Построение гемодинамической модели по экспериментальным клиническим данным: обратная задача А. В. Михайлова (НГУ, Новосибирск) А. А, Черевко, А. П. Чупахин (ИГи. Л СО РАН, Новосибирск) А. Л. Кривошапкин, К. Ю. Орлов, В. А. Панарин (ННИИПК, Новосибирск)
Постановка задачи Обратная задача 1: Построение дифференциального уравнения описывающего связь между давлением и скоростью в кровеносном сосуде головного мозга методами идентификации систем дифференциальных уравнений 2. Работа основана на клинических данных, полученных во время реальных операций в нейрохирургическом центре ННИИПК им. акад. Мешалкина. 1 2 – А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач – С. Ф. Редько, В. Ф. Ушаков, В. П. Яковлев, Идентификация механических систем
• По сосуду течет кровь – ньютоновская вязкая жидкость • Стенки кровеносного сосуда вязко-упругие (сложная трёхслойная структура, состоящая из эластина, пронизанного волокнами коллагена) • Внешняя часть стенки сосуда – мышцы, рефлекторно реагирующие на пульсовую волну • Сосуд погружен в мозговое вещество • Рассматриваются значения давления (P) и скорости крови (V) в кровеносном сосуде, измеренные внутрисосудистым датчиком во время операции, заключающейся в эмболизации артерио-венозной мальформации (АВМ)
Аномалии сосудов головного мозга АВМ - патологическая связь между венами и артериями, вследствие которой осуществляется прямое шунтирование (сброс) крови из артериального бассейна в венозный.
Лечение: Внутрисосудистая хирургия – эмболизация (избирательная заклейка кровеносных сосудов) До операции После операции
Влияние АВМ на мозг • Физиология - «обкрадывание» близлежащего мозгового вещества • Уменьшение сопротивления соответствующего участка кровеносной сети – отсутствие капиллярного участка • Значительное увеличение скорости потока крови • Понижение давления в подводящей артерии (аференте) и повышение его в дренирующей вене Нарушение нормального кровоснабжения , возможное кровоизлияние (разрыв сосуда)
Клинические данные (исследуемый промежуток 15 мин, показания датчика снимаются 200 раз в секунду) Рентген-снимок АВМ Скорость Давление Плоскость переменных V и P (без шумов)
По клиническим данным построена математическая модель – дифференциальное уравнение типа нелинейного осциллятора (1) Выбор уравнения такого вида обусловлен наличием у него решений с замкнутыми траекториями (предельные циклы, притягивающие аттракторы) на фазовой плоскости. В качестве управляющей величины используется u – скорость крови. p – величина давления в кровеносном сосуде. Ищутся коэффициенты дифференциального уравнения. Коэффициенты кровеносных сосудов. Коэффициенты отвечают за упругие свойства отвечают за вязкое трение.
• Очистка клинических данных от шумов с помощью вейвлет-преобразования. • Дискретизация уравнения с использованием клинических данных на. Сведение его к переопределенной системе линейных уравнений с прямоугольной матрицей 1000 х6. • Сведение к системе с квадратной матрицей 6 х6 методами обратных задач, что дает решение эквивалентной задачи о минимизации невязки исходной системы. • Возвращение к дифференциальному уравнению, уже с известными коэффициентами. • Решение полученного дифференциального уравнения для определения давления на , сравнение с клиническими данными • Проверка структурной устойчивости полученного дифференциального уравнения и устойчивости его решения относительно вариации начальных данных. • Получены модели для трех пациентов. • Построение модели эмболизации – изменение коэффициентов уравнения в процессе операции (один пациент).
Вейвлет разложение (фильтрация шумов) Для конечного набора значений функции в равноотстоящие моменты времени используется конечномерная аппроксимация где Δ равна шагу по времени, r соответствует сдвигу по оси времени, а s соответствует растяжениям. В качестве «материнской» функции ѱ для вейвлета Габора предлагается функция следующего вида в нашем случае значение ω полагается равным 6.
Скорость 30 -ти секундный образец экспериментальных данных раскладывается по вейвлетам Габора. Коэффициенты разложения, соответствующие высоким и низким частотам, положены равными нулю Давление До применения вейвлет-фильтра После
Определение коэффициентов уравнения по интервалу для конкретного больного Используется дискретный аналог дифференциального уравнения (1) – разностное, которое получается с помощью преобразования Ω: где с – отсчет времени.
Разностное уравнение Искомые коэффициенты вычисляются по интервалу . Обозначим скорость на этом интервале P 0 и давление V 0. Из P 0 и V 0 вначале вычитаются их средние значения (тренды) на интервале ( , соответственно). Затем полученные данные обезразмериваются по формулам (2 a, 2 b). (2 a) (2 b)
Расчет шести коэффициентов дифференциального уравнения осуществляется по 1000 точек, поэтому мы имеем дело с переопределенной системой (матрица размера 1000 х6). Чтобы решить такую задачу понадобятся некоторые сведения из теории некорректных задач. Пусть размера − вещественная матрица. Псевдорешением системы ( ) называется вектор нормы невязки , реализующий минимум У системы ( ) как правило нет классического решения в силу ее переопределенности
Система уравнений ( ) называется нормальной системой по отношению к системе ( ). Задачи ( ) эквивалентны, поэтому множество решений нормальной системы совпадает с множеством псевдорешений исходной системы. В нашем случае система уравнений ( ) имеет вид:
Матрица системы плохо обусловлена (число обусловленности ). Но, в силу показанной численно структурной устойчивости полученного дифференциального уравнения, погрешности в определении коэффициентов слабо влияют на решение (до 10%). Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получим:
Определение коэффициентов уравнения на 15 минутном промежутке времени t • Для определения коэффициентов уравнения на 15 -ти минутном промежутке времени (охватывающем эмболизацию) кроме коэффициентов уравнения, полученных по 5 секундному интервалу, используются только средние значения P, V и значения их амплитуд.
Аналогичные результаты получены еще для двух пациентов с такой же патологией: • пациент Ш 1, 41 год. Артерио-венозная мальформация левой лобной доли размерами 26 х20 х17 мм Осложнения: Интраоперационный разрыв АВМ • пациент С 1, 24 года. Артерио-венозная мальформация левой височной доли размерами 33, 5 х 22, 5 х 25 мм.
Пациент Ш 1 18: 23: 54 – 18: 24: 50 18: 27: 36 – 18: 28: 30 18: 29: 12 – 18: 29: 56
Пациент С 1 9: 24: 28 – 9: 25: 06 9: 27: 12 – 9: 27: 56 9: 29: 04 – 9: 29: 50 9: 29: 54 – 9: 30: 36
• Построена модель - дифференциальное уравнение, которое хорошо аппроксимирует клинические данные. Среднеквадратичное отклонение для пациентов Т 1, С 1, Ш 1 составляет 3 -6 %. Решение этого уравнения структурно устойчиво (малое изменение коэффициентов уравнения слабо влияет на поведение решения) Конкретный больной Набор коэффициентов уравнения, различный для больного и здорового состояния
Изменение коэффициентов уравнения в процессе операции Коэффициенты отвечают за упругие свойства кровеносных сосудов, а коэффициенты отвечают за диссипацию
PV диаграмма • Давление и скорость при фиксированном состоянии пациента (до и после операции) являются приближенно периодическими функциями времени. Этот процесс описывается замкнутой кривой (типа предельного цикла) на фазовой плоскости «скорость-давление» . Медленное изменение коэффициентов уравнения в процессе эмболизации порождает дрейф предельного цикла в сторону повышения давления и уменьшения скорости. Этот дрейф описывает переход из больного состояния в здоровое и отвечает успешной операции.
С помощью коэффициентов, полученных на пятисекундном интервале, описано изменение коэффициентов для промежутка времени, охватывающего эмболизацию Больной Здоровый операция «больные» коэффициенты уравнения «здоровые» коэффициенты уравнения
Выводы • Предложен метод построения дифференциального уравнения, описывающего связь между давлением и скоростью в кровеносном сосуде головного мозга на основании клинических данных, полученных во время реальных операций. • Метод позволяет вычислять давление по скорости на больших промежутках времени (около 10 минут), построив дифференциальное уравнение по малому промежутку времени (несколько секунд). • Метод применен для трех пациентов cо схожими патологиями. Измерения проводились в одних и тех же сосудах головного мозга, поэтому диапазон полученных коэффициентов можно назвать типичным для данного сосуда.
Спасибо за внимание
Скачать презентацию Построение гемодинамической модели по экспериментальным клиническим данным обратная
887e8a2ec2992af3182c19dea72b1bc2.ppt