Повторение C b A h bc Соотношения между

Повторение C b A h bc Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника a 2 + b 2 = c 2 a ac c В

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. a b c = = sin. A sin. B sin. C В (1) a C c b (2) A (3)

(1) (2) = (3)

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. MO MX OX = = sin. X sin. O sin. C O М X

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. CD EC DE = = sin. E sin. D sin. C D C E

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AC AB = sin. C sin. B B Найти АВ 600 ? 750 A 450 4 C

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AC AB = sin. C sin. B B Найти угол А 22 A ? 1350 2 C

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. BC AB = sin. C sin. A B 2 ? 3 600 A C

ABСD – параллелограмм. Найти ВD. BO AB = sin. O sin. A C B 1350 2 450 2 O 300 1500 A D

ABСD – параллелограмм. Найти AC. AD AC = sin. D sin. C C B 300 ? A 300 1200 600 5 D

ABСD – параллелограмм. Найти BC. AB BC = sin. A sin. C B ? 50 10 2 A 450 300 D C

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов минус удвоенное произведение этих сторон минус на косинус угла между ними. C b A 2 a = a c B 2 b + 2– c 2 bc cos. A

x = b cos. A y y = b sin. A b C(b cos. A; b sin. A) y x A a 2= (x –x )2+(y –y )2 (x –x )2 +(y –y )2 d = x 2 2 1 1 B (c; 0) c BC 2 =(bcos. A – c)2 + (bsin. A – 0)2 = = b 2 cos 2 A – 2 bc cos. A + c 2 + b 2 sin 2 A = 2(cos 2 A b 1 + sin 2 A) + c 2 – 2 bc cos. A

x = b cos. A y y = b sin. A * * x = OA cosa y = OA sina C(b cos. A; b sin. A) b a 2= (x –x )2+(y –y )2 (x –x )2 +(y –y )2 d = x 2 2 1 1 c B (c; 0) BC 2 =(bcos. A – c)2 + (bsin. A – 0)2 = = b 2 cos 2 A – 2 bc cos. A + c 2 + b 2 sin 2 A A = 2(cos 2 A b 1 + sin 2 A) + c 2 – 2 bc cos. A

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов минус удвоенное произведение этих сторон минус на косинус угла между ними. 0 AB 2 = BC 2 + CA 2 – 2 BC CA cos C 2 = BC 2 + CA 2 B AB 900 C Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора. A

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. XR 2 = RO 2 + XO 2 – 2 RO XOcos. O 2 = RX 2 + XO 2 – 2 RX XO cos. X RO XO 2 = RX 2 + RO 2 – 2 RX RO cos. R R X O

F D Запишите для данного треугольника теорему синусов и теорему косинусов для каждой стороны. С

На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.

Определите вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см. > Определите вид треугольника со сторонами 2, 3 и 4 см. > >

Найти угол В = В ? 600 2 А 4 300 23 С

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Найти АВ 2 2 AB 2 = BC 2 + AC 2 – 2 BC AC cos. C В AB 2 5 ? А 2 3 = 41 – 40 2 AB = 41 – 20 4 300 С 3

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Найти ВС 2 2 ВС 2 = АВ 2 + AC 2 – 2 АВ AC cos А В ВС 2 ? 6 А 1 = 72 – 72 (– ) 2 ВС 2 = 108 ВС = 108 1200 6 С ВС = 6 3

ABСD – параллелограмм. Найти ВD. 2 2 ВD 2 = АВ 2 + AD 2 – 2 АВ AD cos А C B ВD 2 1 = 34 – 30 2 ВD 2 = 19 ? 3 ВD = 19 600 A 600 5 D

ABСD – ромб. Найти AC. 2 2 AC 2 = АD 2 + CD 2 – 2 АD CD cos D А В 2 = 18 – 18 (– ) 2 AС 2 = 18 + 9 2 ? 3 450 AС 2 2 AC = 9(2 + 2 ) 1350 D 3 С AC = 3 2 + 2