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т. е. Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т. е.

Замечательные пределы

Раскрытие неопределенностей I. 1. Делением числителя и знаменателя на наивысшую степень. 2. Правило Лопиталя. II. Сводится к неопределенности или в результате: 1. Приведения дроби к общему знаменателю. 2. Перенесения иррациональности в знаменатель. III. сводится к или по правилу:

Раскрытие неопределенностей IV. 1. числитель и знаменатель приравнять к нулю. 2. решить полученные уравнения. 3. числитель и знаменатель разложить на множители. 4. сократить на общий множитель. При наличии иррациональности: 1. Числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное данному. 2. Применить формулу 3. Числитель и знаменатель сократить на общий множитель.

Применение эквивалентных б. м. при раскрытии неопределенности Известно, что для малых х (х→ 0) имеет место: sin x ~ x tg x ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x ex-1 ~ x ln (1+x) ~ x ax-1 ~ xlna