Практическое занятие 1 по эконометрике

Практическое занятие 1 по эконометрике

Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции Располагая информацией об объёмах продаж y и затратах на рекламу x 1 и индексе потребительских расходов x 2 фирмы за ряд текущих месяцев необходимо: 1. Построить диаграмму рассеяния для переменных «объё-мы продаж» y и «индекс потребительских расходов» - x 2. 2. Оценить степень влияния индекса потребительских расходов на объёмы продаж по коэффициенту парной корреляции ry, x. 3. Оценить значимость коэффициента парной корреляции. 4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции R.

126 137 148 191 274 370 432 445 367 321 307 331 345 364 384 y x 1 4, 0 4, 8 3, 8 8, 7 8, 3 9, 7 14, 18, 19, 10, 8, 6 6, 5 12, 6, 5 5, 8 5, 7 7 7 8 6 100, 98, 4 101, 103, 104, 107, 108, 109, 110, 111, 112, x 2 0 2 5 1 4 5 3 2 1 7 3 8 3 9 Решение 1. В Excel c помощью мастера диаграмм строим корреляционное поле

Вытянутость облака точек вдоль наклонной прямой позволяет сделать вывод, что существует некоторая линейная связь между x 2 и y. 2. Построим вспомогательную таблицу для выполнения расчетов. n y x y-ycp x-xcp (y-ycp) (x-xcp)2 (y-ycp)2 (x-xcp) 1 126 100 -180, 81 -7, 231 1307, 500 52, 291 32693 2 137 98, 4 -169, 81 -8, 831 1499, 657 77, 991 28836 … … … ∑ 4909 1715, 7 0, 000 5681, 994 305, 474 158718 Ср. 306, 8 107, 2 зна ч

3. Оценим степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж по коэффициенту парной корреляции. q Рассчитаем средние значения x и y (в Excel => СРЗНАЧ): q Рассчитаем дисперсии, которые характеризуют степень разброса фактора x 2 и результативного признака y :

Стандартные ошибки случайных величин x и y q Рассчитаем коэффициент парной корреляции Поскольку значение r xy близко к единице, то можно судить о положительной относительно сильной связи между x и y. 4. Оценим значимость коэффициента парной кор- реляции по t – критерию Стьюдента:

Табличное значение t - критерия находим по встроенной в Excel функции СТЬЮДРАСПОБР для уровня значимо-сти α = 0, 1 и числа степеней свободы k = n-2 =16 -2=14: tтабл = 1, 76. Поскольку tрасч > tтабл, то полученное значение rx, y значимо, те есть индекс потребительских расходов оказывает сильное влияние на объем продаж. 5. Рассчитаем матрицу R коэффициентов парной корреляции по формуле:

Матрицу R можно получить в Excel =>Анализ данных => Корреляция Объем Затраты на Индекс реализации рекламу x 1 потребительск y их расходов x 2 Объем реализации y 1 0, 646 0, 816 Затраты на рекламу 0, 646 1 0, 273 x 1 Индекс 0, 816 0, 273 1 потребительских

6. Оценим множественный коэффициент корреляции Расчет коэффициента Rj выполняется по формуле: где |R| - определитель матрицы R, равен 0, 1304, можно рассчитать в Excel по функции МОПРЕД, R 11 – алгебраическое дополнение 1 -го диагонального элемента r 11 той же матрицы R. 7. Оценим коэффициенты частной корреляции

где - алгебраическое допо лнение r 12 - алгебраическое дополнен ие r 22 Коэффициенты частной корреляции можно вычислить и по коэффициентам парной корреляции

Нелинейная регрессия (пример) По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска про-дукции (Y, млн. руб. ) от объема капиталовложений ( Х, млн. руб. ). Y 64 56 52 48 50 46 38 x 64 68 82 76 84 96 100 Требуется: 1. Для характеристики зависимости Y от Х построить модели: § Линейную (для сравнения с нелинейными); § Степенную; § Показательную; § Гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив: § индекс корреляции, § среднюю относительную ошибку, § коэффициент детерминации, § F-критерий Фишера. 3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпрета- цию рассчитанных характеристик. 4. Рассчитать прогнозные значения результа- тивного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89, 573 млн. руб. 5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение 1. Построение моделей регрессии Линейная модель Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции Вывод. Связь между объемом капиталовложений x и объемом выпуска y достаточно сильная и обратная. Уравнение линейной регрессии имеет

Для расчета построим вспомогательную таблицу n y x yx xx yi- (yi- xi- (xi- yрасч ε εотн ycp)2 xcp)2 1 64 64 4096 13, 43 180, 4 -17, 4 303, 8 60, 2 3, 84 6, 0 2 56 68 3808 4624 5, 43 29, 49 -13, 4 180, 4 58 -1, 96 3, 5 … … … … … … ∑ 354 570 2823 4749 0, 01 397, 7 0 1077, 7 -0, 02 39, 8 2 2 Cp. 50, 81, 4033, 6784, зна 6 4 1 6 ч n пер 8 Найдем значения параметров модели: Дис 56, 154 с a 1 a 0 a 1

§ Уравнение линейной модели имеет вид: y = 95, 36 - 0, 55·x С увеличением объема капиталовложений x на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции y уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. , что свидетельствует о неэффективной работе предприятий, и необходимости принятия мер для выяснения причин и устранения этого недостатка. § Рассчитаем коэффициент детерминации: R 2 = r 2 yx = 0, 822. Он показывает, что вариация объема выпуска продукции y на 82, 2 % объясняется вариацией фактора x - объема капиталовложений. § Оценим значимость уравнения регрессии по F-критерию Фишера: Поскольку F > Fтабл = 6, 61 для = 0, 05 ; к 1= m =1, k 2 = n - m -1= 5, то уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимо. § Определим среднюю относительную ошибку аппроксим. :

Степенная модель регрессии Степенная модель имеет вид: ŷ = a 0·x a 1. n Произведем линеаризацию уравнения путем логарифмирования его обеих частей: lg ŷ = lg a 0 + a 1· lg x. n Обозначим: Y = lg ŷ, A = lg a 0 , X = lg x. С учетом этого получим линейное уравнение регрессии: Y = A + a 1 · X. n yфакт lg y x lg x 1 64, 0 1, 806 64 1, 806 2 56, 0 1, 748 68 1, 833 ∑ 28 354 11, 983 570 2, 000 Ср. знач. 50, 571 1, 699 81, 429 1, 906

Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу n y Y x X Y·X X 2 ŷ ε ε 2 εотн 1 64 1, 8062 13, 43 180, 4 61, 294 2, 706 7, 322 6, 0 2 56 1, 7482 68 1, 8325 5, 43 29, 49 58, 066 -2, 066 4, 270 3, 5 … … … … … ∑ 354 11, 893 13, 3399 22, 637 25, 4528 0, 51 65, 40 42, 32 1 0 7 Cp. 1, 699 1, 9057 3, 2339 3, 6361 зна ч n Найдем значения параметров модели: a 1 a 0 a 1

Уравнение регрессии будет иметь вид : Y=3. 3991 - 0, 8921·X. § Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование последнего уравнения: ŷ = 10 3, 399 ·x -0, 892. Тогда окончательно имеем уравнение степенной модели: ŷ = 2506, 915 ·x -0, 892. § Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной. n Рассчитаем коэффициент детерминации: R 2 = ρ2 yx = 0, 9142 =0, 836. Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83, 6 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений). § Рассчитаем F-критерий Фишера: Поскольку F > Fтабл = 6, 61 для = 0, 05 ; к 1= m =1, k 2 = n - m -1= 5, то уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимо.

n Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации: n В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 6, 04 %.

Показательная функция n Уравнение показательной кривой: ŷ = a 0·a 1 x. Для построения этой модели произведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения: lg ŷ = lg a 0 + x · lg a 1 n Обозначим Y = lg ŷ, A = lg a 0 , B = lg a 1. n Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B ·x. Далее рассчитаем параметры модели.

Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу n y Y x Y·x x 2 Y- (Y-Ycp x-xcp (x- ŷ εi (y- ŷ)2 εот )2 xcp)2 Ycp н 1 64 1, 80 64 115, 6 409 0, 1072 0, 0115 - 303, 76 60, 6 3, 38 11, 464 5, 2 6 17, 43 6 9 2 56 1, 74 68 118, 9 462 0, 0492 0, 0024 - 180, 33 58, 0 - 3, 9632 3, 5 8 4 13, 43 1, 99 6 1 … … … … ∑ 354 11, 8 570 963, 2 0 0, 030 1077, 7 0, 80 67, 903 41, 9 8 9 4 C 50, 1, 69 81, 4 137, 6 678 3, 2339 3, 6361 5, 9 p 6 9 1 5 1 n зн Найдем значения параметров модели: a 1 a 0 a 1

Уравнение будет иметь вид: Y=2, 09 - 0, 0048·x n Выполним потенцирование и перейдем к исходным переменным x и y: n Рассчитаем индекс корреляции: n Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

§ Рассчитаем индекс детерминации: Вариация объема выпуска продукции y на 82, 8 % объясняется вариацией фактора x – объема капиталовложений. §Рассчитаем F-критерий Фишера: § Поскольку F > Fтабл = 6, 61 для = 0, 05 ; к 1= m =1, k 2 = n - m -1= 5, то уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимо.

n Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации: n В среднем расчетные значения ŷ для показательной модели отличаются от фактических значений на 5, 909 %.

Гиперболическая функция n. Уравнение гиперболической модели: ŷ = a 0 + a 1 / x. Для построения этой модели произве- дем ее линеаризацию путем замены пере- менных: X= 1 / x. n Получим линейное уравнение регрессии: ŷ = a 0 + a 1 ·X. Далее рассчитаем параметры модели.

Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу n y x X y. X X 2 y-ycp (y- ŷ εi (y - ŷ )2 εотн ycp)2 1 64 64 0, 0156 1, 000 0, 000244 13, 43 180, 33 61, 5 2, 489 6, 1954 3, 88 1 9 2 56 68 0, 0147 0, 824 0, 000216 5, 43 29, 47 58, 2 -2, 228 4, 9637 3, 97 3 8 … … … … ∑ 354 570 0. 0880 4, 543 0, 001132 397, 71 354, 2 -0, 246 65, 159 42, 2 7 5 Cp 50, 5 81, 4 0, 649 0, 000161 6, 02 n зн Найдем значения параметров модели: 7 1 8 9 a 1 a 0 a 1 n Запишем гиперболическую модель: ŷ = 5, 7 + 3571, 95 / х.

§ Рассчитаем индекс корреляции: n Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной n Рассчитаем индекс детерминации: n Вариация объема выпуска продукции y на 83, 5 % объясняется вариацией фактора x – объема капиталовложений.

§ Рассчитаем F-критерий Фишера: Поскольку F > Fтабл = 6, 61 для = 0, 05 ; к 1= m =1, k 2 = n - m -1= 5, то уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимо. n Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Для выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов расчета Параметры Коэффициент F - критерий Индекс Средняя отн. Модель детермин. R 2 Фишера корреляции ρyx Ошибка εотн Линейная 0, 822 23, 09 0, 907 5, 685 Степенная 0, 828 24, 06 0, 910 6, 054 Показательна 0, 828 24, 06 0, 910 5, 909 я Гиперболичес 0, 835 25, 30 0, 914 6, 029 кая Вывод. Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большие значения F – критерия Фишера и коэффициента детерминации R 2 имеет гиперболическая модель. Поэтому ее выбираем для построения прогноза.