Построение сечений тетраэдр и параллелепипеда Для решения

Построение сечений тетраэдр и параллелепипеда.

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: v. Треугольники v. Четырехугольники

Параллелепипед имеет 6 граней v. Треугольники v. Пятиугольники В его сечениях могут получиться: v. Четырехугольники v. Шестиугольники

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M, N, K D M A A 1. Проведем прямую через точки М и К, т. к. они лежат в одной грани (АDC). N K B B C C 2. Проведем прямую через точки К и N, т. к. они лежат в одной грани (СDB). 3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN. 4. MNK – искомое сечение.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. D 1. Проводим КF. 2. Проводим FE. 3. Продолжим EF, продолжим AC. F 4. EF AC =М 5. Проводим MK. E M C 6. MK AB=L A L K Правила B 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. С какой точкой, лежащей в Какие прямые можно Соедините получившиеся Какие точки можно получить той же лежащие в одной продолжить, чтобы сразу точки, грани можно соединить? полученную? соединить дополнительную точку грани, назовите сечение. дополнительную точку? D СЕLFK К FЕК и Е и F иточкой K, АС F L C M A E K B Правила Второй способ

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. D F L C A E K B Правила Первый способ О

Способ № 1. Способ № 2. Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые.

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1, М, N Правила В 1 D 1 С 1 A 1 P К В D А Е N С O M 1. MN 3. MN ∩ BA=O 2. Продолжим 4. В 1 О MN, ВА 5. В 1 О ∩ А 1 А=К 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 8. MN ∩ BD=E 9. В 1 E 10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, A, D. В 1 D 1 E A 1 С 1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, т. к. (ABC) (A 1 B 1 C 1) 4. AE AEMD – сечение.

Построение сечений тетраэдра

Решим задачу D M B A C

Решим задачу K M L A N

Решим задачу D B A M C

Решим задачу D M К АВС B A K N Какой другой вариант возможен? C

Решим задачу D M B A K N C

Решим задачу D K B N A M C

Решим задачу D K N B A M C

Построение сечений параллелепипеда

Решим задачу B 1 C 1 М АА 1 В 1 В A 1 D 1 M (BDD 1) B A C D

Решим задачу B 1 A 1 С 1 D 1 B A С D

Решим задачу B 1 A 1 C 1 D 1 B A C D

Решим задачу B 1 A 1 C 1 D 1 M B N A C K D

Решим задачу B 1 A 1 C 1 D 1 M B N A C K D

Решим задачу B 1 A 1 C 1 D 1 M B N A C K D

Решим задачу B 1 C 1 A 1 D 1 M B N A C K D

1. Все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника. 2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3. В каждой грани лежит не более одной стороны сечения.

10

10

10

10