ПОВЕРХНОСТИ
Образование поверхностей. Классификация.
z a l b c 0 x y
В Н. Г. образование поверхностей рассматривают как результат движения некоторой образующей линии l по направляющей (a, b, c) (закон образования поверхности). Способ задания поверхности - кинематический Он позволяет определителем. любую Линия, посредством которой получена поверхность, называется образующей. Линия, по которой перемещается образующая, называется направляющей. поверхность задать И образующая, и направляющая могут быть прямыми или кривыми линиями. В зависимости от вида образующей и закона изменения направляющей, получается та или иная поверхность.
Поверхность – это геометрический объект, который имеет определенную конфигурацию и объем. Определитель поверхности – совокупность геометрических элементов и связей между ними, которые позволяют построить каждую точку поверхности. Определитель поверхности может состоять из: 1) геометрическая часть – перечень геометрических фигур, участвующих в образовании поверхности; 2) алгоритмическая часть – дополнительные сведения о характере изменения формы образующей и законе ее перемещения. Часто поверхность задается проекциями своих направляющих и указывается способ построения ее образующих.
С переменной образующей ПОВЕРХНОСТИ С постоянной образующей Нелинейчатые Линейчатые Вращения Неразвертываемые Развертываемые Винтовые Пов-ть вращения общего вида Гиперболоид Параболоид Эллипсоид Тор Глобоид Без плоскости параллелизма Сфера Косая плоскость Коноид С плоскостью параллелизма Цилиндроид Многогранники Цилиндрические Конические (торсовые)
Развертываемые поверхности – это поверхности, которые можно развернуть на плоскость чертежа без складок и разрывов. Точные развертки выполняются для многогранников. Приближенные развертки – для цилиндров, сфер, конусов, т. к. эти поверхности разворачиваются по вписанным в них многогранникам. К неразвертываемым поверхностям относятся все остальные поверхности.
Развертываемые поверхности Конические поверхности образованы перемещением образующей по некоторой направляющей. Образующая имеет одну неподвижную точку, которая называется вершиной конической поверхности.
Развертываемые поверхности Цилиндрические – образующая, перемещаясь по направляющей, остаётся всегда параллельной некоторой заданной прямой
Поверхность вращения Сфера
Поверхность вращения Глобоид
Поверхность вращения Тор
Поверхность вращения Однополостный гиперболоид
Поверхность вращения Двуполостный гиперболоид
Поверхность вращения Параболоид вращения
Поверхность вращения Эллипсоид вращения
Винтовые поверхности Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью - геликоидом (винтовое движение характеризуется вращением вокруг некоторой оси i и поступательным перемещением, параллельным этой оси). Наклонный закрытый геликоид Прямой открытый геликоид
Винтовые поверхности Прямой геликоид
Винтовые поверхности Эвольвентная винтовая поверхность
Винтовые поверхности Архимедова винтовая поверхность
Неразвертываемые поверхности С плоскостью параллелизма – прямая перемещается по двум скрещивающимся линиям, оставаясь всегда параллельной некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма. Цилиндроид - направляющими являются две скрещивающиеся кривые. a А 2 B h 0 f 02 xa a 2 i 2 b a i 1 B 1 1 А 1 О 2 b 1
Неразвертываемые поверхности Коноид – направляющими являются скрещивающиеся линии, одна из которых прямая А a 2 B i 2 h x 0 f 0 2 a a 1 i 1 a B 1 2 А b 2 0 1 b 1
Неразвертываемые поверхности Гиперболический параболоид (косая плоскость) – направляющие - две скрещивающиеся прямые. b a A i 2 2 f 0 B a x a. A 1 1 i 1 B 1 b 0 h 1 2 0 a
Поверхность вращения
Поверхность вращения общего вида – образуется вращением произвольной кривой i вокруг оси Каждая точка образующей l при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения, эти окружности Меридиан называются параллели. Наибольшая параллель - экватор Г 1 Главный меридиан (i) Горло Параллель Экватор Наименьшая параллель - горло
Плоскости Г, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии по которым они пересекают поверхность – меридианами. Главный меридиан – линия пересечения (Г 1 ) с поверхностью вращения Главная меридиональная плоскость (Г 1), параллельная плоскости проекций i Г 1 Главный меридиан Меридиан (i) Горло Параллель Экватор
На К. Ч. поверхность задается очерками или каркасом Фронтальный очерк – фронтальная проекция главного меридиана Горизонтальный очерк – горизонтальная проекция наибольшей параллели Каркас поверхности вращения – состоящая из параллелей и меридианов сеть,
Точка на поверхности
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии, которая принадлежит этой поверхности. Для построения проекций точки, принадлежащей какой-либо поверхности, необходимо построить проекции линий (прямых, окружностей), которым принадлежит эта точка.
МНОГОГРАННИКИ проекцию прямой S 2 D 2 через проекцию точки 1. Прямая SD принадлежит поверхности пирамиды SABC. 2) Найти проекцию точки D 1 на П 1 по принадлежности и проводим S 1 D 1. 3) В проекционной связи достроить проекцию точки 11. S 2 1) Провести 22 A 2 12 B 2 D 2 x C 2 C 1 A 1 S 1 21 11 B 1 D 1
Линейчатые поверхности 1) Через проекцию точки А 2 провести прямую (1 -2), которая принадлежит поверхности наклонного цилиндра. 2) В проекционной связи построить на П 1 проекцию прямой (11 -21) и по принадлежности найти проекцию точки А 1 22 O 2 ’ A 2 12 O 2 x O 1 11 O 1 ’ A 1 21
Нелинейчатые поверхности A 2 1) Если проекция точки А 2 принадлежит очерку сферы, то на П 1 проекция точки А 1 будет принадлежать оси сферы. 2) Через В 2 провести вспомогательную секущую гор. пл. уровня ∑ 2 (все вспомогательные секущие плоскости параллельны или перпендикулярны пл. пр. или оси вращения геометрического тела). 3) На П 1 получим сечение сферы в виде окружности с радиусом R. В 1 лежит на этой окружности. на П 1 ↓ О 2 R ∑ 2 B 2 x A 1 x О 1 B 1 R
Пересечение поверхности с плоскостью
При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, которая называется сечением.
Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую замкнутую линию. в случае пересечения: поверхности многогранника плоскостью криволинейной поверхности плоскостью плоская замкнутая ломанная прямая линия плоская замкнутая плавная кривая линия
На рисунке изображена поверхность конуса вращения. При различных наклонах секущей плоскости по отношению к оси и образующим линиям конической поверхности в плоскости сечения получаются: Гипербола S Пара прямых Парабола Эллипс Окружность
При различных наклонах секущей плоскости по отношению к оси и образующим линиям конической поверхности в плоскости сечения получаются: 1. Гипербола – секущая плоскость не проходит через вершину конуса и не параллельна образующей конуса. 2. Пара прямых - секущая плоскость проходит через вершину конуса и не параллельна образующей конуса.
3. Парабола - секущая плоскость не проходит через вершину конуса и параллельна образующей конуса.
4) Эллипс - секущая плоскость пересекает ось конуса под углом 0 º < α < 90 º. 5) Окружность секущая плоскость пересекает ось конуса под углом α = 90 º.
На рисунке изображена поверхность цилиндра вращения. При различных наклонах секущей плоскости по отношению к оси и образующим линиям цилиндрической поверхности в плоскости сечения получаются: 1) Секущая плоскость ∑ 1 параллельна оси цилиндра – пара прямых. 2) Секущая плоскость Г 2 не перпендикулярна оси цилиндра – эллипс. 3) Секущая плоскость ∆2 перпендикулярна оси цилиндра окружность ∆2 900 Г 2 x α 12 11 22 21 ∑ 1
Линия пересечения определяется минимальным, но достаточным количеством точек, которые принадлежат этой линии. При построении проекции линии пресечения требуется для: ЭЛЛИПСА проекции точек, определяющие большую и малую оси ОКРУЖНОСТИ ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ проекции пяти точек, включая точки их вершин центр и радиус
При определении линии пересечения поверхности плоскостью желательно иметь плоскость в проецирующем положении (при необходимости выполняют преобразование К. Ч. ). Тогда на одной из плоскостей проекций линия пересечения уже имеется, а на другой ее нужно определить из условия принадлежности точки поверхности.
Пример 1. Построить проекции сечения плоскостью конуса вращения. % 1) Фр. -пр. пл. ∑ пересекает конус. В сечении – эллипс (линия А 2 В 2). 2) Найдем центр эллипса – О 2. 3) Через О 2 проведем гор. пл. уровня ∆2. 4) Гор. пл. уровня ∆2 рассечет конус по окружности с радиусом R. 5) Строим на П 1 окружность с радиусом R и принадлежащие ей точки С 1 и D 1. 6) По четырем точкам А 1, В 1, С 1 и D 1 строим сечение (эллипс). На П 1 его проекция – окружность. 2 R A 2 B 2 C 2 ≡D 2 ≡О 2 C 1 A 1 R О 1 D 1 B 1 ∆2
Пример 2. Построить проекции линии сечения поверхности конуса плоскостью общего положения Г (a h). S 2 a 2 A 2 12 C 2 х D 2 42 11 B 2 32 52 21 a 1 41 C 1 M 1 h 1 22 S 1 A 1 ∆4 Г 4 N 1 D 1 51 31 П 1 х2 П 4 h 4 14 C 2 ≡D 2 B 1 R П 1 N 2 M 2 h 2 х1 П 2 х A 4 B 4 S 4
Пересечение поверхности с прямой линией
Способ вспомогательных секущих плоскостей Через прямую проводят проецирующую плоскость, строят линию пересечения этой плоскости с поверхностью и отмечают точки пересечения этой линии с прямой, которые и являются точками пересечения прямой с поверхностью.
Пример 3. Пересечение многогранной поверхности с прямой. S 2 12 S 2 M 2 N 2 32 l 2 22 A 2 B 2 A 1 11 31 S 1 N 1 M 1 21 B 1 C 2 C 1 l 1
Взаимное пересечение поверхностей
Взаимное пересечение поверхностей двух гранных поверхностей двух криволинейных поверхностей пространственная замкнутая ломанная линия пространственная замкнутая кривая линия гранной поверхности с криволинейной пространственная замкнутая линия, состоящая из участков ломанных и кривых линий
Пересечение многогранников
Линия пересечения (л. п. ) определяется точками пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Точки пересечения ребер одной поверхности с гранями другого многогранника объединяются в звенья. Звено л. п. считается видимым, если оно принадлежит видимым граням поверхности. При построении чертежа необходимо боковые грани одного из многогранников представить в проецирующем положении с целью упрощения построения л. п.
B 2’ А 2’ C 2’ 62’ 52 x 12 72 S 2 x 32 А 2 62 82 F 2 42 22 D 2 B 2 C 2 E 2 х D 1 A 1≡A 1’ 11 51 Q 1 C 1≡C 1’≡ 71≡ 81 S 1 61≡ 61’ 21 41 E 1 31≡B 1’ F 1
Пересечение многогранника с криволинейной поверхностью
Построение выполняется способом вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательные секущие плоскости всегда параллельны какой-либо одной из пл. пр.
Л. п. определяется пересечением граней многогранника с криволинейной поверхностью. Если одна из поверхностей является призмой или цилиндром, то для решения задачи на чертеже удобно их боковые поверхности представить в проецирующем положении.
Построить линию пересечения поверхности конуса и призматического отверстия 22 =32 42 =52 82 =92 62 =72 91 12 R Г 2 ∆2 R’ ’ ∑ 2 R’ 82 R’’’ 71 51 31 21 81 61 41 11 81 Q 2
Взаимное пересечение криволинейных поверхностей
Построить линию пересечения поверхности конуса и цилиндра S 2 Г 2 ∆2 ∑ 2 22=22’ 12 3 2 = 3 2’ 42=42’ 62 52=52’ 31 х х 51 41 21 S 1 2 1’ 3 1’ 11 61 4 1’ х х 5 1’ х
Скачать презентацию ПОВЕРХНОСТИ Образование поверхностей Классификация z a
Поверхности.ppt