Позиционные системы счисления Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Двоичная (используются цифры 0, 1) Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: • для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т. п. ), а не, например, с десятью, — как в десятичной; • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; • двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. В связи с этим разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2). • восьмеричная (используются цифры 0, 1, . . . , 7); • шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . . . , 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления? В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0. Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью
Правило счета: Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел • в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001; • в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100; • в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14; • в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
• Любое натуральное число N может быть единственным образом представлено в системе счисления с основанием р. N = an pn + an-1 pn-1+. . . + a 0 p 0, где ai – цифры системы счисления; 0≤ ai p-1; an 0; n – число целых разрядов.
Правило перевода целого числа из любой Р – ичной системы счисления в 10 – ую • • Запишем число в виде суммы слагаемых, где каждое слагаемое есть произведение одной из цифр переводимого числа на основание системы счисления в соответствующей степени. Степень определяется следующим образом: выпишем над цифрами переводимого числа справа налево их порядковые номера, начиная с 0 (это и будет степень, в которую надо возводить основание).
Примеры:
Правило перевода целого числа из 10 – ой системы счисления в систему счисления с основанием Р (метод деления уголком) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием р необходимо N разделить с остатком ("нацело") на основание системы счисления р (все деления выполняются в 10 -тичной системе). Полученный остаток будет младшей цифрой числа в новой системе (если остаток больше или равен 10, его надо заменить соответствующей цифрой в виде буквы). Полученное от деления частное надо снова поделить с остатком на основание системы счисления, в которую осуществляем перевод. Остаток в этой операции даст вторую цифру числа, а частное послужит исходным материалом для получения аналогичным способом третьей цифры и так далее Деление продолжается до тех пор, пока в частном не будет получено число, меньшее основания той системы счисления, в которую происходит перевод. Это частное будет старшей цифрой искомого числа. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной р-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном выполнению операций деления. Если перевод осуществлялся в систему с основанием, большим 10, получившиеся двузначные остатки следует заменить соответствующими буквенными эквивалентами.
Примеры:
Таблица степеней числа 2 Ищется ближайшая степень числа 2, не превосходящая N. Обозначим её через «х» . В этой позиции будет старшая значащая цифра двоичного числа – « 1» . Из числа N вычесть 2 Х. Для полученного числа опять ищется ближайшая степень числа 2, не превосходящая полученной разности. В данной позиции также будет стоять « 1» и т. д. Все остальные позиции заполняются « 0» .
Метод триад и тетрад Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему достаточно заменить каждую восьмеричную цифру соответствующей ей двоичной комбинацией из таблицы и избавиться при необходимости от незначащих нулей впереди Обратный перевод из двоичной системы в восьмеричную заключается в выделении троек двоичных цифр, начиная с конца двоичного числа и добавлении нулей слева для последней тройки, если в ней меньше трех цифр.
Для представления одной цифры 16 -чной системы используется четыре двоичных разряда (тетрада). Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему достаточно заменить каждую шестнадцатеричную цифру соответствующей ей двоичной комбинацией из таблицы и избавиться при необходимости от незначащих нулей впереди.
Способ перевода чисел из восьмеричной системы счисления в 16 -ричную и обратно - перевод через двоичную систему. Правило: чтобы представить некоторое восьмеричное число в 16 -ричной системе, надо сначала по методу триад перевести его в двоичный вид, а затем полученное двоичное число при помощи метода тетрад перевести в 16 -ричное. Неполную триаду дополняем слева нулями до полной. Правило: чтобы представить некоторое шестнадцатеричное число в 8 -ричной системе, надо сначала по методу тетрад перевести его в двоичный вид, а затем полученное двоичное число при помощи метода триад перевести в 8 -ричное. Неполную тетраду дополняем слева нулями до полной.
Перевод действительных чисел Перевод чисел в 10 -чную систему счисления. Для того чтобы перевести число в 10 -чную систему счисления, необходимо составить сумму степенного ряда с основанием системы, в которой записано число, а затем найти значение этой суммы.
Перевод чисел из 10 -чной системы счисления • • Перевести целую часть в систему счисления с основанием р (метод деления уголком) Перевести дробную часть в систему счисления с основанием р. При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием р необходимо: сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на p, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается в виде целых частей произведения, начиная с первого. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть пpоизведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку. В ответе перед запятой следует записать целую часть, а после запятой – дробную часть.
Если требуемая точность перевода числа N составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом = p -(k+1) / 2. Пример. Переведем число 0, 36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Арифметические операции в позиционных системах счисления При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число, большее или равное р, то представляем его в виде p*k + b, где k N – количество единиц переноса в следующий разряд 0 ≤ b ≤ p - 1 При сложении и вычитании двоичных чисел достаточно знать правила сложения двоичных цифр (таблицу сложения двоичной системы): 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10
При вычитании чисел в р-ой системе счисления цифры вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее, то занимается единица в следующем (старшем разряде). Занимаемая единица равна р единицам этого разряда (аналогично, когда занимаем единицу в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10. ) • Для двоичной системы счисления занимаемая единица = 210 = 102, • для восьмеричной системы счисления занимаемая единица = 810 = 108, • для шестнадцатеричной системы счисления занимаемая единица = 1610 = 1016.
При вычитании необходимо занимать единицу через несколько разрядов, так как в соседнем или в нескольких соседних разрядах подряд стоят нули. В этом случае надо иметь в виду, что в этих разрядах на месте нулей после того, как заняли, будет располагаться последняя цифра той системы счисления, в которой записано уменьшаемое, т. е. • цифра 1 для двоичной, • цифра 7 для восьмеричной, • цифра F для 16 -ричной систем счисления. Замечание. При выполнении арифметических операций с числами, которые находятся в разных системах счисления, необходимо перевести числа в одну и ту же систему и только потом выполнять действие. Конечно, можно в качестве такой системой счисления выбрать десятичную систему, однако, в случае, когда в числах много цифр, такой перевод будет трудоемким. Например, при переводе числа 123456789 ABCDEF 16 в десятичную систему придется вычислять 16 в степенях вплоть до четырнадцатой.
Пример 1. Из разности двух восьмеричных чисел 100100 и 61556 вычесть сумму двух 16 -ричных чисел FAD и CDC. Ответ представить в 8 -ой системе счисления. Ответ: 1118
Задание 1 Задание 2. Самостоятельно.
Умножение в позиционной системе счисления Умножение на 2 можно представить в виде суммы
Если один из сомножителей представлен в двоичной или шестнадцатеричной системе, его предварительно необходимо перевести в восьмеричную систему счисления. Сначала переведите А 3 С 516 в восьмеричную систему, используя метод тетрад и триад, а затем выполните умножение
• Пример 1. Найти шестнадцатеричное решение уравнения X = M + 7*L - T + P , где 7 - десятичное число, M - десятичное число M=3256 , P - шестнадцатеричное число P=A 01 , L - шестнадцатеричное число L= FAC , T - восьмеричное число T= 7665. • Решение: X = (M + 7 *L + P) – T
Скачать презентацию Позиционные системы счисления Система счисления — это способ
Позиционные системы счисления1.ppt