Появление многокритериальности При широком применении методов исследования

Появление многокритериальности При широком применении методов исследования операций (ИО) аналитики сталкиваться с задачами, где имеется не один, а несколько критериев оценки качества решения.

Методы решения многокритер. задач ПР Сведения к однокр-ой задачи Свертка критериев Метод контр. пок. Выдел. осн. критер Оптимизация по Парето

Пример Предположим, что приоритет первого критерия – 60%, второго – 40%.

Множество Парето • Что касается точек дуги АВ, то стремясь увеличить одну из координат, мы непременно уменьшаем другую U Граничная точка, попадающая на отрезок АB и представляет собой множество Парето. A B V Граничные точки, перемещение которых ведет к увеличению одной координаты и одновременное уменьшение другой наз. множеством Парето.

Методы решения: • • Метод уступок. Метод идеальной точки. Метод ограничений. Метод анализа иерархий.

Пример. Строительство нового аэропорта около города М. Необходимо выбрать площадку. • 1. 2. 3. Критерии: Стоимость постройки Расстояние от города Минимальное шумовое воздействие Видно, что все эти критерии противоречивы. Предположим, что комиссия отобрала для строительства аэропорта 4 варианта. Площадки A, B, C, D. Для оценки альтернатив используется метод аналитической иерархии.

Оценка многокритериальных альтернатив. Подход аналитической иерархии • • • 1. 2. 3. 4. Постановка задачи: Дано: общая цель (или) цели решения задачи; Критериев – N, альтернатив – n Требуется: выбрать наилучшую альтернативу Этапы: Структуризация задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы Далее ЛПР выполняет по парные сравнения элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводятся в числа (таблица). Вычисляются коэф. важности для элементов каждого уровня. Определяется наилучшая альтернатива.

Структуризация • Цель • Крите рии • Площад ки Строительство аэропорта Стоимость строительства С 1(млн. $) Площадка А A(180, 70, 10) Время в пути от аэропорта до центра города C 2 (время в мин. ) Площадка B B(170, 40, 15) Количество людей подверг шумовым воз-ям С 3 (тысяч. ) Площадка C C(160, 55, 20) Площадка D D(150, 25)

Шкала относительной важности Уровни важности Равная важность Умеренное превосходство Существенное превосходство Значительное превосходство Очень большое превосходство Число 1 3 5 7 9

Матрица сравнения критериев Критерии С 1 С 2 С 3 Собствен. вектор Вес критерия С 1 1 5 3 2. 47 0. 65 С 2 1/5 1 3 0. 848 0. 22 С 3 1/3 1 0. 48 0. 13 Если Сij=k, то автоматически Сji=1/k

Расчет собственного вектора

Сравнение альтернатив по каждому критерию По критерию C 1(стоимость строительства) Альтернатива A B C D A 1 0. 2 0. 14 0. 11 0. 23 0. 04 B 5 1 0. 33 0. 2 0. 76 0. 13 C 7 3 1 0. 33 1. 63 0. 27 D 9 5 3 1 Вес 3. 4 0. 56

По критерию С 2 (время проезда) • Альтернатива Соб. вектор Вес A B C D A 1 0. 11 0. 2 0. 14 0. 23 0. 05 B 9 1 3 1 2. 28 0. 43 C 5 0. 33 1 1 1. 14 0. 22 D 7 1 1. 63 0. 3

По критерию С 3 (шумовое воздействие) • Альтернатива A B C D Соб. вектор Вес A 1 3 5 9 3. 4 0. 05 B 0. 33 1 3 7 1. 63 0. 43 C 0. 2 0. 33 1 5 0. 76 0. 13 D 0. 11 0. 14 0. 2 1 0. 23 0. 04

Синтез коэффициентов важности • Осуществляется по формуле:

Выбор площадки С 1 0. 65 А 0. 04 В 0. 13 С 0. 27 С 2 0. 22 D 0. 56 A 0. 05 VA=0. 65*0. 04+ 0. 22*0. 05+0. 13* 0. 56=0. 11 С 3 0. 13 B 0. 43 VB=0. 65*0. 13+ 0. 22*0. 43+0. 13* 0. 27=0. 215 C 0. 22 B 0. 27 C 0. 13 D 0. 04 D 0. 3 VC=0. 65*0. 27+ 0. 22*0. 22+0. 13* 0. 13=0. 241 VD=0. 65*0. 56+ 0. 22*0. 3+0. 13* 0. 04=0. 431

Принятие решений в информационных системах Особый класс задач ПР: Неструктуризованные проблемы с качественными переменными К неструкт-ым относятся проблемы принятия стратегических решений экономического и политического характера; проблемы планирования научных исследований и разработок; конкурсного отбора проектов, личные проблемы выбора. В таких проблемах основные характеристики носят качественный характер, трудно поддающиеся формализации, в них отсутствуют достаточно надежные количественные модели.

Общие черты неструктуризованных проблем 1. 2. 3. 4. Они являются проблемами уникального выбора, как правило новыми. Связаны с неопределенностью в оценках альтернатив и нехваткой информации Оценка альтернатив носит качественный характер, чаще всего формулируется в словесном (вербальном) виде. Оценки альтернатив по отдельным критериям могут быть получены только от ЛПР и экспертов на основе субъективных предпочтений. При этом отсутствует объективная шкала измерения оценок по отдельным критериям.

Качественная модель ЛПР (ЛПР – лицо принимающее решение) ЛПР является центральным элементом в процессах принятия решений (ПР). Основные черты ЛПР 1. Человек, имеет ограниченный объем кратковременной памяти. Из-за этого он сознательно упрощает ситуацию, превращает часть критериев в ограничения. 2. Человек не может совершать точные количественные измерения. 3. Он время от времени совершает ошибки, противоречит сам себе. 4. Человек вырабатывает правила методом проб и ошибок 5. Ищет удовлетворительные, а не оптимальные решения. 6. Минимизирует (подсознательно) свои усилия при поиске решения.

Классификация проблем ПР В ТПР принято различать три основные задачи: 1. Определение лучшей альтернативы; 2. Ранжирование альтернатив; 3. Классификация альтернатив (отнесение альтернатив к упорядоченным классам решений). Эти задачи различаются в двух следующих ситуациях: • Альтернативы заданы на момент ПР (примеры: выбор покупателем товара в магазине, выбор места отдыха, выбор вуза для поступления, выбор места размещения предприятия, • Альтернативы неизвестны или частично известны на момент ПР (примеры: выбор правил проведения конкурсов и отбор лучших проектов; выбор правил поиска квартиры для покупки т. д. )

Измерения До появления весов сравнение предметов по тяжести осуществлялось с использованием двух отношений: E – отношение эквивалентности, L – отношение превосходства. При этом существуют условия: 1. E и L исключают друга; 2. Для двух предметов a и b либо a. Eb, либо a. Lb, b. La. Такая схема позволяет производить сопоставление предметов по одному их качеству – весу. Пример: температура. Прикладывая ладонь к предметам человек совершает относительные измерения (горячо, не чувствует t 0, холодно). Используя такие определения, мы получаем абсолютную порядковую шкалу с дискретными оценками. Но в некоторых случаях измерения могут быть сделаны только в вербальном виде с использованием сравнения ( «лучше-хуже» , «примерно одинаково» ). В спорте. «хозяева площадки всегда играют лучше чем гости»

Пример: как оценить проекты? ЛПР выделил основные критерии качества проектов со шкалами возможных значений по ним (оценки по каждому критерию расположены от лучших к худшим). Критерии оценки проектов А. Степень проверенности замысла: 1)Созданы единичные изделия; 2)Разработана технология; 3)Предложена идея. Б. Окупаемость проекта: 1)менее полугода; 2)год; 3)два года и более. В. Трудности организации производства (при наличии денег): 1)малые; 2)средние; 3)большие. Г. Наличие спроса на продукт (изделие): 1)большой спрос; 2)достаточный спрос; 3)неопределенный спрос.

Сравнение альтернатив k 1 k 2 k 3 k 4 A 1 6 8 4 6 A 2 4 6 3 5 A 3 8 5 9 6 A 4 4 6 3 5 K(A 1)>k(A 2) K(A 1)>k(A 4) K(A 1) N k(A 3) {k(A 1), k(A 3)} – эффективное множество {k(A 2), k(A 4)} – неэффективное множество

Связь между выбором некоторой альтернативы и наступлением исхода (результата) X Механизм оценки исходов Y Множество альтернатив Множество возможных исходов ЛПР Y=f(x) Графы связей альтернатив с исходами Детерминированная связь Y=g(x) Вероятностная связь и Связь при полной неопределенности

Примеры • 1. Путь из пункта А в пункт В • 2. Студент в трамвае (брать билет – не брать билет). Вероятн-ый характер. • 3. Дилемма заключенного

1 2 Н Н П (1, 1) (0, 10) П (10, 0) (6, 6)

Связь альтернатив с исходами при разных типах неопределенности 1 X 3 X 2 2 3 Y Y Y X 1, x 2, x 3 – альтернативы, Y – исходы Случай 1 – соответствует ПР в условиях определенности, 2 – в условиях неопределенности, после выбора любой из альтернатив может быть указан лишь интервал соответствующего исхода. Случай 3 отражает ситуацию выбора в условиях риска.

Пример • • 1. 2. 3. 4. Во многих случаях лицо ПР, может указать лишь множество всех тех пар исходов, для которых первый исход в паре предпочтительнее второго. Молодой ученый выбирает место своей будущей работы, исходя из следующего множества альтернатив: x 1 – ассистент в очень престижном университете с окладом 250 у. е. X 2 – доцент в электротехническом институте с окладом 350 у. е. X 3 – профессор в периферийном институте с окладом 4540 у. е. Может быть ситуация Х 1>X 2, но может быть и Х 2>X 3, но сравнивая оклады может быть и так X 3>X 1 Система предпочтений задается множеством пар (Х 1, Х 2), (Х 2, Х 3), (Х 3, Х 1)

Задачи группового выбора решений Например. Заседание военного совета. Пусть X={x 1, x 2, … , xm} – множество вариантов решения Имеется группа из N членов, принимающих (выбирающих) решение. Выбор с помощью бинарных отношений Требуется по заданной системе Ri, …, Rn индивидуальных предпочтений построить групповую (коллективную) систему предпочтений Известен парадокс голосования Принятие законопроекта в парламенте. Пусть три парламентские группы, обсуждают три варианта законопроекта a, b, c с целью утвердить один наилучший вариант. Пусть система предпочтений групп имеют соответственно следующий вид: • a>b>c R 1={(a, b), (b, c), (a, c)} • b>c>a R 2={(b, c), (c, a), (b, a)} • с>a>b R 3={(c, a), (a, b), (c, b)} Получим a>b>c>a

Выборы президента (парадокс многоступенчетого голосования)

Основные задачи выбора Один критерий Много критериев z Z z* Z* Определенность Неопределенность X – множество альтернатив Y – множество исходов Z – параметр неопределенности

Матрица решений в условиях неопределенности x z 1 x 1 Y 11 …… xj … xn . . … y 11 zj … … … zm Y 11 … Y 11 y 11 … y 11 Y=F(x, z), F: X x Z -> Y Если мы выбрали решение xi, то могут реализовываться различные исходы из соответствующей строки матрицы. Какой именно исход реализуется, зависит от значения параметра неопределенности Z.

Для решения задач в условиях полной неопределенности используются следующие критерии: Критерий Лапласа, Минимаксный критерий Вальда, Критерий Сэвиджа, Критерий Гурвица. Критерий Лапласа опирается на принцип, что поскольку распределение вероятностей состояний p(sj) неизвестно, то удобнее предположить , что вероятности всех состояний природы равны между собой, т. е. p(sj)=1/n. Тогда решение максимизации успеха составит В случае необходимости получения минимального значения ‘max’ заменяется на “min”.

Критерий принятия решений в условиях полной неопределенности • • В этом случае либо распределение вероятностей параметра z неизвестно, либо параметр z изменяется неизвестным образом. Предлагается воспользоваться гипотезой антагонизма. Она состоит в предположении, что среда ведет себя «наихудшим» (для ЛПР) образом. Это принцип выбора оптимальной альтернативы х* на основе решения задачи называется принципом гарантированного результата или принципом максимина (или критерий Вальда). Если значение функционала F(x, z) отражает наоборот «потери» , то исходная задача становится минимаксной: F(x)=max. F(x, y)->min Пример X z 1 z 2 X 1 10 100 у. е. x 2 10 000 у. е. Элементы матрицы имеют смысл «потерь» . Применение минимаксного критерия приводит к выбору х2.

далее • Критерий минимального сожаления, предложенный Сэвиджем, состоит в применении минимаксного критерия (независимо что это «доходы» или «потери» ): Матрица сожалений X z 1 Z 2 X 1 100 0 0 9900 X 2 Согласно критерию Сэвиджа, выбираем первую альтернативу x 1

Пример. Банкет. Число посетителе z 1=200, z 2=250, z 3=300, z 4=350. Необходимо для каждого из этих значений z обеспечить наилучший уровень предложений (с точки зрения возможных затрат) • Матрица затрат. Xi – варианты уровней предложений, среди которых надлежит найти оптимальный. X z 1 z 2 z 3 z 4 X 1 X 2 X 3 x 4 5 8 21 30 10 7 18 22 18 8 12 19 25 23 21 15 Видно, что все уровни предложений оказываются наилучшими для соответствующих значений zj. Применение минимаксного критерия к выбору решения позволяет получить гарантированное значение F=21, x*=x 3

Критерий Сэвиджа приводит к матрице сожалений 0 3 10 10 3 0 0 8 16 11 4 6 25 15 11 0 В результате минимаксной обработки матрицы получаем х*=х2, что соответствует сожалению равному 8.

Критерий Гурвица • • Критерий охватывает ряд различных подходов к ПР – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистического Наиболее оптимистичный подход (в предположении, что yij означает «выигрыш» или «доход» ) состоит в выборе х* из условия Аналогично при наиболее пессимистичных предположениях выбираемое решение соответствует max min yij Критерий Гурвица, называемый также критерием пессимизмаоптимизма, сводится к взвешенной комбинации обоих способов, устанавливая баланс между случаями предельного оптимизма и крайнего пессимизма. Если yij означает «прибыль» , то выбирается решение из условия

Критерий Гурвица • В том случае, когда yij представляет «затраты» , оптимальное решение будет соответствовать выражению При a=1 имеем случай предельного оптимизма, при а=0 – случай крайнего пессимизма. Промежуточные значения характеризуют ту или иную склонность лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии выраженной склонности а=1/2.

Критерий Гурвица • Критерий Гурвица при а=1/2 приводит к выбору решения x*=x 1 или x*=x 2 X Min yij Max yij a(min yij)+(1 -a)max yij x 1 5 25 15 x 2 7 23 15 x 3 12 21 16. 5 x 4 15 30 22. 5

Экспертные системы принятия решений Назначение и области применения ЭС • • • Проектирование заказных интегральных схем Разработка больших программных проектов Военные приложения Здравоохранение Риэлтерская деятельность Финансовый рынок и рынок ценных бумаг Принятие решений в кризисных ситуациях Автоматизированное комплексирование заказных компьютерных систем Информационные образовательные технологии Системы контроля знаний обучающих Задачи планирования и рационального распределения ресурсов и т. д.

Диагностирующие и управляющие системы Х Y S ЭС УУ S – диагностируемая система УУ – устройство управления ЭС должна делать заключение о «правильности» функционирования S S – это может быть техническое устройство, человек, группа лиц, государственный орган и т. п. ЭС будет выполнять функции управления с целью вывода S из критической ситуации

Классы ЭС • • Диагностирующие системы Прогнозирующие системы Планирующие системы Интерпретирующие (анализирующие) системы

Принятие решений в условиях риска (задача о замене вратаря) Y 1(В) Y 2(Н) 1/2 7/8 Y 3(П) 1/3 1/6 1/8 x 1 x 2 Статистика игр дает, что замена вратаря (x 1) в 1/6 дает выигрыш, в половине случаев – ничья, в 1/3 – поражение. Если вратарь не заменялся (x 2), то в 7/8 – ничья, в 1/8 – проигрыш. Z 1: Z 2: Z 3: Z 4: Z 5: Z 6: x 1 ->B, x 2 ->H x 1 ->H, x 2 ->H x 1 ->П, x 2 ->H x 1 ->B, x 2 -> П x 1 ->H, x 2 -> П x 1 ->П, x 2 -> П p(z 1)=1/6 x 7/8=7/48 p(z 2)=1/2 x 7/8=7/16 p(z 3)=1/3 x 7/8=7/24 p(z 4)=1/6 x 1/8=1/48 p(z 5)=1/2 x 1/8=1/16 p(z 6)=1/3 x 1/8=1/24 Здесь F(x, z) или Z – функция реализации

продолжение Каждому состоянию среды zj соответствует вероятность его наступления где - заданная вероятность наступления исхода yj при выборе альтернативы xi Задача оптимизации сводится к нахождению функционала F(x, z)->max Вместо y=f(x) имеем в условиях риска в качестве функции реализации зависимость y=F(x, z). Здесь целевая функция задана, но задана не совсем точно – она содержит неопределенный параметр z. Правило выбора оптимальной альтернативы на основе решения задачи оптимизации называется критерием математического ожидания (или критерием Байеса-Лапласа).

Далее • • • Будем численно оценивать исход игры по получаемым очкам: В – 2 очка, Н – 1 очко, П – 0 очков Получим матрицу успехов при замене вратаря X x 1 x 2 Z 1(7/48) Z 2(7/16) Z 3(7/24) Z 4(1/48) Z 6(1/16) Z 6(1/24) 2 1 0 1 1 1 0 0 0 F(x 1, z)=2(7/48)+1(7/16)+2(1/48)+1(1/16)=5/6=0. 833 F(x 2, z)=1(7/48)+1(7/16)+1(7/24)=7/8=0. 875 F(x 2, z)>F(x 1, z) заменять вратаря нецелесообразно. Если за победу будут давать 3 очка, тогда F(x 1, z)=0, 979, замена вратаря была бы целесообразной.

Thank you