Построение математической модели
Построение математической модели Любая математическая модель может возникнуть тремя путями в результате: 1. Изучения и обобщения экспериментального материала; 2. Изучения частных моделей и их обобщения методом индукции; 3. Применения процесса дедукции, в результате которого модель получается как частный случай из некоторой более общей модели. Что является отправной точкой в построении моделей? Исходным пунктом служит некоторая эмпирическая ситуация, весьма расплывчатая и сложная, так что точное описание ситуации чаще всего невозможно. Процедура преобразования такой ситуации к виду, когда для её изучения можно применить математические методы, и есть процедура построения математической модели.
Общая схема построения модели
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Первый этап 1) построения модели начинается с изучения и анализа объекта: • выявления его основных, существенных особенностей, необходимых для достижения целей моделирования, • перечисления всех элементов, оказывающих влияние на конечный результат. Изучая каждый элемент, устанавливают его зависимость от выбора вариантов решения. Элементы, для которых такая зависимость отсутствует или пренебрегаемо мала, исключают из рассмотрения. Для каждого из оставшихся элементов выясняют является ли он постоянным или переменным. Каждому элементу присваивают символическое имя.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования 2. Связи между элементами описывают разнообразными аналитическими выражениями, графиками, уравнениями и т. д. 3. После этого анализируются цели исследования. Они могут быть качественными и количественными. Качественные цели чаще всего носят психологический или социальный характер, их иногда называют неосязаемыми, так как очень трудно измерить степень достижения этих целей. Все цели должны быть непротиворечивыми и независимыми. Противоречивые цели необходимо исключить, а зависимые объединить. Объект схематизируется, идеализируется, все его несущественные свойства игнорируются. Результатом этого этапа может быть изобразительная или аналоговая модель.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Второй этап - постановка задачи. Процесс постановки задачи при моделировании идёт непрерывно, постановка задачи меняется и уточняется. При этом: • выясняется возможность постановки задачи, • оценивается ориентировочная стоимость решения, • определяются условия моделирования и предусматриваются меры для их выполнения, • уточняются и формулируются задачи, решение которых необходимо для достижения целей моделирования, • намечаются пути (стратегии) достижения целей и каждая стратегия анализируется.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования В результате выявляются те цели и стратегии, которые не могут быть использованы из-за ограниченности ресурсов (материальных и временных), нарушений обязательных ограничений (например, экологических) и т. д. После завершения постановки задачи необходимо знать: 1. цели моделирования, 2. условия необходимые для реализации модели, 3. альтернативные варианты моделирования и способы их сопоставления между собой, 4. "узкие места" моделирования и возможные способы их преодоления, 5. необходимые и имеющиеся ресурсы, 6. способ оценки эффективности решения.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Постановка задачи завершается определением критериев эффективности, которые должны позволять выбирать наиболее эффективные стратегии достижения целей. Критерии эффективности, как и цели, бывают качественные и количественные. Мера эффективности может изменяться во времени и поэтому необходимо установить способ отображения изменений эффективности каждой стратегии относительно каждой цели, т. е. построить функцию эффективности, которую желательно выразить, через переменные, определяющие объект моделирования. E = F(X, Y) И тем самым свести задачу к определению таких управляемых переменных, которые обеспечивают максимальную эффективность.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Третий этап - создание математической модели – • формулирование законов, связывающих основные объекты модели и описывающих динамику её функционирования, • запись на математическом языке всех соотношений и зависимостей, присущих идеализированному объекту. Полученная модель должна быть непротиворечивой и корректной. Задача называется корректной, если решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных, т. е. решение устойчиво.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования При создании математической модели используется два подхода. В первом на некоторый момент t определяется состояние x(t) моделируемого объекта и оператор Т, представляющий процедуру перехода объекта в состояние x(t + Δt). Состояние x(t) рассматривается как точка фазового пространства Ф, в котором изменение состояния объекта отождествляется с траекторией движения этой точки по фазовой траектории. Фазовое пространство Ф и оператор Т определяют математическую модель объекта. Исследование объекта на математической модели при таком подходе сводится к изучению способов деления фазового пространства на траектории и установлению зависимости физических параметров объекта от структуры разбиения фазового пространства на траектории.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Другой подход основан на понятии "чёрного ящика", имеющего "входы" и "выходы", связанные между собой оператором Т. При этом не требуется знать внутреннюю структуру моделируемого объекта, математическая модель определяется пространством входов и выходов и оператором Т однозначного преобразования "входов" в "выходы". Особые состояния t+D Т
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Четвёртый этап – выполнение экспериментов на модели, получение и анализ результатов моделирования. Основной задачей анализа результатов является оценка адекватности модели относительно целей моделирования. При этом возникает две ситуации: В первом случае считается, что модель полностью определена, все её параметры известны. Тогда по уклонениям результатов моделирования от теоретических следствий судят о качестве модели, её адекватности объекту. Если уклонения выходят за допустимые границы, то модель бракуется.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Во втором случае, некоторые параметры, характеристики модели остаются не определёнными. Их значения находят в процессе моделирования так, чтобы результаты моделирования с необходимой точностью согласовывались с результатами наблюдений изучаемых объектов. Если ни при каком выборе значений характеристики этим требованиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Проблема организации вычислительного процесса связана с потерей точности из-за ошибок выполнения арифметических операций на компьютере и приближённости числовых значений переменных и констант. Поэтому прежде, чем выполнять вычисления, необходимо предпринять возможные меры по устранению или оценке и учёту влияния этих факторов.
Построение математической модели Основные этапы математического моделирования Пятый этап – анализ и модернизация модели в связи с полученными результатами моделирования, появлением новой информации об изучаемом объекте или изменением целей моделирования. Метод математического моделирования сводит исследование объектов и явлений к математическим задачам. Он позволяет проектировать сложные технические средства, работающие в оптимальных режимах, находит применение в экономике, системах автоматизированного проектирования и управления, определения состояния объектов и эволюции состояния. Он позволяет заменить натурный эксперимент - математическим.
Скачать презентацию Построение математической модели Построение математической модели Любая
Лекция ММ 5.pptx