Построение сечений Многогранников Многогранники вокруг нас Геометрические

Построение сечений Многогранников. Многогранники вокруг нас.

Геометрические понятия Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина грань ребро

Задача 1. Какие из отмеченных точек принадлежат плоскости: а) AA 1 B 1 B; б) BB 1 C 1 C; в) AA 1 C 1 C? Т

Задача 2. Какой плоскости принадлежат точки: а) M, N, K; б) T, E, F?

Задача 3. Укажите прямую пересечения плоскостей: а) ABCD и DD 1 C 1 C; б) A 1 B 1 C 1 D 1 и AA 1 B 1 B; в) ABCD и BB 1 D 1 D.

Задача 4. Назовите плоскости, которые пересекаются по прямой: а) AB; б) CC 1.

Задача 5. Определите, плоскости какой из граней куба принадлежит прямая: а) MK лежит в плоскости грани …; б) TH принадлежит плоскости грани … Ответ обоснуйте.

Алгоритм построения точки пересечения прямой a и плоскости α 1. Найти плоскость, которой принадлежит прямая a (теорема 1. 2). 2. Найти прямую пересечения этой плоскости и плоскости α (аксиома С 2). 3. Найти точку пересечения этой прямой и прямой a (следует из теоремы 1. 2 и аксиомы С 3).

Задача 6.

Задача 7.

Задача 8. Задача 9*.

Задача 10. Постройте сечение куба плоскостью MNK.

В С А D B 1 R A 1 Q C 1 P D 1 На гранях куба заданы точки R, P, Q. Требуется построить сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки.

В С А D B 1 R A 1 Q C 1 P D 1 Точки Р и Q заданы, как принадлежащие плоскости сечения. В то же время эти точки принадлежат плоскости грани C D D 1 C 1, следовательно линия PQ является линий пересечения этих плоскостей

Линии PQ и C 1 D 1 лежат в плоскости грани C C 1 D. Найдем точку Е пересечения линий PQ и C 1 D 1. В С А D B 1 C 1 P R A 1 D 1 E Q

В С А D B 1 C 1 P R A 1 D 1 E Q Точки R и E принадлежат плоскости сечения и плоскости основания куба, следовательно линия RE, соединяющая эти точки будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания куба.

RE пересекает A 1 D 1 в точке F и линия RF будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани A 1 B 1 C 1 D 1. В С А D B 1 A 1 C 1 P R D 1 F E Q

В С А D B 1 D 1 F E P C 1 Q R A 1 Точки и Q, и F принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A A 1 D, следовательно линия QF будет линией пересечения этих плоскостей.

Линии RE и B 1 C 1, лежащие в плоскости основания куба пересекаются в точке G. В С А D B 1 G A 1 C 1 Q R D 1 F E P

В С А D B 1 G A 1 Точки P и G принадлежат плоскости сечения и плоскости грани B B 1 C, следовательно линия PG является линией пересечения этих плоскостей C 1 Q R D 1 F E P

PG пересекает B B 1 в точке H и линия PH будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани B B 1 C. В С А D P H B 1 G A 1 C 1 Q R D 1 F E

В Точки R и H принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A A 1 B и следовательно линия RH будет линией пересечения этих плоскостей. С А D P H B 1 G A 1 C 1 Q R D 1 F E

А пятиугольник RHPQF будет искомым сечением куба плоскостью, проходящей через точки R, P, Q. В С А D P H B 1 G A 1 C 1 Q R D 1 F E

А пятиугольник RHPQF будет искомым сечением куба плоскостью, проходящей через точки R, P, Q. В С P А D B 1 H Q C 1 R A 1 F D 1

построение сечения пирамиды

Дана пирамида SABCD.

Требуется построить сечение заданной пирамиды плоскостью, проходящей через точки: М на ребре AS, P на ребре CS и Q на ребре DS. P M Q

Точки M и Q лежат в плоскости грани АSD. Линия МQ, соединяющая эти точки является линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани ASD. P M Q

Линия QP, соединяющая заданные точки Q и P, является линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани DSC. P M Q

Линии MQ и AD лежат в одной плоскости грани ASD. Найдём точку Е, как точку пересечения линий MQ и AD. Точка Е будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии MQ, лежащей в этой плоскости. P M Q Е

Линии PQ и CD лежат в одной плоскости грани CSD. Найдём точку F, как точку пересечения линий PQ и CD. Точка F, как и точка Е, будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии PQ, лежащей в этой плоскости. P M Q F Е

Точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости основания пирамиды, поэтому линия EF будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания пирамиды. P M Q F Е

Линии EF и BC лежат в одной плоскости основания пирамиды ABCD. Найдём точку G, как точку пересечения линий EF и BC. Точка G будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии EF, лежащей в этой плоскости. P M G Q F Е

Точки P и G принадлежат плоскости сечения и плоскости грани BSC, поэтому линия PG будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC. P M G Q F Е

Линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC будет линия , являющаяся продолжением PG, которая пересечёт ребро BS пирамиды в точке H. P H M G Q F Е

PH будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC. P H M G Q F Е

Ну и наконец, так как точки M и H одновременно принадлежат и плоскости сечения и плоскости грани ASB, то линия MH будет линией пересечения этих плоскостей. P H M G Q F Е

И четырёхугольник MHPQ будет искомым сечением пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через заданные точки M, P, Q. H P M B A Q C D

Мир многогранников!

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» Л. Кэрролл

За каждым многогранником закреплено его значение, НАПРИМЕР: Тетраэдр является огнём!

куб-земля

октаэдр-воздух И т. д.

Даже пчёлы знакомы с понятием многогранник!!!

Многогранники в архитектуре. Александрийский маяк Великая пирамида в Гизе

Презинтацию подготовил Паллав Денис