Постулат 3. Волновая функция Ψ(r, t) частицы с

Постулат 3. Волновая функция Ψ(r, t) частицы с массой m, находящейся в потенциале U(r, t), обязательно является решением временного уравнения Шредингера - оператор Лапласа Стандартные требования, предъявляемые к волновой функции (стандартные граничные условия) 1) Однозначность; 2) Конечность; 3) Непрерывная дифференцируемость; 4) Квадратичная интегрируемость.

Линейное векторное пространство. Определение. Пусть имеется множество L элементов произвольной природы, на котором заданы две операции: операция сложения элементов и операция умножения элемента на комплексное число. Это множество элементов называется комплексным линейным векторным пространством, если эти две операции удовлетворяют следующим аксиомам: Элементы комплексного векторного пространства называются векторами

Линейное векторное пространство. Определение. Пусть L - комплексное линейное векторное пространство. Закон, который любым двум векторам x и y из этого пространства ставит в соответствие комплексное число , называется скалярным произведением, если он удовлетворяет следующим аксиомам: Унитарное пространство - Комплексное линейное векторное пространство со скалярным произведением

L 2 – множество однозначных конечных непрерывно дифференцируемых функций точки в пространстве. L 2 – линейное векторное пространство. Векторы – функции координат точки в пространстве. - cскалярное произведение в L 2 – унитарное пространство Оператор в ЛВП – закон, который одному вектору ставит в соответствие другой вектор. Оператор в L 2 – закон, который одной функции ставит в соответствие другую.

Оператор - линейный Пример 1. - линейный оператор Пример 2. - оператор комплексного сопряжения - нелинейный оператор

Пример.

Пример. Произведение операторов зависит от порядка их следования

Пример.

Пример.

Пример.

Пример. - эрмитово самосопряженный оператор (эрмитовый оператор) Не все операторы являются эрмитовыми!!! Пример. - неэрмитовый

Векторные операторы L 2 – множество скалярных функций точки в пространстве. V 2 – множество векторных функций точки в пространстве. Векторный оператор

- оператор Гамильтона (Гамильтониан) - оператор импульса

Уравнение непрерывности Есть сохраняющаяся величина Q, которая распределена в пространстве и может перетекать из одного места в другое. S n ρ(r, t) – плотность величины (характеризует ее V распределение в пространстве) - количество величины внутри объема V j(r, t) – плотность потока величины (характеризует ее перетекание из одного места в другое) - количество величины, пересекающее в единицу времени поверхность S в направлении внешней нормали - величина вытекает из объема V - величина втекает в объем V Закон сохранения величины Перепишем в дифференциальной форме

Надо: Th Остроградского-Гаусса => Th о дифференцировании интеграла по параметру => - уравнение непрерывности Если есть сохраняющаяся величина, которая распределенная в пространстве и может перетекать из одного места в другое, то обязательно есть уравнение непрерывности, связывающее пространственную плотность величины и плотность ее потока Уравнение непрерывности – локальная запись закона сохранения величины

Закон сохранения числа частиц => Закон сохранения вероятности положения частицы в пространстве => уравнение непрерывности - плотность вероятности координат частицы - вероятность обнаружить частицу внутри объема V характеризует вероятность того, что в единицу времени частица пересечет поверхность S - вероятность того, что за время dt частица уйдет из объема V - локальная запись закона сохранения вероятности - интегральная форма записи закона сохранения вероятности

Известно: 1) временное уравнение Шредингера 2) существует уравнение непрерывности Надо: выразить плотность потока вероятности через волновую функцию Алгоритм 1) Выражаем производную плотность вероятности 2) Выражаем волновую функцию из временного уравнения Шредингера и Подставляем в производную от плотности вероятности. В результате получаем 3) Используя приемы векторного анализа, правую часть представляем в виде

Стандартные требования, предъявляемые к волновой функции (стандартные граничные условия) 1) Однозначность; 2) Конечность; 3) Непрерывная дифференцируемость ; S - условия сшивки