Правильная треугольная пирамида вписанная в шар S АQ

Правильная треугольная пирамида, вписанная в шар S АQ = ВQ = CQ = SQ= R – радиус шара. AO = BO = CO = r – радиус круга, описанного около основания пирамиды. H Q R B T C r E O P A SO = H – высота пирамиды. SЕ = h – апофема пирамиды.

Треугольная пирамида, описанная около шара E 1 Q = OQ = TQ = R – радиус шара. S EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. SO = H – высота пирамиды. E 1 R B Q T S E 1 R r E r A Q R C O P E r O

Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шар S AQ = BQ = CQ = DQ = = SQ = R – радиус шара. AO = BO = CO = DO = r радиус круга, описанного около основания пирамиды. H Q D C SO = H – высота пирамиды. R E r O P B A SЕ = h – апофема пирамиды.

Четырехугольная пирамида описана около шара E 1 Q = P 1 Q = OQ = R – радиус шара. S EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. SO = H – высота пирамиды. E 1 S B E 1 r P 1 Q C P 1 R E E M O P A P O D

Шар , вписанный в конус S Центр – точка пересечения высоты конуса и биссектрисы угла между образующей конуса и плоскостью основания (F). H S L rс K R ш Oс F Rш A O L rс K H Rш H - Rш = R ш Rк Oс F Rш L Rк O A Rк B

Шар , описанный около конуса S Центр – точка пересечения высоты конуса и серединного перпендикуляра к образующей конуса (F). Rш K R ш S Rш K A F Rш Rк F A KF L O Rш Rк Rк O H L

Шар , вписанный в цилиндр Центр – середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Rц C B H Rш = Rш F D O A Rц

Шар , описанный около цилиндра Центр – середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Rш + Rц2 = Rш2 Rц H F O

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА. ПЛОСКИЙ УГОЛ ПРИ ВЕРШИНЕ ПИРАМИДЫ РАВЕН ϒ. НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ. ПРИ КАКОМ ЗНАЧЕНИИ ϒ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ БУДЕТ НАИБОЛЬШЕЙ? Решение. Пусть NABCD – правильная четырёхугольная пирамида, NH – её высота, MN – диаметр описанной сферы. Обозначим длину бокового ребра пирамиды через b, имеем Sбок =2 b 2 sinϒ. Выразим площадь боковой поверхности пирамиды Sбок как функцию угла ϒ. Применим способ введения вспомогательного угла. Пусть NAH =α и Sбок =8 R 2 sin 2αsinϒ. Воспользуемся формулой cos α= sin Получим sin 2 α=1 – cos 2 α=1 - 2 sin 2 sin : = cosϒ. Следовательно Sбок =8 R 2 sinϒcosϒ =4 R 2 sin 2ϒ. Наибольшее значение Sбок равно 4 R 2 при ϒ=45°.

В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, объем которого 32 /3. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 6. Решение. S тогда 1) 2) 3) SP 1 Q – прямоугольный, 4) SP 1 Q SOP ( Р 1= О=90 , S – общий), P 1 Q B C P O A откуда D 5) Тогда сторона основания пирамиды вдвое больше, и равна 6)

В шар, объём которого , вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, если её боковое ребро равно , а высота больше радиуса шара. Решение. S 1) тогда 2) Пусть OQ = x, тогда из AOQ выразим Q D сторону АО: C 3) Составим теорему Пифагора для ASO: x O B A Откуда находим OQ = 4. 4) Тогда SO = 5+4=9, и АО = 3. 5) В основании пирамиды квадрат, со стороной a, равной 6)

Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6. Найдите радиус основания конуса. S Решение. 1) C = 2 r = 6 , тогда r = O 2 P = 3. 2) Sсферы = 4 R 2 =100 , тогда R = O 1 P = 5. 3) Из O 1 O 2 P по теореме Пифагора находим: О 2 Р О 1 A O 4) В O 1 PS отрезок РО 2 высота, проведенная из вершины прямого угла, значит 5) Найдем высоту конуса B SO= SO 2 +O 2 O 1+O 1 O = 2, 25 + 4 + 5 = 11, 25. 6) SО 2 Р SOВ ( О 2= О=90 , S – общий), откуда

В конус с образующей 6 6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба. S Решение. 1) Из прямоугольного SOP находим: 2) a – сторона куба, тогда О 1 3) Выразим через a: Р 1 O 4) SО 1 Р 1 SOР ( О 1= О=90 , S – общий), откуда a = 6. Р 5) V куба = a 3 = 63 = 216.

Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10. S Решение. 1) Обозначим радиус шара r, а радиус основания конуса R. т. е. 2) По условию 3) SP 1 O 1 SOP ( Р 1= О=90 , S – общий), Р 1 О 1 откуда SO 1 = 5 , коэффициент подобия треугольников k = ½. O Р 4) Заметим, что РР 1= 2 r, SP 1= 10 – 2 r, SO = 5+r. 5) Тогда откуда r = 3.