Построение Фазовых Портретов динамических систем. Выполнили: Краснухина

Построение Фазовых Портретов динамических систем. Выполнили: Краснухина Ксения Салимов Георгий Сипягина Елена Тельнова Лилия

« Теория колебаний сегодня – это широкая всеобъемлющая наука об эволюционных процессах в природе, технике и обществе, в механике, физике, астрономии, химии, биологии, экономике… и во всем, что нас окружает, и в нас самих. » Ю. И. Неймарк

Качественная теория дифференциальных уравнений изучает свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.

Основы ее были заложены в конце XIX века в работах А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. В настоящее время ее методы широко применяются для исследования нелинейных систем, описывающих динамические процессы не только в механике и физике, но и в других областях естествознания.

В чем мораль ?

Очень часто встречается ситуация, когда модель рассматриваемого процесса сводится к дифференциальному уравнению. Причём, в большинстве реальных задач это уравнение довольно сложно решить, или совсем невозможно.

И вот тут в полный голос звучит извечный вопрос: как быть?

Встречайте: фазовые портреты (они же фазовые диаграммы)

Динамическая система – математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим и др. системам, эволюция во времени, которых на любом интервале времени однозначно определяется начальным состоянием.

Ответ на вопрос о том, какие режимы поведения могут устанавливаться в данной системе, можно получить из так называемого фазового портрета системы – совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых переменных ( фазовом пространстве ).

Среди этих траекторий имеется некоторое число основных, которые и определяют качественные свойства системы. К ним относятся прежде всего точки равновесия, отвечающие стационарным режимам системы, и замкнутые траектории (предельные циклы), отвечающие режимам периодических колебаний. Будет ли режим устойчив или нет, можно судить по поведению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притягивает все близкие траектории, неустойчивое отталкивает хотя бы некоторые из них.

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция (во времени) этой системы — перемещением этой точки.

Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь б льшую оо размерность. В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, а на оси ординат — первая производная x по времени (что, очевидно, связывает ось ординат с импульсом.

Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек.

Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность различных фазовых траекторий — это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных сочетаний системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц.

Простым языком, фазовый портрет — это то, как величины, описывающие состояние системы (т. е. динамические переменные), зависят друг от друга. В случае механического движения это координата и скорость, в электричестве это заряд и ток, в известной популяционной задаче это количество хищников и жертв и т. д.

Линейная а в т он о мная дин а мичес к ая сис т е ма Р а с с м о трим л иней н ую о днор о дную с и с т е м у с по с т оян н ыми к о э ф ф иц и ентами: ( 1 ) К оо р динатную п л о с к о с ть x. Oy на з ыва ю т ее фа з о в ой п л ос к остью. Че р ез л ю б ую т очку п л о с к о с ти пр ох о дит о дна и т о л ь к о о дна ф азовая к р ивая ( тра е к т ория ). В с и с т е ме ( 1 ) воз м о ж н ы три типа ф а з овых т р а е к т орий : т оч к а, з амкнутая к ривая, не з а м кнутая к р ивая. Т оч к а н а ф а з о в ой плос к о с ти с о о тв е т с т в у ет с т ацио н арно м у р ешению ( п о л о ж ению ра в новес и я , т о ч к е по к о я ) с и с т е мы ( 1 ) , з амкнутая к р ивая – пери о д и че ск о м у р е шен и ю, а неза м кнутая – непери о дичес к о м у.

П о л о ж ения равн о весия Д С П о л о ж ения равнов е с ия с и с т е мы ( 1 ) най де м, р е шая с и с т е м у: a x b y 0, ( 2 ) c x d y 0. Си с т е ма ( 1) и м еет е дин с твенное н у л е в ое п о л о ж ение р авнов е с ия, если опр е д е — ли т е ль м атри ц ы с и с т е м ы: a c b dd e t A a d c b 0. Е с л и ж е det A = 0 , т о, к р о м е н у л е в о г о п о л о ж ения ра в новес и я, есть и д р угие, так к ак в э т ом с лучае с ис т е м а ( 2) и м е е т бес к о н еч н ое м н о ж ес т во решен и й. К ач е с тве н ное пов е д ение ф аз овых тра е к т о рий ( тип п о л о ж ения ра в но в есия) опр е д е л я е т с я с об с твенными ч ис л ами матри ц ы с и с т е мы.

Кла с сифи к ация т очек по к оя Собс т в е н н ые ч ис л а матри ц ы с и с т е мы най де м, р е шая ур а внение: λ 2 ( a d ) λ a d b c 0. ( 3 ) Зам е ти м , ч т о a + d = t r A ( с л е д матрицы) и a d – b c = det A. Кла с с ифи к ация т очек по к оя в случае, к о г да det A 0, прив е д ена в та б л и ц е: ( 1 2 > 0 ) ( 1 2 < 0 )К о р ни уравн е н и я (3) Т и п т очки по к оя 1 , 2 — в е щ е с тв е нны е , о д но г о з на к а У з е л 1 , 2 — в е щ е с тв е нны е , р азно г о з на к а С е д л о 1 , 2 — к о м пле к с ные, R e 1 = R e 2 0 Фо к у с 1 , 2 — к о м пл е к с ные, R e 1 = Re 2 = 0 Ц ентр

У с т ойчивость т очек по к оя Собс т в е н н ые з на ч ения матр и цы с и с т е мы ( 1 ) о дно з н а ч н о оп р е д е л я ю т у с т ой ч иво с ти п о л о ж ений ра в новес и я: ха р а к т ер У с т ой ч ивый уз е л , о трица т е л ь ны, т оч к а по к оя с ис т е мы ( 1 ) ас и м п т о ти ч ески Н еу с т ой ч ивый уз е л , ур а внения ( 3 ) п о л о ж и т е л ь на, т оч к а по к оя с ис т е мы ( 1 ) фо к у с Ц ентр по к оя с и с т е мы ( 1 ) у с т ой ч ива, но не аси м п т о ти ч ески. Т и п т очки У сл о вие на ве щ е ст в е н н ую час т ь к о р н е й уравн е н и я (3) и ха р ак т е р у с т о й чив о сти 1. Е с л и ве щ ественные ча с ти вс е х к орней ур а внения ( 3 ) у с т ой ч ива. у с т ой ч ивый фо к у с 2. Е с ли ве щ ес т вен н ая ча с ть х о тя бы о дно г о к орня С е д л о, н еу с т ой ч ива. Н еу с т ой ч ивый 3. Е с ли уравнение ( 3) и м е е т ч и с т о м н им ые к орн и , т о ч к а

1 2 1 2 Фаз о вые порт р еты У с т ойчивый уз е л Н е у с т ойчивый уз е л < 0, 0, 2 > 0 , Н а пра в ление на фазо в ой к р ив о й у к аз ы в а е т напра в ление дви ж е ния фа з овой т о чки по к р ивой при возр а ст а нии t.

Фаз о вые порт р еты У с т ойчивый фок у с Н е у с т ойчивый фок у с 1, 2 = i , 0 , 0 Н а пра в ление на фазо в ой к р ив о й к р ивой при возр а ст а нии t. у к аз ы в а е т напра в ление дви ж е ния фа з овой т о чки по

Фаз о вые порт р еты С е д л о Центр 1 2 , 1 0 1, 2 = i , 0 Н а пра в ление на фазо в ой к р ив о й у к аз ы в а е т напра в ление дви ж е ния фа з овой т о чки по к р ивой при возр а ст а нии t.

Фаз о вые порт р еты Н е у с т ойчивый Дикр и тиче с кий уз е л и м еет ме с т о д л я с и с т е м вида: д и к р ит и ч е ский уз е л к о г да a 0. При э т ом 1 = 2 = a. Е с л и a 0 , т о – н еу с т ой ч и в. Н а пра в ление на фазо в ой к р ив о й у к аз ы в а е т к р ивой при возр а ст а нии t. напра в ление дви ж е ния фа з овой т о чки по

1 напра в ление дви ж е ния фа з овой т о чки по 1 Фаз о вые порт р еты В ы р о ж д енный уз е л, Е с ли 0 , т о н е у с т ой ч ивый Н а пра в ление на фазо в ой к р ив о й у к аз ы в а е т к р ивой при возр а ст а нии t.

Бес к онечное мн о ж ество т очек по к оя Е с л и det A = 0 , т о с и с т е ма ( 1 ) и м еет бес к он е ч н ое н о вес и я. При э т ом во зм о ж ны три с лучая: м н о ж е с т в о п о л о ж ений р а в — О пр ед е л е н и е т очек по к оя уравн е н и я (3) т оч е к по к оя x + y = 0 1 = 2 = 0 2 Вся фазовая п лос к о с ть ч ис л ово м у р а в е н с т в у 0 = 0 1 = 2 = 0 Пря м ая x + y = 03 ур а внению x + y = 0 В о в т ором с л у ч ае л юбая т оч к а по к оя у с т о й ч и в а по Ляпуно в у. В пер в ом ж е с л учае т о л ь к о, если 2 < 0. К о р ни Г е ом е тр и ч е с к ое м е с т о Си с т е ма ( 2) ра в но с ильна Пря м ая на ф азовой 1 1 = 0, 2 0 о дно м у ур а внению вида плос к о с ти: Си с т е м а ( 2 ) равно с ил ь на

Фаз о вые порт р еты П р ямая у с т о й чивых т оч е к по к оя 1 = 0 , 2 0 Н а пра в ление на фазо в ой к р ив о й у к аз ы в а е т к р ивой при возр а ст а нии t. напра в ление дви ж е ния фа з овой т о чки по

Фаз о вые порт р еты Пр я мая н е у с т ой ч и вых т о ч е к п о к о я 1 = 2 = 0 Ф азовые прямые б у д ут пара л л е л ь ны прям о й т очек по к оя ( x + y = 0 ) , если первый и н т еграл уравнен и яc x d y d x a x b y име е т вид x + y = C , г д е C – прои з в о л ь ная по с т оян н ая. Н а пра в ление на фазо в ой к р ивой при возр а ст а нии t. к р ив о й у к аз ы в а е т напра в ление дви ж е ния фа з овой т о чки по

Ал г о р и т м постр о ения ф а зо в о г о порт р ета 1. О п р е д е л ить п о л о ж ения ра в новес и я, р е ш и в с и с т е м у ур а внений: Н айти с об с твенные з на ч ения матри ц ы с и с т е мы, р е ш и в ха р а к т е р и с ти ч ес к ое 2. ур а внени е : λ 2 ( a d ) λ a d b c 0. 3. 4. О п р е д е л ить тип т очки по к оя и с д е л ать выв о д об у с т ой ч иво с ти. Н айти ур а вне н ия г л авных и з ок л ин – г ор и з онталь н ой и в е р ти к а л ь но й , и по с троить их н а ф а з овой плос к о с ти. 5. Если положение равновесия является седлом или узлом, найти те фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало к оо р дина т. 6. 7. Н арисовать ф а з овые тр а е к т ории. О п р е д е л ить напра в л ение дв и ж ения по ф аз о вым тра е к т ор и я м , у к азав е г о с тр е л к ами н а ф а з овом портр е т е.

Г лавные изоклины Ве р т и к альная и з окл и на (ВИ) – с ово к уп н о с т ь т о чек ф а з овой плос к о с т и , в к о т ор ы х к аса т е л ь ная, пров е д енная к ф а з овой тра е к т ории, пара л л е л ь на в е рти к а л ь ной о с и. Т ак к ак в э тих т оч к ах ф а з овых тра е к т ор и й x ’ ( t ) = 0 , т о для Л Д С ( 1) уравнен и е В И и м е е т вид : a x + b y = 0. Г о р из о нт а льная изокли н а (ГИ) – с овокуп н о с ть т о ч ек ф а з овой плос к о с ти, в ко т орых к аса т е л ь ная к ф а з овой тра е к т ории пара л л е л ь на г ориз о нтальн о й о с и. Т ак к ак в э тих т оч к ах ф а з овых т р а е к т орий y ’ ( t ) = 0, т о д л я Л Д С ( 1 ) ур а внение Г И и м еет ви д : cx + d y = 0. Зам е ти м , ч т оч к а по к оя н а ф а з овой плос к о с ти – э т о пе р есеч е ние г л авных и з ок л ин. В е рти к а л ь ную и з о к л ину на ф а з овой плос к о с ти б у де м по м е ч ать в е рти к а л ь ны м и штриха м и, а г ориз о нтальную – г ориз о нтальны м и.

Фаз о вые траек т о р ии Е с л и п о л о ж ение р авнов е с ия я в л я е т с я с е длом или у з ло м , т о с у щ ест в у ю т ф а з овые тра е к т ории, к о т орые л е ж ат на прямых, пр ох о дящих чер е з на ч а л о к оо р дина т. У рав н е н ия т а к и х п р ям ых м о жн о и с к а т ь в в и д е * y = k x. П о дс т а в л я я y = k x в ур а внени е : d y c x d y , d x a x b y д л я опр е д е л ения k п о л уч и м : c k d ( 4 ) b k 2 ( a d ) k c 0. k a b k Дад и м о пис а н и е фазовых т раек т о р ий в завис и м о сти о т к о л и че с тва и кратнос т и к орней у р авне н ия (4). * У р а внения прям ы х , с о д е р ж а щ их ф а зов ы е т р а ек т ории, м о ж но ис к а т ь и в ви д е x = k y. k ak b . Т о г да для на х о ж д ения к оэф ф ициен т ов сл е дуе т реши т ь ура в не н ие c k d

Узел. Фаз о вые траек т о р ии Опис ан ие ф а з о в ы х траек т о р ий у р ав н е н ия ( 4 ) по к оя. К о р н и Т ип т о чки k 1 k 2 С е д л о Пря м ые y = k 1 x и y = k 2 x называют с епаратрис ами. Остальные фазовые траектории – гиперболы, для которых найденные прямые являются асимптотами Пря м ые y = k 1 x и y = k 2 x. Остальные фазовые траектории образуют параболы, которые касаются в начале координат одной из найденных прямых. Фазовые траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине (корень уравнения (3))

Узел Фаз о вые траек т о р ии Т ип т о чки п о к о я Опис ан ие ф а з о в ы х траек т о р ий у р а вн е н ия ( 4 ) k 1 k 2 Пря м ая y = k 1 x. Остальные фазовые траектории – это ветви парабол, которые касаются в начале координат этой прямойуз е л Пря м ые* y = k 1 x и x = 0 – э т о с епаратрис ы. Остальные фазовые траектории – гиперболы, для которых найденные прямые являются асимптотами ! k 1 * Е сли ура в не н ия прямых и щ у т ся в ви д е x = k y , т о г да э т о б у д ут прямые x = k 1 y и y = 0. К о р н и В ы р о ж д е нный Седло Пря м ые* y = k 1 x и x = 0. Остальные фазовые траектории образуют параболы, которые касаются в начале координат одной из найденных прямых.

Фаз о вые траек т о р ии Т ип т о чки п о к о я Опис ан ие ф а з о в ы х траек т о р ий у р а вн е н ия ( 4 ) Е с л и п о л о ж ение р авнов е с ия я в л я е т с я ц е нтр ом , т о ф а з овые тр а е к т ории я в л я ют с я э лл ип с ами. Е с л и п о л о ж ение р авнов е с ия я в л я е т с я фок у с ом , т о ф а з овые тра е к т ории я в л я ют с я с п и ра л я м и. В с л учае, к о г да Л Д С и м еет пр я м ую т о ч е к по к о я , т о м о ж но н айти ур а внения всех ф а з овых тра е к т орий, р е ш и в ур а внени е : c x d y d x a x b y Е г о пе р вый ин т ег р ал x + y = C и опр е д е л я е т с е мей с тво ф а з овых прямых. К о р н и k R Ди к рити ч еский Все ф а з овые тра е к т ории л е ж ат на прямых уз е л y = k x , k R.

Напр а в ление дви ж ения Е с л и п о л о ж ение ра в новес и я я в л я е т с я у з лом или фок у с о м , т о напра в л е н ие дви ж ения по ф а з овым т р а е к т ориям о п р е д е л я е т с я о дно з на ч н о е г о на ч а л ау с т ой ч и во с т ь ю к оо р динат ). (к на ч а л у к оо р динат) или н еу с т о й ч и в о с т ь ю ( о т Пра в да, в с лучае фо к у са тре б у е т с я у с тан о в и ть еще и нап р а в л ение з а к р уч и вания ( раскру ч ивани я ) с п и р а л и – п о ч а с о в о й и л и п р о т и в ч а с о в о й с т р е л к и. Это можно сделать, например, так. Определить знак производной y’(t) в точках оси x. dy К о г да c x 0 , ес л и x 0 , т о о р дината движу щ ейся т очки по ф а з овойdt y 0 трае к т ории при пересе ч ении «п о л о ж и т е ль н о г о луча о с и x » во з рас т а е т. ( рас к р уч и вани е )» Зна ч и т , « з а к р уч и вание ча с овой с тр е л к и. т ра е к т орий п р ои с х о дит пр о т ив dy c x 0 , ес л и x 0 , т о «закручи в ание ( раскру ч и вание)» т рае к т о — К о г да dt y 0 рий про ис х о дит п о ча с овой с тр е л к е.

Напр а в ление дви ж ения Е с л и п о л о ж ение ра в новес и я я в л я е т с я ц е нтр о м , т о напра в л е ние дви ж ения по ф а з овым тра е к т ориям ( п о часо в ой с тр е л к е или пр о тив) м о ж но опр е д е л ить так ж е, к ак у с тана в л ива е т с я напра в л ение « з а к р уч и вания (р а с кру ч ива н ия)» тра е к т ории в с л учае фо к у с а. В с л учае « с е дла » дви ж ение п о о дной и з е г о с епа р атрис пр о и с х о дит в нап р а в л ении на ч а л а к оо р дина т , п о – д р у г ой от на ч а л а к оо р дина т. По вс е м о с та л ь ным ф а з овым тра е к т ори я м дви ж ение п р ои с х о дит в с о о тв е т с тв и и с дви ж ени е м по с епа р атрисам. С л е д ова т е л ь но, если п о л о ж ение ра в новес и я – с е дло , т о д о с та т о ч н о ус т ано ви ть напра в л ение дви ж ения по к а к ой-ни б у дь тра е к т ор и и. И д а л ее м о ж н о о дно з на ч н о ус т анов и ть трае к т ори ям. напра в л ение д в и ж ения по вс е м о с та л ь ным

Напр а в ление дви ж ения (с е дло) Ч т обы ус т ано в ить напра в л ение дви ж ения п о ф а з овым тр а е к т ориям в с е дл а , м о ж н о вос п о л ьз овать с я о дним из с л е д ую щ их с по с обо в : 1 сп о с о б с л учае О п р е д е лит ь , к ая и з д в ух с епаратр и с с о о тв е т с тв у е т о три ц а т е ль н о м у с об с твенно м у з на ч ению. Д в и ж ение по ней прои с х о дит к т оч к е по к оя. 2 сп о с о б О п р е д е л ит ь , к ак и з мен я е т с я абс ц и сс а движу щ ейся т о чки по л юбой из с епа р атрис. Н апример, д л я y = k 1 x и м ее м : dx dt ( a b k 1 ) t a x b k 1 x ( a b k 1 ) x , x ( t ) x ( 0 ) e. y k 1 x Е с л и x ( t ) п ри t + , т о дви ж ение по с епа р атрисе y = k 1 x прои с х о дит к т оч к е по к оя. Е с л и x ( t ) при t + , т о дви ж ение прои с х о дит о т т очки по к оя.

Напр а в ление дви ж ения (с е дло) 3 сп о с о б Е с л и о с ь x н е я в л я е т с я с епа р атрисой , опр е д е л ить к ак и з м еня е т с я о р ди н ата движу щ ейся т очки по ф а з овой тра е к т ории при пер е с ечении о с и x. dy К о г да c x 0 , ес л и x 0 , т о о р дината т очки возрас т а е т и, з на ч и т , dt y 0 дви ж ение по ф азовым тра е к т о риям, пер е с е к аю щ им п о л о ж и т е л ь ную ча с т ь о с и x , про и с х о дит с н и з у вв е р х. Е с л и ж е о р дината убыв а е т , т о дви ж ение б у д ет прои с х о дить с в е р ху вни з. Е с ли опр е д е л ять нап р а в ле н ие дви ж ен и е по фазо в ой трае к т ор и и, y , пер е с е к аю щ ей о с ь то л уч ш е ана л и з ировать и з м енение а б с ц и с с ы движу щ ейся т очки.

Напр а в ление дви ж ения 4 сп о с о б* Постро и т ь в п роизв о л ь н ой т оч к е ( x 0 , y 0 ) ф азовой плос к о с ти п о л о ж ения ра в новес и я) в е к т ор с к орост и : ( о т л и ч н о й от d x d y v , ( a x 0 b y 0 , c x 0 d y 0 ). d t ( x , y ) 0 0 Е г о напра в л ение и у к а ж е т н апра в л ение д в и ж ения пр ох о дя щ ей чер е з т очку ( x 0 , y 0 ) : v по ф а з овой тра е к т о р и и , ( x 0 , y 0 ) * Эт о т с п ос о б м о ж е т б ы т ь ис п о ль з ов а н при опр е д е лении направл е ния дви ж ения по ф а зов ы м т р а ек т ориям для любо г о т ипа т о ч ки по к оя.

Напр а в ление дви ж ения 5 сп о с о б* О п р е д е лить о б л а с ти « з на к оп ос т оя н с тв а » про из в о дных: d x d t d y d t a x b y , c x d y. Г раница м и э тих о б л ас т ей б у ду т г л авные и з ок л ины. Знак п р ои з в о дной у к а ж ет н а т о , к ак и з м еня е т с я о р ди н ата и аб с ц и с с а тра е к т ории в ра з л и ч ных о б л астях. y движу щ ейся т очки по ф а з о в ой y x ’ ( t)0 x ’ ( t)< 0 , y ’ ( t) 0 , y ’ ( t)>0 x ’ ( t)> 0 , y ’ ( t)<0 * Эт о т с п ос о б м о ж е т б ы т ь ис п о ль з ов а н при опр е д е лении направл е ния дви ж ения по ф а зов ы м т р а ек т ориям для любо г о т ипа т о ч ки по к оя.

А сейчас н ужн ы задачи

Кл ю чевой принцип — о т про ст о г о к сл о жно м у маленькими ша г ами

Пример 1 1. Си с т е ма и м еет е дин с твенное н у л е в ое п о л о ж ение р авнов е с ия, так к ак det A = 0. 2 6 = 0, 2. По с троив с о о тв е т с т в ую щ ее ха р а к т е р и с ти ч ес к ое ур а внение 1 , 2 6. най де м е г о к орни К орни в е щ ественные и разно г о з на к а. С л е д ова т е ль но, п о л о ж ение ра в новес и я – с е дло. Се п ар а три с ы с е д л а и щ е м в ви д е y=kx 3. 1 2 k 2 6 2 k 2 4 k 1 0 kk , k 2 , 2 2 , k 0 , 22. 1 , 2 1 2 2 2 k 2 В е рти к а л ь ная и з ок л ина: x + y = 0. Г ориз о нтальная и з ок л ина: x – 2 y = 0. 4.

Пример 1(седло) Н арис у е м на ф а з овой плос к о с ти с епаратри с ы y = k 1 x и y = k 2 x и г л авные и з ок л ины. О с та л ь ную ча с ть плос к о с ти з ап о л ня ю т тра е к т ории — гиперб о л ы, д л я к о т орых с епаратри с ы я в ля ют с я ас и м п т о там и. y x

Пример 1 Н ай де м напра в л ение д ви ж ения по тра е к т ория м. Д л я э т о г о м о ж н о опр е д е л ить з нак прои з в о дной y ’ ( t ) в т о ч к ах о с и x. При y = 0 и м е ем : dy dt x 0 , ес л и x 0. y 0 Т а к им обра зо м, о р дината дв и — жу щ ейся т о чки по ф аз овой тра е к т ор и и п р и пер е с е че н ии «по- л о ж и т е л ь но г о л уча о с и x » убыв а е т. Зна ч и т , дви ж е ние по ф а з о вым тра е к т ория м , п о л о ж и т е л ь ную пер е с е к аю щ им о с и x , ч а с т ь про ис х о дит с ве р ху вн из. y x

Пример 1 Т е п ер ь ле г к о найти нап р а в ле ние д ви ж е ния по д р угим тр ае к т о р иям. y x

Не о днор о дн ы е Л Д С Р а с с м о трим л иней н ую не о днор о дную с и с т е м у ( Н Л Д С) с п о с т оян н ыми к о э ф ф и- циента м и: ( 5 ) к о г да 2 . 2 Р ешив с ис т е м у ур а внени й : получим состояния п о л о ж ения равнов е с ия с и с т е мы ( 5 ). Е с л и det A 0 , т о с и с т е ма и м еет е дин с твенное п о л о ж ение р авнов е с ия P( x 0 , y 0 ). Е с ли det A 0 , т о с и с т е м а , либо и м е е т бес к о н еч н о м н о г о п о л о ж ений равнове с ия – т очки прям о й, опр е д е л я е м о й ур а внени е м ax + by + = 0 ( или c x + dy + = 0 ), л ибо вооб щ е не и м еет п о л о ж ений ра в новес и я.

Пре о бр а зов а ние НЛ Д С з амену пе р е мен — Е с л и с и с т е ма ( 5) и м е е т п о л о ж ения ра в нов е с ия, т о вып о лн ив ных: г д е, в с л учае, к о г да с и с т е ма ( 5 ) и м е е т бес к о н ечно м н о г о п о л о ж ений ра в но в еси я , x 0 , y 0 – к оо р д и наты л юбой т о чки, п ринад л еж а щ ей прям о й т о чек по к о я , п о лу — ч и м о днор о дную с и с т е м у : ( 6 ) В в е дя н а ф а з о в ой плос к о с ти x 0 y н о в ую с и с т е м у к оо р динат с ц е н тром в т о ч к е по к оя P , пос т роим в ней фазов о й пор т р е т с и с т е м ы ( 6 ). В ре з у л ь та т е на плос к о с ти x 0 y п о л уч и м ф а з овый портр е т с и с т е мы ( 5 ).

Пример 2 Т ак к ак 2 x 2 y 1 2 0 , x 2 y 3 0 x 3 , y 3 , т о Д С име е т е дин с твенное п о л о ж ение ра в новес и я P(3; 3 ). В ы п о л нив з амену пере м енных x = + 3 , y = + 3, п о л уч и м с и с т е м у: н у л е в ое п о л о ж ение ко т орой н еу с т ой ч иво и я в л я е т с я с е д л ом.

Пример 2 По с троив ф а з овый портрет на плос к о с ти P , с овме с тим ее с ф а з овой плос к о с т ь ю x 0 y , з н ая, к а к ие к оо р динаты име е т в ней т оч к а P. y P x

Фаз о вые порт р еты НЛ Д С При пост р ое н ии ф а з овых п ортр е т ов в с л учае, к о г да с и с т е ма ( 5 ) не п о л о ж ений ра в новес и я, м о ж н о и с п о л ьз овать с л е д ую щ ие р е к о м енд а ции: и м еет 1. Н айти пер в ый ин т ег р ал ур а внения d x d y , a x b y c x d y и та к им образом опр е д е л ить с е мей с тво вс е х ф а з овых тра е к т орий. a x b y 0 ( В И ) , c x d y 0 ( Г И ). 2. 3. Н айти г л авные и з ок л ины: Н айти прямые, с о д е р ж ащие ф а з овые тра е к т ории, в ви д е у = k x + . При э т ом д л я на х о ж д ения к о э ф ф иц и ен т ов k и , уч и тывая, ч т о c : a d : b , по с троить ур а внени е : ( a x b y ) . d y d x k a x b y ( a k b ) x b y k x

Фаз о вые порт р еты НЛ Д С Т ак к ак вы р а ж ение ( a k b ) x b н е з ав и с ит о т x , на х о ж д ения k и : a + k b = 0 , то е с л и п о л уч и м с л е д у ю щ и е условия д л я a k b 0 , k . b У ра в н е ни е п р я м о й м о жн о и с к а т ь и в в и д е x = k y + . У с л о в и я д л я k и с троя т с я ана л оги ч но. оп р е д е л е ни я Е сли су щ е ст в у е т т о ль к о о дна пр я мая, остал ь ных т ра е к т о р ий. т о он а я в ля е т ся ас и мп т о й для 2. Д л я опр ед е л е ния напра в л ения дви ж ен и я по ф а з ов ы м тра е к т ори я м опр е д е л ить о б л асти « з на к опо с т оян с тв а » прав ы х ча с т ей с и с т е мы ( 5 ). 3. Д л я опр е д е л е н ия ха р а к т е р а выпу кл о с ти (во г ну т о с т и ) ф а з о в ых тра е к т ор и й по с троить прои з в о дную y ”( x ) и у с тановить о б л асти е е « з на к опо с т оян с тв а » . Р а з л и ч ные при е мы по с тро е ния ф а з овых портр е т ов ра с с м о трим н а при м е р а х.

Пример 3 d x 0 Р ешив ур а внени е : 0, d y 1 п о л уч и м, ч т о все ф а з овые тра ек — т ории л е ж ат на прямых x C, C R. Т ак к ак y ’ ( t ) = 1 > 0 , т о о р дината движу щ ейся т очки по л юбой ф а з овой тра е к т ории возрас т а е т. С л е д ова т е ль но, дви ж ение по ф а з овым тра е к т ориям прои с х о дит с ни з у вв е р х. y x

Пример 4 dy dx. Р ешив ур а внени е : x 1, п о лучи м , ч т о фазовы м и трае к т ори ям и с и с т е м ы я в ля ют с я параб о лы: ( x 1 ) 2 y C , C R , 2 о с и к о т орых л е ж ат на г ориз о нтальн о й и з ок л ине x 1 0 , а ветви напра в л ены вв е р х. Т ак к ак x ’ ( t ) 1 > 0 , т о аб с ц исс а дви ж у щ ей с я т о чки п о любой фа з овой тра е к т ор и и в о з раст а е т. С л ед ова т е л ь но, дв и ж ение по л е в ой в е тви пар а б о л ы прои с х о дит с в е р ху вниз д о пер е с е чен и я с п р я м ой – г о р и з о н та л ь ной и з ок л ино й , а да л ее – с ни з у вв е р х.

Пример 4 О п р е д е л ить н апра в л ение д ви ж е — y ния по ф а з ов ы м тра е к т ориям м о ж- н о бы л о бы и у с тановив о б л асти « з на к оп о с т оян с тв а » с и с т е м ы. правых ча с т ей y ( t ) > 0 , x ‘ ( t ) > y ‘ ( t ) 0 xx ‘ ( t ) x ‘( 0 , 1 x

Хмм. . . Колебания в линейном случае происходят синхронно — с одной и то же частотой. В нелинейном же случае, частота колебания с большей амплитудой оказывается меньше, чем у колебания с малой амплитудой

Это служит еще одним подтверждением того, что нелинейные колебания не являются гармоническими.

Знани е — сила! Т еперь вы зна е т е ч уть б о льше о её св е т лой ст ороне.