Построение евклидовой геометрии в аксиоматике Вейля Для студентов

Построение евклидовой геометрии в аксиоматике Вейля Для студентов 3 курса математического факультета (сост. доц. М. С. Ананьева)

Вопросы 1. Общие вопросы аксиоматики o o 2. 3. 4. Система аксиом Вейля Требования к системе Построение евклидовой геометрии при помощи системы аксиом Г. Вейля Эквивалентные системы аксиом Различные обобщения системы аксиом Г. Вейля

Введение o Элементарная геометрия — геометрическая теория, изучающая n n n группы перемещений (изометрий) и группы подобий инверсии сферическую геометрических построения измерение геометрических величин n o o o и другие вопросы Элементарную геометрию называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида (III в. до н. э. ) Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Д. Гильбертом (XIX в. ) Евклидова геометрия может быть построена с помощью системы аксиом Г. Вейля

1. Общие вопросы аксиоматики 1. 2. 3. 4. Система аксиом Вейля Аксиоматическое построение теории Непротиворечивость аксиоматики Независимость и полнота системы аксиом o См. Геометрия (3 семестр). Тема 3.

1. Система аксиом Вейля

1. Система аксиом Вейля o o Система аксиом Вейля Аксиомы первой группы определяют V как линейное векторное пространство Аксиомы размерности утверждают, что V – трехмерное векторное пространство, в котором существует хотя бы один базис, состоящий из трех линейно независимых векторов Аксиомы первых трех групп определяют множество V как трехмерное евклидово линейное векторное пространство

1. Следствия из аксиом Вейля

2. Построение евклидовой геометрии с помощью системы аксиом Вейля o Построение евклидовой геометрии состоит в том, что вводятся определения различных фигур и с помощью введенных аксиом Вейля доказываются их свойства o o o o o Прямая Плоскость Отношение «лежать между» Отрезок. Луч. Полуплоскость. Полупространство Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность. Ортогональность Введение метрики Координаты векторов и точек Прямоугольная система координат

2. 1. Основные понятия: Прямая 1. Прямая o Аксиомы V 1 -V 2

2. 1. Основные понятия: Прямая 1. Прямая

2. 1. Основные понятия: Прямая

2. 1. Основные понятия: Прямая o o Любой ненулевой вектор в направляющем подпространстве образует базис Направляющий вектор прямой - базисный вектор прямой s или базис

2. 2. Основные понятия: Плоскость

2. 2. Основные понятия: Плоскость o Направляющим подпространством плоскости является двумерное векторное пространство

2. 2. Основные понятия: Плоскость o o Теорема 4. В пространстве существует хотя бы одна плоскость. Каждая плоскость содержит бесконечно много точек. Существует хотя бы одна точка, не лежащая на данной плоскости.

2. 2. Основные понятия: Плоскость

2. 2. Основные понятия: Плоскость Теорема 6. o Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и только одна. Теорема 7. o Через любые две пересекающиеся прямые проходит плоскость и только одна.

2. 2. Основные понятия: Плоскость Теорема 8. o Через любые точку и не проходящую через нее прямую проходит плоскость и только одна. Теорема 9. o Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости

2. 3. Основные понятия o Дальнейшее построение геометрии на плоскости требует введения фигур (отрезок, луч, полуплоскость), которые определяются через отношение «лежать между» для точек и дают возможность определить другие фигуры: углы, треугольники, многоугольники и т. д.

2. 3. Основные понятия: отношение «лежать между»

2. Основные понятия: Отрезок

2. Основные понятия: Луч

2. Основные понятия: Луч Теорема 10. o Любая точка прямой разбивает прямую на два и только два луча, причем точка лежит между любыми двумя точками, принадлежащими разным лучам, и не лежит между точками, принадлежащими одному лучу.

2. Основные понятия: Полуплоскость

5. Параллельность прямых и плоскостей Теорема 11. o Любая прямая, лежащая на плоскости, разбивает плоскость на две полуплоскости. o Если точки P и Q лежат в разных полуплоскостях, то отрезок PQ пересекает прямую, если точки лежат в одной полуплоскости, то отрезок PQ не пересекает прямую.

Основные понятия: плоскость Теорема 11. o Любая прямая, лежащая на плоскости, разбивает плоскость на две полуплоскости. o Если точки P и Q лежат в разных полуплоскостях, то отрезок PQ пересекает прямую, если точки лежат в одной полуплоскости, то отрезок PQ не пересекает прямую.

3. Параллельность прямых и плоскостей o Отношение параллельности прямых и плоскостей вводится через их направляющие подпространства: одномерное линейное векторное пространство L 1 для прямой и двумерное линейное векторное пространство L 2 для плоскости

3. Параллельность прямых и плоскостей Определение 7. o Две прямые (две плоскости) называются параллельными, если их направляющие подпространства совпадают. o Прямая, называется параллельной плоскости, если направляющее подпространство прямой является подмножеством направляющего подпространства плоскости.

3. Параллельность прямых и плоскостей Определение 7.

3. 1. Свойства параллельности Теорема 12. o Через любую точку пространства проходит единственная прямая (плоскость), параллельная данной прямой (плоскости)

3. 1. Свойства параллельности Теорема 13. o Параллельные прямые (плоскости) или не имеют общих точек, или совпадают. Теорема 14. o Параллельные прямая и плоскость или не имеют общих точек, или прямая лежит в плоскости.

3. 1. Свойства параллельности Теорема 15. o Через любые две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость.

3. 2. Взаимное расположение двух прямых

3. 3. Взаимное расположение двух плоскостей

3. 4. Взаимное расположение прямой и плоскости

3. 5. Взаимное расположение прямых, лежащих в одной плоскости

Домашнее задание o o Докажите теоремы Литература: Избранные вопросы геометрии : лекции по геометрии для студентов математического факультета ПГПУ / сост. М. С. Ананьева, Л. И. Истомина, Л. Я. Панкратова, Т. М. Соромотина. – Пермь, 2012.