ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ЛИНИЕЙ 1 Поверхности

ПОВЕРХНОСТИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ЛИНИЕЙ 1. Поверхности. Способ образования. 2. Классификация поверхностей. 3. Точки и линии, принадлежащие поверхности. 4. Пересечение линии с поверхностью. 5. Плоскости касательные к поверхности. 6. Пересечение плоскости с поверхностью.

1. ПОВЕРХНОСТИ. СПОСОБ ОБРАЗОВАНИЯ. Поверхность - совокупность последовательных положений L 1, L 2… линии L, перемещающейся в пространстве по определенному закону. m, n – направляющие. L – образующая. Такой способ образования поверхности называется кинематическим.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ по закону движения образующей линии: 1. Поверхности вращения; 2. Винтовые поверхности; 3. Поверхности с плоскостью параллелизма; 4. Поверхности параллельного переноса.

1. Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i.

Каркас поверхности состоит из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Образование поверхностей вращения Цилиндрическая поверхность вращения - поверхность, образованная прямой линией (образующей), которая перемещается, оставаясь параллельной оси вращения. АВ – образующая; I – ось вращения.

Коническая поверхность вращения - поверхность, образующая прямая которой пересекает ось вращения в точке, называемой вершиной конуса. АВ – образующая; I – ось вращения.

Сфера образуется вращением окружности вокруг её диаметра. При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг большой оси то эллипсоид называется вытянутым если вокруг малой – сжатым или сфероидом

Тор формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности. Параболоид вращения образуется при вращении параболы вокруг своей оси.

Гиперболоид вращения одно полостной получается при вращении вокруг мнимой оси; двух полостной образуется вращением гиперболы вокруг действительной оси.

2. Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей. 1. 3. 2.

Примеры винтовых поверхностей, применяемых в технике поверхность трапецеидальной резьбы поверхность конической пружины

3. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма Поверхность с плоскостью параллелизма - множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n. Цилиндроид - поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма.

Коноид - поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых кривая линия, а другая прямая, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма.

Гиперболический параболоид - поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым

4. Поверхности параллельного переноса. Поверхностью параллельного переноса - поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии m по криволинейной направляющей n

3. ТОЧКИ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии на этой поверхности. Для построения точек на поверхности или определения недостающих проекций строится сечение поверхности вспомогательной плоскостью.

Точки, принадлежащие поверхности конуса

Точки, принадлежащие поверхности конуса

Точки, принадлежащие поверхности цилиндра

Точки, принадлежащие поверхности сферы

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности.

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Линия пересекает поверхность, если имеет с ней одну или несколько общих точек.

Задача Определить точку пересечения линии и поверхности. Алгоритм решения : 1. Заключаем линию l во вспомогательную плоскость Δ. 2. Строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной плоскости Δ. 3. Определяем искомую точку К пересечения линии l и m.

Пересечение линии с поверхностью сферы

Пересечение линии с поверхностью конуса

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ Существует два варианта взаимного расположения плоскости и поверхности: 1. Плоскость пересекает поверхность. 2. Плоскость, касательная поверхности.

5. ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ Плоскость α, представленная двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке. Любая кривая поверхности, проходящая через точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α. Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке.

Две поверхности могут соприкасаться одна с другой в точке, по прямой или по кривой линии. Соприкасание может быть внешнее или внутреннее.

Построить плоскость, касательную к сфере в точке А.

6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения задачи по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простой случай, когда плоскость проецирующая. Сечение сферы плоскостью

Пересечение плоскости с поверхностью Сечение конуса плоскостью окружность эллипс парабола гипербола треугольник

Построить сечение конуса фронтально-проецирующей плоскостью.

Сечение цилиндра плоскостью окружность эллипс прямоугольник

Построить сечение цилиндра плоскостью, заданной треугольником АВС

1. h (h 1, h 2). 2. DE – большая ось эллипса.

3. MN – малая ось эллипса. 4. KL – границы видимости.

5. Q – ближняя точка. 6. R – дальняя точка.

7. SG – промежуточные точк

8. KMSREGLNQD – сечение цилиндра плоскостью.