Построение статистических математических моделей
Общая характеристика экспериментально-статических математических моделей и методов их построения u Данный подход используется, как правило, при невозможности привлечения других средств и методов (например, малоизученные процессы). Основной источник информации при этом – эксперимент, а основные средства – теория вероятностей и математическая статистика. Экспериментально-статистические методы построения статистических математических моделей (СММ) классифицируются по способу сбора экспериментальных данных (активный и пассивный эксперимент) и по виду моделей (модели статики и динамики).
Способ сбора экспериментальных данных u Пассивный эксперимент проводится в режиме нормальной эксплуатации действующего объекта (без внесения искусственных возмущений в объект). Активный (планируемый) эксперимент на вход исследуемого объекта подаются определенные воздействия, которые заранее планируются в соответствии с некоторым оптимальным критерием (методы оптимального планирования эксперимента).
теорема Вейерштрасса из численных методов u В общем виде связь между входными переменными объекта и его выходной переменной у в статике может быть задана следующим полиномиальным уравнением: где – коэффициенты, характеризующие соответственно линейные эффекты, эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты; – свободный член.
Уравнения регрессии u u Уравнения регрессии широко используются для построения СММ статики объектов химической технологии и применяются для решения экстремальных задач (определение оптимальных условий протекания процессов, оптимальных составов смесей, статической оптимизации управляемых объектов и других задач). Для построения УР большой размерности используются специальные программы для ЭВМ. u – оценка выходного параметра объекта; – входные параметры объекта; u – оценки коэффициентов УР. u где
Основные предпосылки построения СММ и применения регрессионного анализа u Исходные данные могут быть представлены в виде таблицы № опыта 1 2 · · · N Средние значения СКО Входные переменные (факторы) x 1 x 2 x 11 x 21. . . x. N 1 x 12 x 22. . . x. N 2 . . . . xi x 1 i x 2 i. . . x. Ni . . . . xn x 1 n x 2 n. . . x. Nn Выходная переменная y y 1 y 2. . . y. N
Таблица 1 u u u Регрессионный анализ предполагает связь случайной величины y и неслучайных переменных xi. При этом его применение правомерно при следующих условиях: результаты наблюдений , , . . , представляют собой независимые нормально распределенные величины; факторы , , . . . , измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении y; оценки дисперсий , , . . . , значений выходного параметра y, полученных при одинаковых условиях (в параллельных опытах), должны быть однородными. Таблицу 1 называют матрицей наблюдений.
Сущность метода наименьших квадратов построения статистических математических моделей 1) , Построение линейного уравнения регрессии от одной входной переменной y 1 = b 0 + b 1 x 11 (b 0, b 1). y 2 = b 0 + b 1 x 21
2) Понятие коэффициента парной корреляции выборочный коэффициент парной корреляции где N – число экспериментов; = , – средние значения соответственно фактора (входной переменной) и выходного параметра; , , – среднеквадратичные отклонениеи y. x
Построение уравнения регрессии от многих выходных переменных При расчете статистических зависимостей технологических объектов чаще возникает необходимость найти уравнение связи от n входных переменных =. Принципиально эта задача не отличается от задачи, рассмотренной выше. Однако, возрастает объем вычислений и поэтому приходится прибегать к специальным вычислительным приемам и программам для ЭВМ.
Приведение исходных данных матрицы наблюдений к стандартизованному виду Для сокращения вычислений поступают следующим образом. Все переменные в табл. 1 выражаются в новом, стандартизованном, масштабе путем их нормирования по i= формулам: i= j = i= В стандартизованном масштабе для входных переменных и выходного параметра средние равны нулю, а дисперсии единице.
Доказательство на примере:
Коэффициенты парной корреляции для стандартизованных переменных имеют вид: Коэффициенты парной корреляции легко вычисляются перемножением соответствующих вектор-столбцов таблицы для нормированных опытных данных.
… коэффициенты уравнения регрессии связаны следующими простыми соотношениями: подставим в уравнение регрессии, выражения для и
Далее преобразуем, выделив в левой части где :
Скачать презентацию Построение статистических математических моделей Общая характеристика экспериментально-статических
П2 Построение СММ Т2-1NEW.ppt