Понятия Вектора и Оси Все величины которые

Понятия Вектора и Оси

Все величины, которые изучаются в математике и физике, можно разбить на две группы. К одной группе относятся величины, которые полностью характеризуются их числовыми значениями. Таковы длина, площадь, объем, время, масса и другие величины. Если мы скажем, что карандаш имеет длину 10 см или что температура воздуха равна — 5°, то длина карандаша и температура воздуха тем самым будут определены полностью. Но наряду с такими величинами существуют и величины, которые нельзя полностью охарактеризовать числовыми значениями. Из физики, например, известно, что сила, скорость, ускорение и некоторые другие величины характеризуются не только своими числовыми значениями, нo и направлениями. Если на материальную точку действует сила 5 к. Г, то для того чтобы сказать, к чему это приведет, нужно знать еще направление этой силы. Для полного описания подобных величин наряду с числовыми значениями необходимо задавать и их направления. Величины, которые полностью определяются своими числовыми значениями, называются скалярными. Величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлениями, называются векторными величинами. Подобно тому как скалярные величины можно характеризовать отрезками числовой прямой, векторные величины можно характеризовать направленными отрезками, или векторами.

Вектор есть направленный отрезок, то есть отрезок с фиксированным положением своего начала и своего конца. Направлением вектора считается направление от его начала к его концу. Обычно вектор обозначается двумя буквами, над которыми ставится стрелочка, обращенная острием вправо. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец. Единственно существенной характеристикой отрезка является его длина. Вектор же имеет несколько характеристик: начало, направление, длину. Каждая из этих характеристик является по-своему важной. Незнание хотя бы одной из них делает вектор неопределенным. Наряду с понятием вектора, большую роль в математике играет также понятие направленной прямой, или оси. Проекция вектора на ось Как известно, проекцией точки А на ось l называется основание В перпендикуляра, опущенного из точки А на эту ось

Как известно, проекцией точки А на ось l называется основание В перпендикуляра, опущенного из точки А на эту ось Проекцией вектора на ось l называется величина отрезка A 1 B 1, соединяющего проекцию начала данного вектора с проекцией его конца на ось l. Эта величина считается положительной, если направление вектора совпадает с направлением оси l, и отрицательной в противном случае. Рассмотрим несколько примеров. 1. Вектор длины r параллелен оси l. Если направление этого вектора совпадает с направлением оси l , то проекция его на ось l равна r. Если же направление вектора противоположно направлению оси l , то его проекция равна -r. 2. Вектор перпендикулярен оси l В этом случае точки А и В проектируются в одну и ту же точку. Поэтому проекция вектора на ось l равна нулю. 3. Вектор длины r расположен по отношению к оси l так, как показано на рисунке. Тогда его проекция на ось l равна длине отрезка A 1 B 1 или АС. Из прямоугольного треугольника ABC находим АС = r/2(катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы).

Свободные и связанный векторы Как уже отмечалось , каждый вектор определяется своим началом (или точкой приложения), направлением и длиной. Точку приложения вектора особенно важно учитывать при решении физических задач. Пусть, например, на диск, закрепленный на оси , действует сила F = 1 к. Г, направленная вертикально вниз. Если эта сила приложена в точке А, то диск под действием ее будет вращаться по часовой стрелке. Если эта сила приложена в точке В, то диск будет вращаться против часовой стрелки. Если же сила F приложена в точке С, то диск будет находиться в состоянии покоя. В математике в основном рассматриваются лишь такие задачи, в которых точка приложения вектора не играет существенной роли. Примером может служить хотя бы следующая задача: какой угол образуют между собой векторы и ? В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими векторами. Они называются свободными, и отличие от связанных векторов, для изучения которых важно знать, где располагаются их начальные точки. Свободные векторы, где бы они ни начинались, всегда можно перенести так, чтобы их начальные точки совпали; направления векторов и их длины при этом останутся прежними. Удобно считать, что точкой приложения свободного вектора является начало координат. Поэтому в дальнейшем мы будем в основном рассматривать лишь векторы, выходящие из начала координат. Координаты вектора на плоскости Пусть х. Оу — прямоугольная система координат. Проекции х и у вектора на оси абсцисс и ординат называются координатами этого вектора. Координаты вектора обычно записываются в виде (х, у), а сам вектор так: = (х, у).

Рассмотрим несколько примеров. 1. Пусть вектор длины r лежит на оси х и направлен в ту же сторону, что и ось х. Тогда 1 = (r, 0). Если бы направление вектора было противоположно направлению оси х , то мы имели бы 2 = (- r, 0). Аналогично, вектор 3 имеет координаты (0, r), а вектор 4 — координаты (0, -r) 2. Вектор 1 длины r, образующий с осями координат равные углы имеет координаты Это легко доказать, рассмотрев прямоугольный треугольник OB 1 C 1. Аналогично, векторы 2, 3 и 4, изображенные на рисунках , соответственно имеют координаты:

Спасибо за внимание Выполнила студентка гр. 131. Ермакова Лиза