Построение СДНФ по таблицам истинности Мы знаем два способа задания логических функций: с помощью формулы и с помощью таблицы истинности. По формуле легко составляется таблица. На практике при конструировании различных электронных устройств часто возникает обратная задача – от таблицы истинности перейти к формуле, чтобы на её основе построить функциональную схему.
Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причем среди переменных могут быть одинаковые. Определение. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причем среди переменных могут быть одинаковые. Всякую дизъюнкцию элементарных конъюнкций назовем дизъюнктивной нормальной формой. (ДНФ). Всякую конъюнкцию элементарных дизъюнкций назовем конъюнктивной нормальной формой. (КНФ).
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой(СДНФ) называется ДНФ, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все конъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каждая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием). Совершенной конъюнктивной нормальной формой(СКНФ) называется КНФ, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все дизъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каждая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием).
Приведем примеры формул, соответствующих этим определениям:
Теорема алгебры логики. Любую функцию, кроме констант 0 и 1, можно представить в виде как СДНФ, так и СКНФ. Из этой теоремы следует, что любая формула (кроме констант 0 и 1) может быть преобразована к виду как СДНФ, так и СКНФ. Константа 0 может быть представлена только СКНФ (0=X & ¬X), а константа 1 – только СДНФ (1 = X V ¬X).
Алгоритм получения СДНФ по таблице истинности. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 1: X 0 0 1 1 Y 0 1 F(X, Y) 0 1* 1* 0 Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в данной строке равно 1, то в конъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 0, то её отрицание: ¬X & Y – для 2 -ой строки; & ¬Y – для 3 -ей строки. Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию: (¬X & Y)V(X & ¬Y)
Алгоритм получения СКНФ по таблице истинности. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 0: X Y F(X, Y) 0 0 0* 0 1 1 1 0* Выписать для каждой отмеченной строки дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в данной строке равно 0, то в дизъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 1, то её отрицание: X V Y – для 1 -ой строки; ¬X V¬Y – для 4 -ой строки. Все полученные дизъюнкции связать в конъюнкцию: (X V Y)&(¬X V¬Y)
Покажем, что полученные по двум алгоритмам СДНФ и СКНФ эквивалентны. Преобразуем СКНФ по правилам алгебры логики: (X V Y)&(¬X V¬Y) = X & ¬X V X & ¬Y V ¬X & Y V Y & ¬Y = ¬X & Y V X & ¬Y
Задача 1. Найти функцию по следующей таблице истинности: X Y Z F(X, Y, Z) 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0
Задача 2. Пусть в некотором конкурсе решается вопрос о допуске того или иного участника к следующему туру тремя членами жюри: P, Q, R. Решение положительно тогда и только тогда, когда хотя бы двое членов жюри высказываются за допуск , причем среди них обязательно должен быть председатель жюри Q. Требуется составить логическую формулу, которая давала бы 1, если участник допускается к след. туру, и 0, если не допускается. Работу жюри можно представить в виде таблицы истинности: P 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 R 0 1 0 1 F(P, Q, R) 0 0 0 1 1
По приведенной таблице истинности постройте СКНФ и СДНФ. Упростите, если возможно, полученную формулу и постройте соответствующую ей функциональную схему устройства.
Скачать презентацию Построение СДНФ по таблицам истинности Мы знаем два
Презентация(СКНФ и СДНФ) к ур_40.pptx