Практическое занятие № 4 «Квантовая

Практическое занятие № 4 «Квантовая оптика» СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ 1. Энергия, импульс фотона 2. Фотоэффект и его закономерности 3. Давление света 4. Эффект Комптона Справочный материал: Заряд электрона: е = 1, 6 10 -19 Кл Масса покоя электрона: m 0 = 9, 1 10 -31 Кг Комптоновская длина волны: 0 = 2, 4 10 -12 м Постоянная Планка: h = 6, 63∙ 10– 34 Дж∙с Энергия покоя электрона: Е 0 = 0, 51 Мэ. В

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Энергия фотона : ( - длина волны; с – скорость света в вакууме; h – постоянная Планка; ħ = h/2 ; - линейная частота; = 2 - угловая частота) 2. Импульс фотона : k = 2 / - волновой вектор (волновое число) 3. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта Здесь: h – энергия фотона; А – работа выхода электрона из металла; Wmax - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. 4. Красная граница фотоэффекта : где m – максимальная длина волны света, при которой ещё возможен фотоэффект.

5. Давление света (Е – энергия, падающая на единицу площади поверхности в единицу времени; с – скорость света в вакууме; – коэффициент отражения света) : Здесь: Р – мощность излучения; S – площадь поверхности; n – число фотонов, падающих на единицу площади поверхности в единицу времени; n 0 – объемная концентрация фотонов в излучении. 6. Формула Комптона - изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии на свободных электронах: Здесь – длина волны падающего рентгеновского излучения; - длина волны, рассеянной под углом к первоначальному направлению, после взаимодействия с электроном; m 0 - масса покоя электрона; 0 - комптоновская длина волны. 7. Связь полной энергии электрона c его кинетической энергией T: 8. Связь полной энергии электрона и его импульса:

1 А. Средняя длина волны излучения лампы накаливания с металлической спиралью равна = 1200 нм. Найти число фотонов n, испускаемых за единицу времени лампой мощностью Р = 200 Вт. = 1200 нм Всю энергию излучения лампы E выразим через среднюю энергию одного Р = 200 Вт кванта света и количество квантов (фотонов) N , излучаемых нагретой n-? поверхностью спирали за некоторое время t : (1) С другой стороны, энергию излучения E (2) можно выразить через мощность лампы Р : Приравняем правые части выражений (1) и (2), из полученного равенства выразим искомое количество фотонов, излучаемых лампой в единицу времени :

2 А. (19. 14) Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта, для некоторого металла 1 = 275 нм. Найти работу выхода А электрона из металла, максимальную скорость электронов Vmax, вырванных из металла светом длиной волны 2 = 180 нм и максимальную кинетическую энергию Wmax электронов. 1 = 275 нм Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта 2 = 180 нм связывает энергию фотона = h с работой выхода А А-? электрона из металла и максимальной кинетической Wmax - ? энергией Wmax свободного фотоэлектрона массой me: Vmax - ? (1) Красная граница фотоэффекта определяет наибольшую длину волны 1 = max (наименьшую частоту 1 = min) света, при которых энергии фотона хватает лишь для совершения работы выхода А. Кинетическая энергия фотоэлектрона в (1) предполагается равной нулю (W = 0): Максимальную кинетическую энергию Wmax электронов, «выбитых» светом длиной волны 2 = 180 нм найдем из (1):

3 А. (19. 15) Найти частоту света , вырывающего из металла фотоэлектроны, которые полностью задерживает напряжение UЗ = 3 В между анодом и катодом. Фотоэффект начинается при частоте света min = 6 1014 Гц. Найти работу выхода А электрона из металла. min = 6 1014 Гц Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта UЗ = 3 В связывает энергию фотона = h с работой выхода А -? А-? электрона из металла и максимальной кинетической энергией Wmax свободного фотоэлектрона массой me: (1) Максимальная кинетическая энергия Wmax свободного фотоэлектрона равна энергии запирающего электрического поля, которое препятствует их движению к аноду (2) : (2) (3) Работа выхода А электрона из металла находится из красной границы фотоэффекта (3) : Для нахождения частоты света , вырывающего фотоэлектроны, подставим (2) и (3) в (1):

4 А. (19. 18) Фотоны с энергией = 4, 9 э. В вырывают электроны из металла с работой выхода А = 4, 5 э. В. Найти максимальный импульс рmax, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона. = 4, 9 э. В Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта связывает энергию А = 4, 5 э. В фотона = h с работой выхода А электрона из металла и максимальной рmax - ? кинетической энергией Wmax свободного фотоэлектрона массой me : (1) (2) Импульс, передаваемый поверхности металла, численно равен сумме импульса фотона при поглощении его поверхностью металла и импульса вылетающего фотоэлектрона : Импульс фотона : (4) (3) Импульс фотоэлектрона: (5) Импульс фотоэлектрона (5) с учетом выражения (2) : (6) После подстановки (4) и (6) в (3) получаем :

5 А. (19. 19) Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой 1 = 2, 2 1015 Гц, полностью задерживаются запирающим напряжением UЗ 1 = 6, 6 В, а вырываемые светом с частотой 2 = 4, 6 1015 Гц задерживаются напряжением UЗ 2 = 16, 5 В. 1 = 2, 2 1015 Гц Запишем уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, которое UЗ 1 = 6, 6 В связывает энергию фотона = h с работой выхода А фотоэлектрона из 2 = 4, 6 1015 Гц металла и максимальной кинетической энергией Wmax свободного UЗ 2 = 16, 5 В фотоэлектрона массой me для света с частотами 1 и 2 соответственно : h-? (1) (2) Вычтем (1) из (2), получаем :

6 А. (19. 23) В одном из опытов Лебедева П. Н. при падении света на зачерненный (коэффициент отражения = 0) кружок угол поворота крестовины, подвешенной на упругой нити, был равен = 10. Найти световое давление Р и мощность N падающего света. Диаметр кружка d = 5 мм, расстояние от центра кружка до оси вращения L = 9, 2 мм, постоянная момента кручения (М 2 = k ) k = 2, 2 10 -11 Н м/рад. =0 Давление света на поверхность = 10 (1) с коэффициентом отражения : d = 5 мм L = 9, 2 мм J – интенсивность света (энергия, падающая k = 2, 2 10 -11 на единицу площади S за единицу времени t; (Н м/рад) с – скорость света в вакууме; Р-? N-? - коэффициент отражения поверхностью. В состоянии установившегося равновесия момент силы давления, равномерно распределенного по поверхности S диска, равен моменту равнодействующей силы F, приложенной к центру диска. (2) Найдем давление света: По условию момент внешней силы М 1 равен моменту силы упругости закрученной нити М 2: Мощность света :

7 А. (19. 26) Найти давление света р на стенки электрической лампы мощностью N = 100 Вт. Колба лампы имеет вид сферического сосуда радиусом R = 5 см. Стенки лампы отражают 4% ( ) и пропускают 6% ( ) падающего на них света. Считать, что вся потребляемая мощность идет на излучение. N = 100 Вт Уравнение баланса (1) R = 5 см энергии : = 0, 04 = 0, 06 Уравнение (1) перепишем, Р-? разделив каждое слагаемое на излучаемую энергию W : Доля энергии, поглощенной стенками лампы Wпогл , составила 90% всей энергии, падающей на поверхность колбы : Давление света Р на поверхность колбы определяется суммарным импульсом Δр, который передают ей фотоны, падающие (2) на площадь S поверхности за временя Δt: Отраженный фотон отдает колбе импульс p 1, тогда как поглощенный фотон передаст колбе вдвое больший импульс p 2 (аналогия с абсолютно упругим и абсолютно неупругим ударами): (3) (4) Энергия фотона (5) (кванта) :

Суммарный импульс, передаваемый площади S за время Δt общим числом n излученных фотонов, из которых n отразились и n поглотились: Энергия Е всех n фотонов, падающих на площадь S за временя Δt (6) (интенсивность света) : (7) Давление света на всю колбу найдем, (8) подставляя (6) в (2) с учетом (7): Энергию Е всех N фотонов, падающих на площадь S за время Δt (9) найдем, используя мощность лампы N и площадь S ее колбы : Подставим (9) в (8):

8 А. (19. 30) Какой была длина волны рентгеновского излучения, если при комптоновском рассеянии этого излучения графитом под углом = 60° длина волны рассеянного излучения оказалась равной = 25, 4 пм. = 60° Изменение длины волны рентгеновского излучения = 25, 4 пм при рассеянии на свободных электронах -? определяется формулой Комптона : Комптоновская длина волны: = 25, 4 пм - длина волны рассеянного (комптоновского) излучения. Длина волны исходного рентгеновского излучения:

9 А. (19. 31) Рентгеновские лучи с длиной волны = 20 пм испытывают комптоновское рассеяние под углом = 90°. Найти изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии, а также энергию We и импульс ре электрона отдачи. = 20 пм Изменение длины волны рентгеновского излучения = 90° при рассеянии на свободных электронах - ? We - ? определяется формулой Комптона : ре- ? Энергию электрона отдачи We найдем из закона сохранения энергии: энергия исходного фотона = hc/ равна сумме энергий рассеянного фотона = hc/ и энергии электрона We: Импульс ре электрона отдачи найдем из закона сохранения импульса: вектор импульса исходного фотона р 1 равен сумме векторов импульса рассеянного р 2 фотона и электрона ре. Кроме того, учтем ортогональность направлений распространения исходного и рассеянного излучений, рис. 2:

Импульсы исходного р 1 и рассеянного р 2 фотонов равны соответственно : Здесь длина рассеянной волны с учетом найденной величины равна Здесь длина рассеянной волны с учетом найденной величины равна : Для нахождения импульса электрона используем геометрические построения на рис. 2:

10 А. (19. 32) При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния = /2. Найти энергию 2 и импульс р2 рассеянного фотона. We = 2 = 0, 5 1 Энергия падающего = /2 фотона определяется (1) W 2 - ? р2 - ? длиной волны : Поскольку энергия рассеянного фотона вдвое меньше энергии падающего фотона, длина волны рассеянного излучения вдвое больше длины волны исходного излучения : (2) Изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на свободных (3) электронах (формула Комптона) : Энергия рассеянного фотона 2 с учетом (4): (4) Импульс рассеянного фотона р2 с учетом (4):

11 А. (19. 33) Энергия рентгеновских лучей = 0, 6 Мэ. В. Найти энергию электрона отдачи Wе, если длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния изменилась на 20%. Воспользуемся законом сохранения энергии при = 0, 6 Мэ. В рассеянии фотонов рентгеновского излучения на = 1, 2 свободных электронах вещества : энергия Wе - ? исходного фотона = hc/ равна сумме энергий рассеянного фотона = hc/ и электрона We: Здесь использовано обозначение энергии фотона исходного рентгеновского излучения: