Скачать презентацию Построение сечений многогранников Скажи мне Скачать презентацию Построение сечений многогранников Скажи мне

Метод сечений.ppt

  • Количество слайдов: 62

Построение сечений многогранников Построение сечений многогранников

«Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я запомню. Вовлеки «Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я запомню. Вовлеки меня – и я научусь. » Древняя китайская пословица

Это интересно! Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень Это интересно! Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты. Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими картинами математиков. http: //www. im-possible. info/english/art/mey 2. html http: //alone. sammit. kiev. ua/moremind/illusion/index. html http: //lib. world-mobile. net/culture/special/imp-world-r. narod. ru/art/index. html

Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх. Поднимаясь по этой лесенке, мы остаёмся на Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх. Поднимаясь по этой лесенке, мы остаёмся на том же этаже. А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Лесенки здесь быть не может! а

Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом

А Нет точек пересечения Одна точка пересечения А В Пересечением является отрезок С Пересечением А Нет точек пересечения Одна точка пересечения А В Пересечением является отрезок С Пересечением является плоскость

Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра ((параллелепипеда).

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – сечение тетраэдра. сечение

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями. Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

АКСИОМЫ планиметрия Характеризуют взаимное расположение точек и прямых 1. Каждой прямой принадлежат по крайней АКСИОМЫ планиметрия Характеризуют взаимное расположение точек и прямых 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Основное понятие геометрии «лежать между» 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. стереометрия А 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: v. Треугольники v. Четырехугольники

Параллелепипед имеет 6 граней v. Треугольники v. Пятиугольники В его сечениях могут получиться: v. Параллелепипед имеет 6 граней v. Треугольники v. Пятиугольники В его сечениях могут получиться: v. Четырехугольник и v. Шестиугольники

Блиц - опрос • Задача блиц – опроса: ответить на вопросы и обосновать ответ Блиц - опрос • Задача блиц – опроса: ответить на вопросы и обосновать ответ с помощью аксиом, теорем и свойств параллельных плоскостей.

Блиц-опрос. D 1 С 1 K А 1 Верите ли вы, что прямые НК Блиц-опрос. D 1 С 1 K А 1 Верите ли вы, что прямые НК и ВВ 1 пересекаются? B 1 D А H С В

Блиц-опрос. D 1 С 1 К А 1 B 1 Н D А С Блиц-опрос. D 1 С 1 К А 1 B 1 Н D А С N В Верите ли вы, что прямые НК и ВВ 1 пересекаются?

Блиц-опрос. D 1 А 1 К А С 1 М B 1 Н D Блиц-опрос. D 1 А 1 К А С 1 М B 1 Н D В Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются? Р С N На чертеже есть ещё ошибка!

Верите ли вы, что прямые НR и NK пересекаются? D 1 С 1 Н Верите ли вы, что прямые НR и NK пересекаются? D 1 С 1 Н А 1 R B 1 С D На чертеже есть ещё ошибка! N А Блиц-опрос. К В

Пересекаются ли прямые НR и А 1 В 1? Блиц-опрос. Пересекаются ли прямые НR Пересекаются ли прямые НR и А 1 В 1? Блиц-опрос. Пересекаются ли прямые НR и С 1 D 1? D 1 С 1 Н R А 1 B 1 Пересекаются ли прямые NK и АD? С D А N К Пересекаются ли прямые NK и DC? В

Верите ли вы, что прямые МО и АС пересекаются? D Блиц-опрос. М О С Верите ли вы, что прямые МО и АС пересекаются? D Блиц-опрос. М О С А В Верите ли вы, что прямые МО и АВ пересекаются?

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах … : Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах … : научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь. . Д. Пойа

Свойство параллельных плоскостей. а Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения Свойство параллельных плоскостей. а Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. b Это свойство нам поможет при построении сечений.

1 Простейшие задачи. D 1 С 1 D B 1 А 1 K М 1 Простейшие задачи. D 1 С 1 D B 1 А 1 K М О D А H С N В 2 Р С А В

D 3 Простейшие задачи. D 4 О С С А А О В В D 3 Простейшие задачи. D 4 О С С А А О В В

Диагональные сечения. 5 D 1 А 1 D А D 1 С 1 B Диагональные сечения. 5 D 1 А 1 D А D 1 С 1 B 1 А 1 С В 6 С 1 B 1 D А С В

7 D 1 С 1 K А 1 О B 1 D А H 7 D 1 С 1 K А 1 О B 1 D А H С N В

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПРИЗМЫ ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПРИЗМЫ

Для решения многих геометрических задач, связанных с призмой полезно уметь строить на рисунке её Для решения многих геометрических задач, связанных с призмой полезно уметь строить на рисунке её сечения различными плоскостями

Назовем секущей плоскостью призмы любуюотрезкам Секущая плоскость пересекает грани призмы по плоскость , по Назовем секущей плоскостью призмы любуюотрезкам Секущая плоскость пересекает грани призмы по плоскость , по обе стороны от которой имеются точки данной призмы Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением призмы. Уточним, что понимается под сечением призмы.

Сечения призмы плоскостями, являются В частности параллелограммамипараллельными боковым ребрам, являются сечения плоскостями, диагональные сечения. Сечения призмы плоскостями, являются В частности параллелограммамипараллельными боковым ребрам, являются сечения плоскостями, диагональные сечения. Это параллелограммами проходящими через два боковых ребра, не принадлежащей одной грани.

При решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через след секущей плоскости При решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через след секущей плоскости на плоскости основания.

Выясним, какая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания призмы. Выясним, какая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания призмы.

Для этого построим призму. Для этого построим призму.

Для этого построим призму. Проведем плоскость основания призмы Для этого построим призму. Проведем плоскость основания призмы

Для этого построим призму. Проведем плоскость основания призмы и секущую плоскость Для этого построим призму. Проведем плоскость основания призмы и секущую плоскость

Для этого построим призму. Проведем плоскость основания призмы и секущую плоскость Прямая на плоскости Для этого построим призму. Проведем плоскость основания призмы и секущую плоскость Прямая на плоскости основания, через которую проходит секущая плоскость называется следом секущей плоскости на плоскости основания.

Секущая плоскость пересекает не только плоскость основания но и другие грани призмы. Следом секущей Секущая плоскость пересекает не только плоскость основания но и другие грани призмы. Следом секущей плоскости на плоскости ABB 1 A 1 является прямая а, а следом секущей плоскости на плоскости AСС 1 A 1 является прямая b, Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость A B какой-либо грани многогранника, называют следом секущей C плоскости на плоскости этой грани. 1 1 1 Например. . . b a B A C

Секущая плоскость пересекает не только грани призмы но и ее ребра. Следом секущей плоскости Секущая плоскость пересекает не только грани призмы но и ее ребра. Следом секущей плоскости на прямой AA 1 является точка P, а следом секущей плоскости на прямой СС 1 является точка Q. Точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, A B содержащую какое-нибудь C ребро призмы, называют следом секущей плоскости на этой прямой. 1 1 1 P Например. . . Q B A C

Построим сечение призмы через данную точку и след секущей плоскости Построим сечение призмы через данную точку и след секущей плоскости

Построить сечение призмы, проходящее через данную точку и след секущей плоскости если точка находится Построить сечение призмы, проходящее через данную точку и след секущей плоскости если точка находится на одной из боковых граней

Построим призму Построим призму

Проведем след секущей плоскости на плоскости основания призмы Проведем след секущей плоскости на плоскости основания призмы

А Пусть точка А принадлежащая сечению находится на боковой грани А Пусть точка А принадлежащая сечению находится на боковой грани

А Процесс построения сечения призмы Сначала строится отрезок, по которому начинается следующим образом. сечение А Процесс построения сечения призмы Сначала строится отрезок, по которому начинается следующим образом. сечение призмы пересекает грань, на которой находится данная точка А.

А Для этого построим прямую, по которой плоскость данной грани А Для этого построим прямую, по которой плоскость данной грани

А Для этого построим прямую, по которой плоскость данной грани пересекает плоскость основания А Для этого построим прямую, по которой плоскость данной грани пересекает плоскость основания

А D Для этого построим прямую, по которой плоскость данной грани пересекает Эта прямая А D Для этого построим прямую, по которой плоскость данной грани пересекает Эта прямая пересекает след секущей плоскость основания плоскости в точке D.

А D Проведем прямую черезслед секущей Эта прямая пересекает точку А и D. плоскости А D Проведем прямую черезслед секущей Эта прямая пересекает точку А и D. плоскости в точке D.

С А В D Отрезок ВС прямой АD на рассматриваемой Проведем прямую через точку С А В D Отрезок ВС прямой АD на рассматриваемой Проведем прямую через точку А и D. грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.

С А В D Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. прямой описанным способом С А В D Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. прямой описанным способом Отрезок ВСПоэтому. АD на рассматриваемой можно есть пересечение этой грани с грани и построить пересечение и остальных граней с нашей секущей плоскостью.

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O, F, G Шаг 1: разрезаем грани KLBA Постройте сечение призмы, проходящее через точки O, F, G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB L • Проводим через точки F и O прямую FO. M F K N • Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью. • Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB. G B O C A Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях? D Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания L • Проводим прямую АВ Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания L • Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO. • Получим точку H, которая K принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания. • Аналогичным образом получим точку R. • Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости M F N G B O A C R D Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости H основания? Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Шаг 3: делаем разрезы на других гранях L • Так как прямая HR пересекает Шаг 3: делаем разрезы на других гранях L • Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе. • Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD. • Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC). Почему мы уверены, что все делаем правильно? H M F N K G B O A C R S E D Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Шаг 4: выделяем сечение многогранника L Все разрезы образовали пятиугольник K OFGSE, который и Шаг 4: выделяем сечение многогранника L Все разрезы образовали пятиугольник K OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G. O F M N B G C S A E D

1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1, М, N Правила В 1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1, М, N Правила В 1 D 1 С 1 A 1 P К В D А N С M O 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 1. MN 2. Продолжим MN, ВА 3. MN ∩ BA=O 4. В 1 О 5. В 1 О ∩ А 1 А=К 8. MN ∩ BD=E 9. В 1 E 10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN Е

2 S М N Р А Y D Т О В С К X 2 S М N Р А Y D Т О В С К X

M M P N P M N N P N M P N P M M P N P M N N P N M P N P P M

Решения варианта 1. M M P N P M N N P Решения варианта Решения варианта 1. M M P N P M N N P Решения варианта 2. N M P N P P M

Правила для самоконтроля: • Вершины сечения находятся только на ребрах. • Стороны сечения находятся Правила для самоконтроля: • Вершины сечения находятся только на ребрах. • Стороны сечения находятся только на грани многогранника. • Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.