Практическое занятие 1 Волновые свойства частиц СОДЕРЖАНИЕ

Практическое занятие 1. Волновые свойства частиц СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ 1. Волновые свойства частиц 2. Соотношения неопределенностей 3. Волна де Бройля и её свойства ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Формула де Бройля 1. 1. Формула де Бройля, связывающая длину волны де Бройля с импульсом движущейся частицы а) классическое приближение ( << с, р = m 0 ) : б) релятивистский случай ( ~ с): скорость частицы сравнима со скоростью света в вакууме :

1. 2. Формула де Бройля, связывающая длину волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы а) классическое приближение : Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы: б) релятивистский случай : (Е 0=m 0 c 2 - энергия покоя частицы) Соотношения неопределённостей: 2. 1. Для координаты и импульса частицы: ( px - неопределенность проекции импульса частицы на ось x ; x - неопределённость её координаты) 2. 2. Для энергии и времени : ( Е - неопределённость энергии данного энергетического состояния; t - время пребывания системы в этом состоянии)

1 А. (19. 34) Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов U 1 = 1 В и U 2 = 100 В. U 1 = 1 В U 2 = 100 В 1, 2 - ? Длину волны де Бройля движущихся частиц можно выразить через импульс частицы р (1) или через кинетическую энергию Т (2): (1) Кинетическую энергию Т электрона, испытавшего ускоряющее действие электростатического поля, выразим через заряд e электрона и ускоряющее напряжение U : (3) Сравним значения кинетической энергии Т электрона (3) с его энергией покоя Е 0 (4) : Поскольку кинетическая энергия электрона намного меньше его энергии покоя (Т << Е 0), формула для длины волны (2) упростится: (2) (4) (5)

2 А. (19. 35) Найти длину волны де Бройля для пучка протонов, прошедших разность потенциалов U 1 = 1 В и U 2 = 100 В. U 1 = 1 В U 2 = 100 В m 0 = 1, 67 10 -27 кг 1, 2 - ? Длину волны де Бройля движущихся частиц можно выразить через импульс частицы р (1) или через кинетическую энергию Т (2): Кинетическую энергию Т протона, испытавшего ускоряющее действие электростатического поля, выразим через заряд e протона и ускоряющее напряжение U : (3) Сравним значения кинетической энергии Т протона (3) с его энергией покоя Е 0 (4) : Поскольку кинетическая энергия протона оказалась много меньше его энергии покоя (Т << Е 0), поэтому формула для длины волны де Бройля (2) упростится: (5) (1) (2) (4)

3 А. (19. 36) Найти длину волны де Бройля для 1). - электрона, движущегося со скоростью = 106 м/с; 2). - атома водорода, движущегося с при температуре Т = 300 К; 3). - шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью = 1 см/с. 1). = 106 м/с m 0 = 9, 1 10 -31 кг 2). Т = 300 К = 2 10 -3 кг/моль NA= 6, 02 1023 (моль-1) 3). m = 1 г; = 1 см/с 1, 2, 3 - ? 1). Длина волны де Бройля электрона, скорость которого много меньше скорости света в вакууме ( << с): (1) В молекулярно-кинетической теории идеальных газов при изучении закона Максвелла для распределения молекул по скоростям и энергиям теплового движения получена формула средней квадратичной скорости молекул массой m 0 в газе, находящемся в состоянии равновесия при температуре Т = const в виде : (2) Взаимосвязь массы молекулы m 0 с молярной массой газа и числом Авогадро NA 2). Длину волны де Бройля атома водорода, движущегося с средней квадратичной скоростью кв при температуре Т = 300 К , найдем из (1) и (2), считая, что кв << с :

3). Длина волны де Бройля 3 шарика, скорость которого много меньше скорости света в вакууме ( << с) найдем из (1) : Длина волны де Бройля шарика 3 столь мала, что зарегистрировать современными средствами измерения невозможно. Длины волн де Бройля электрона 1 и атома водорода 2 вполне могут регистрироваться современными средствами измерения (область ЭМ волн, прилегающая к рентгеновскому излучению).

4 А. (19. 38) Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля = 2, 02 пм. Найти массу частицы m, если ее заряд q численно равен заряду электрона е. U = 200 В = 2, 02 пм q = 1, 6 10 -19 Кл m - ? Длину волны де Бройля движущихся частиц можно выразить через импульс частицы р (1) или через кинетическую энергию Т (2): (1) Кинетическую энергию Т , частицы, испытавшей ускоряющее действие электростатического поля, выразим через заряд q и ускоряющее напряжение U : (2) (4) (3) энергия покоя электрона (5) Поскольку энергия покоя Е 0 (4) даже такой легкой частицы, как электрон (5), много больше (Е 0 = 0, 51 Мэ. В) кинетической энергии рассматриваемой частицы (Т = 200 э. В), формулу (2) можно упростить : (5) - энергия покоя частицы

5 А. (19. 40) -частица (ядро гелия) движется по окружности радиусом R = 8, 3 мм в однородном магнитном поле напряженностью Н = 18, 9 к. А/м. Найти длину волны де Бройля -частицы . R = 8, 3 мм Н = 18, 9 к. А/м q = 2 е = 3, 2 10 -19 Кл 0 = 4 10 -7 Гн/м - ? Пренебрежем действием силы тяжести на -частицу в силу малости ее массы. Тогда ее движение определяется действием магнитной силы Лоренца. Учтем положительный заряд частицы (q = 2 е), вдвое превышающий заряд электрона. Направление действия силы Лоренца на положительный заряд находится по правилу левой руки. По 2 -му закону Ньютона сила Лоренца сообщает частице нормальное ускорение, направленное к центру окружности (траектории). Составим уравнения сил, приравняем правые части уравнений и найдем скорость частицы : (1) Длину волны де Бройля движущейся частицы выразим через ее импульс р : После подстановки (1) в (2) получаем : (2)

6 А. (19. 41) Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося с наиболее вероятной скоростью вер при температуре Т = 293 К = вер = 2 10 -3 кг/моль - ? Длину волны де Бройля движущегося атома водорода выразим через импульс р : (1) В молекулярно-кинетической теории идеальных газов при изучении закона Максвелла для распределения молекул по скоростям и энергиям теплового движения получена формула наиболее вероятной скорости молекул массой m 0 газа, находящегося в состоянии равновесия при температуре Т = const в виде : (2) Взаимосвязь массы молекулы m 0 с молярной массой газа и числом Авогадро NA 2). Длину волны де Бройля атома водорода, движущегося при температуре Т = 293 К с наиболее вероятной скоростью вер , найдем, подставляя значение скорости (2) в (1), считая, что вер << с :

7 А. (45. 22) Найти неточность х определения координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью = 1, 5 106 м/с , если допустимая неточность определения скорости составила / = 10% от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром атома водорода d = 10, 5 10 -11 м, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае. = 1, 5 106 м/с k = / = 0, 1 Неопределенности координаты х и импульса р электрона связаны соотношением: (1) Допустимая неточность определения скорости согласно условию задачи: (2) d = 10, 5 10 -11 м х - ? Подстановкой (2) в (1) получаем : Поскольку соотношение диаметра атома водорода d и неопределенности координаты х его расположения намного больше единицы, определить траекторию в таком случае невозможно. Понятие траектории здесь неприменимо.

8 А. (45. 23) Электрон с кинетической энергией Т = 15 э. В находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную неточность скорости / , с которой может быть определена скорость электрона . Т = 15 э. В d = 1 мкм / - ? Неопределенности координаты х и импульса р электрона связаны соотношением: Наибольшая неопределенность местоположения электрона ограничена предельными размерами металлической пылинки: Неопределенность импульса р в формуле (1) определяется неточностью задания скорости : Подстановкой (2) и (3) в (1) получаем : (4) (1) (2) (3) Скорость электрона найдем из его кинетической энергии : (5) Деля (4) на (5), получаем:

9 А. (45. 24) Во сколько раз длина волны де Бройля движущейся частицы меньше неопределенности ее координаты х, которая соответствует относительной неопределенности импульса р/р = 1%. р/р = 0, 01 х/ - ? Воспользуемся соотношением неопределенностей координаты х и импульса р частицы : Допустимая неточность определения импульса р согласно условию задачи: (2) Длина волны де Бройля частицы: (3) Выразим импульс частицы р через длину волны де Бройля : (4) (1) Подставим (4) в (3) и далее в (2) и (1) :

10 А. (45. 27) Используя соотношение неопределенностей для координаты х и импульса р электрона, оценить нулевой энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейный размер атома L = 0, 1 нм Еmin - ? Соотношение неопределенностей координаты х и импульса р частицы: Электрон находится в области с неопределенностью координаты х, размер которой характеризуется линейным размером атома L : В отличие от неопределенности координаты х, размер которой характеризуется линейными размерами атома, неопределенность импульса р не может превысить величину самого импульса : (1) (2) (3) Выразим величину импульса электрона Е через его кинетическую энергию Т = Е : (4) Подстановкой (4) в (3) и далее совместно с (2) в (1) получаем: