Популяционная динамика животных и микроорганизмов Имеется некоторая

Популяционная динамика животных и микроорганизмов

Имеется некоторая популяция одного вида (микроорганизмы, зайцы и т. п. ), в которой происходят жизненные процессы во всем их многообразии. Задача. Найти законы изменения численности популяции во времени. Основные допущения: 1. Существуют только процессы размножения и естественной гибели, скорости которых пропорциональны численности особей в данный момент времени. 2. Не учитываем биохимические, физиологические процессы. 3. Нет борьбы между особями за место обитания, за пищу (бесконечно большое пространство и количество пищи). 4. Рассматриваем только одну популяцию, нет хищников. Животные: простейшая модель

Животные: простейшая модель x — количество животных a — коэффициент размножения b – коэффициент гибели животных Люди: динамика популяции Гиперболическая кривая Форстер (1960), Хостер (1975), Шкловский (1980)

Животные: модель Ферхюльста Логистическая кривая N

Взаимодействие “хищник-жертва” Модель Лотки-Вольтерра yxy dt dy xyx dt dx жертва хищник Существует стационарное состояние: 0 0 dt dy dt dx 21 стст yx

Фазовый портрет (связь между x и y ): стx x x стy y y yx dt dy xy dt dx 1 1 xy yx dx dy 1 1 dx ax xdy y y 11 const e y e x yx Взаимодействие “хищник-жертва” Модель Лотки-Вольтерра

Взаимодействие “хищник-жертва”: малые отклонения от равновесия 2 )()( tyyty txxtx ст ст y dt yd x dt xd 2 22 )cos()( 22 11 t. Aty t. Atx

Эпидемический процесс

Моделирование эпидемического процесса Сделаем ряд упрощений: 1) рассмотрим инфекционные заболевания с пожизненным иммунитетом 2) будем считать, что численность популяции людей не изменяется с течением времени 3) популяция возбудителя однородна 4) популяция людей однородна 5) вероятность смерти человека не зависит от возраста; 6) вероятность выздоровления человека не зависит от времени, прошедшего с момента заражения 7) вероятность передачи инфекции не зависит от времени года

Моделирование эпидемического процесса Три состояния человека: 1) восприимчивый, т. е. не болеющий и еще не болевший этим инфекционным заболеванием человек, который впоследствии может заразиться; 2) инфицированный человек; 3) иммунный, т. е. имеющий иммунитет в результате перенесенного заболевания человек. N -общая численность людей IN -число инфицированных SN -число восприимчивых

Переход ‘‘восприимчивые” — “инфицированные” Моделирование эпидемического процессаdt. NNIs Переход “инфицированные” — ”здоровые” dt. NI Переход ‘‘восприимчивые” — “умершие” Переход ‘‘инфицированные” — “умершие” dt. Ns dt. NI Рождение ‘‘восприимчивых” Ndt )( SISS IIISI NNNN dtd. N NR 1 R эпидемия

Моделирование эпидемического процесса: случай малых отклонений w. Rv dtdv v. R dtdw )1( )cos()( 22 11 te. Atv te. Atw t t )1(2 RR

Эпидемический процесс: усложнение модели Учет “лаг-фазы” инфекции )()( )( SIS S IIIS I NNtt. NN dt d. N Учет заразности инфекции от времени года )()( )( SIS S IIIS I NNNNt dt d. N

Динамика микробных популяций

Культивирование клеток -> изучение клеточного цикла in vitro (культуры, линии клеток). Фазы роста: 1) индукционный (лаг-фаза) – адаптация клеток к среде, перестройка их метаболизма; 2) экспоненциальный рост (много митозов); 3) линейный рост (мало митозов); 4) замедление роста; 5) стационарная фаза; 6) отмирание культуры. Причины замедления роста – истощение субстрата, накопление токсических продуктов и др. Динамика микробных популяций

Экспоненциальная фаза роста N dt d. N PNNS NSSN m SK 2 Предположим, что скорость роста лимитируется одним субстратом S: N K NS NNSN S c][ SK SN NS S c S ][ SK SN NS dt d. N S cm m с ][SK S S m удельная скорость роста: (уравнение Моно) Типичные значения: m ~ 10 -2 ÷ 10 -5 c-1, K S ~ 10 -2 ÷ 10 -8 M. t ссe. NN

), 1(, )( ), 1(, 0 mjx. Aa. DAA dt d. A ni. Dxx. A dt dx k kkjkjj j iii i Рост микробных популяций : хемостат V Q VQD/ — удельная скорость роста, зависит от концентрации пит. веществ 0 j. A ix

Рост микробных популяций : хемостат), 1(, 0 mjxa. AA ni. Dx. A k kjkjj ii Стационарное состояние Закон Гаузе: Нетривиальные решения существуют только при nm

Клеточный рост. М — фаза (митоз) деление клетки G 1 — фаза S — фаза синтез и удвоение ДНК G 2 — фаза Клеточный цикл: 1 час (эмбриональные и микробные клетки) ~10 лет (гепатоциты, нейроны).

0), ( s stx t stx. Клеточный цикл: Волновое уравнение

)(), (stfstf 0), ( s stx t stx Волновое уравнение: неограниченный случай решение , 0 s

0), ( s stx t stx. Клеточный цикл: Волновое уравнение 2, 0 s )2, (2)0, (stxstx Граничные условия