Построение сечений многогранников на основе аксиоматики 10 класс

Построение сечений многогранников на основе аксиоматики 10 класс.

Содержание. Повторение теории: • аксиома существования плоскости; • аксиома принадлежности прямой плоскости; • аксиома пересечения двух плоскостей; • свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей плоскостью. Изучение нового: • определение сечения; • правила построения сечений; • решение задач. Практические советы. Домашнее задание.

«Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывёт» Леонардо да Винчи.

Что это? Аксиома: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна.

Что это? Аксиома: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Что это? Аксиома: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Что это? Теорема: если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Что это? Теорема: (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

«Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым» Л. Карно.

Объекты многогранник грани и рёбра плоскость сечение

Сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей. Построить сечение – значит определить, какие рёбра пересекает плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами.

Правила построения сечений.

Правило 1. D K L A Секущая плоскость пересекает грань ADC по прямой KL. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так C и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани.

Задача № 1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, О, С. D D O O C C A A B B

Правило 2. С M К А L В Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости (грани), то эти две плоскости D пересекаются с любой гранью многогранника по параллельным прямым. Секущая плоскость параллельна плоскости АВС, поэтому: BC||ML AB||KL AC||KM

Задача № 2. Точка М является внутренней точкой грани ВСD тетраэдра DABC. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВD. D D L L М В А К М А N В К С С N

Правило 3. K D 1 F A 1 B 1 R D A L C 1 B C Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.

Задача № 3. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M, N, P. D N В M L А K С P

D Практические советы: • если грань содержит две известные точки секущей плоскости, то грань и плоскость пересекаются по прямой, проходящей через эти точки; N В M L А K P С • если построена прямая m – линия пересечения секущей плоскости с некоторой гранью, то целесообразно отметить точки пересечения прямой m со всеми рёбрами этой грани (или их продолжениями); • если секущая плоскость пересекает параллельные грани многогранника, то линии пересечения параллельны.

« Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от неё задачи, но она никогда не придумает ни одной» А. Эйнштейн.

Домашнее задание: Составить и решить две задачи на построение сечений тетраэдра или параллелепипеда с использованием полученных знаний.

Список литературы. 1. Атаносян Л. С. Геометрия !0 -11. – М. : Просвещение, 2000. 2. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Уроки геометрии 10 класс. – ООО «Кирилл и Мефодий» , 2005.