• ПОНЯТИЯ • СУЖДЕНИЯ (ВЫСКАЗЫВАНИЯ) • УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
• ПОНЯТИЯ – форма мышления, отражаются существенные признаки предметов • СУЖДЕНИЯ (ВЫСКАЗЫВАНИЯ) – форма мышления, в которой, что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними • УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ – форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по посылками определенным правилам вывода получаем суждение-заключение
ПОНЯТИЯ 1)Апельсин 2)Дождь 3)Студент педагогического института
СУЖДЕНИЯ (ВЫСКАЗЫВАНИЯ) 1)Этот апельсин вкусный. 2)Если на улице прошел дождь, то на улице весна. 3)Студент сдаст экзамен хорошо, тогда, и только тогда, когда выучит все билеты.
УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ Все люди – смертны Сократ – человек Сократ смертен
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА АЛГЕБРА ЛОГИКИ АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В математической логике для записи рассуждений используется математическая символика. ОСНОВНЫМ ОБЪЕКТОМ Математической логики является
С помощью чего в естественном языке выражаются ВЫСКАЗЫВАНИЯ? ПОВЕСТВОВАТЕЛЬНЫМИ ПРЕДЛОЖЕНИЯМИ
Высказывание, представляющее собой одно утверждение (истинное или ложное), называется элементарным высказыванием. Элементарные высказывания обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С. . . X, Y, Z.
А= «Город Париж — столица Франции» .
истинностное значение ИСТИНА И 1 ЛОЖЬ Л 0
Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков.
Из двух числовых выражения можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.
ПРИМЕРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 1) Все лошади едят овес. 2) Все реки впадают в море. 3) Все школьники — отличники. 4) Все книги имеют страницы. 5) Все планеты вращаются вокруг звезд. 6) Все медузы не имеют головы. 7) Люди не боги.
ПРИМЕРЫ ПРЕДЛОЖЕНИЙ НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ 1. Он разбил окно. 2. Это было сегодня. 3. Он—хороший шахматист. 4. Число X не превосходит единицы. 5. Сумма числа 5 и X равна 10. 6. 4 Х+3. 7. Сегодня замечательная погода!!!
ПРИМЕРЫ ПРЕДЛОЖЕНИЙ НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ 1. Какого цвета этот дом? 2. Посмотрите в окно? 3. Пейте томатный сок! 4. Вы были в театре? 5. Осень – лучшее время года. 6. Математика – интересный предмет. 7. Бокс – плохой вид спорта.
«Он разбил окно» . «Это было сегодня» .
«Человек X разбил окно» . «Событие Y было сегодня» .
Предложения, которые содержат хотя бы одну переменную и становятся высказываниями при подстановке вместо всех переменных их значений, называются ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫМИ ФОРМАМИ.
ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫХ ФОРМ В ВЫСКАЗЫВАНИЯ • При подстановке вместо X конкретного имени, а вместо Y — конкретного события мы получим высказывания, так как станет понятно, истинны данные фразы или ложны. • может быть осуществлено не только конкретизацией переменных, но и употреблением слов «любой» ( «каждый» , «всякий» ) или «существует» ( «некоторые» , «по крайней мере один» ).
ПРИМЕРЫ ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫХ ФОРМ • Студенты любят математику. • 2 х-5>0. • Институты имеют свои здания.
Математическая логика, изучает строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
ЗАДАНИЯ: Попробуйте определить логическую форму следующих высказываний: А= «Иванов не разбивал окна, но его родителей все равно вызовут в школу» .
Высказывание, представляющее собой одно утверждение (истинное или ложное), называется элементарным высказыванием.
Союзы: • И ( «а» , «но» ) ( «а» «но» • ИЛИ Составные союзы: • ЕСЛИ, …ТО • ТОГДА, И ТОЛЬКО ТОГДА Частица: • НЕ ( «Неверно, что» )
В математической логике эти союзы называются ЛОГИЧЕСКИМИ СВЯЗКАМИ
Высказывание, образованное из элементарных с помощью логических связок, называется составным (или сложным).
Образование составного высказывания из элементарных называется логической операцией
НЕ – ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) И – ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) ИЛИ – ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) ЕСЛИ, …ТО ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) ТОГДА, И ТОЛЬКО ТОГДА - ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНЦИЯ)
ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НЕ - ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) И - ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) ИЛИ – ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) ЕСЛИ, …ТО - ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) ТОГДА, И ТОЛЬКО ТОГДА - ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНЦИЯ) Логическая операция может быть описана таблицей истинности, указывающей , какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний.
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Логическая операция, соответствующая логической связке «не» ( «Неверно, что» ) называется отрицанием. В результате этой операции получается высказывание ложное, если исходное высказывание истинно, и истинное, если исходное высказывание ложно. Значения отрицания приведены в таблице 1.
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Таблица 1 Отрицание высказывания X обозначается Х 1 0 0 1
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) =0 X X=1 X=0 А =1
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Примеры Исходное предложение «Иванов разбил окно» . Отрицание: «Иванов не разбивал окно» «Окно разбили Петров и Сидоров» . Последний пример показывает, что отрицание не обязательно в явном виде содержит частицу «не» , — отрицание может содержаться в смысловом оттенке фразы.
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) Используются обозначения: X Y X & Y Таблица 2 X Y 0 0 1 1 1
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) X Y X=1 Y=1
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) Примеры «Окно разбили Петров и Иванов» , «Петров разбил окно, а Сидоров не разбивал»
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) Таблица 3 Дизъюнкция обозначается X X Y 0 X Y Y 0 0 0 1 1 1 1
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) X=0 X А X=1 Y=1 Y В Y=0 X=1 Y=1
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) Примеры «Окно разбил Петров или Иванов»
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) Логическая операция, имеющая вид «если X, то Y» , называется импликацией. Высказывание X именуется посылкой, Y – заключением. В результате импликации получается высказывание, ложное тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно. Укажем синонимы для связки «если X, то. Y» : • из X следует Y; • X влечет Y; как только X, то Y; • X достаточное условие Y. Значения импликации приведены в таблице 4.
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) Обозначается импликация Таблица 4 Y X Y 0 X Y X 0 1 1 1 0 0 1 1 1
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) X=0 Y=0 X Y X=0 Y=1 X=1 Y=1
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) Примеры «Если Иванов разбил окно, то его родителей вызовут в школу» , «Из того, что Петров разбил окно, следует, что и Сидоров в этом участвовал» .
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНЦИЯ) Логическая операция, соответствующая сложному союзу «тогда и только тогда, когда» , «в том и только в том случае» , «если и только если» , называется эквиваленцией. В результате этой операции образуется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба составляющих его элементарных высказывания истинны или оба ложны. Значения эквиваленции приведены в таблице 5.
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНЦИЯ) Эквиваленция обозначается Таблица 5 Y X Y 0 X Y X 0 1 0 1 0 0 1 1 1
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНЦИЯ) X=0 Y=0 XX Y X=1 Y=1
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНЦИЯ или эквивале нтность) Примеры «Если Иванов разбил окно, то его родителей вызовут в школу» , «Из того, что Петров разбил окно, следует, что и Сидоров в этом участвовал» .
ЗАДАНИЯ: Даны два высказывания: A – «Алгебра логики изучает высказывания» ; В – «Сумма углов треугольника равна 180 градусов» .
ЗАДАНИЯ: Конъюнкцией этих высказываний (А В ) является предложение: «Алгебра логики изучает высказывания, и сумма углов треугольника равна 180 градусов » .
ЗАДАНИЯ: Дизъюнкцией этих высказываний (А В ) является предложение: «Алгебра логики изучает высказывания, или сумма углов треугольника равна 180 градусов»
ЗАДАНИЯ: Эквиваленцией этих высказываний А В является предложение: «Алгебра логики изучает высказывания тогда и только тогда, когда сумма углов треугольника равна 180 градусов»
ЗАДАНИЯ: Импликацией этих высказываний А В является предложение: «Если алгебра логики изучает высказывания, то сумма углов треугольника равна 180 градусов »
ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
А, В, С, . . . , X, Y, Z– переменные высказывательные или пропозициональные (propositio (лат. ) — предложение
символы 1, 0 – обозначающие логические константы «истина» и «ложь» ;
–, , , , – символы логических операций (. . . ) – скобки
1. Выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное составное высказывание. 2. Заменить их соответствующими буквами и символами. 3. Расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.
Пример «Если на улице идет дождь, то асфальт мокрый» . Решение: А= «Идет дождь» В= «Асфальт мокрый» А В
При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются согласно их приоритету: приоритету 1. отрицание 2. конъюнкция 3. дизъюнкции 4. импликация и эквиваленция. Операция одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.
ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ Разберем способ «вычисления истинности» формул в зависимости от истинностных значений пропозициональных переменных, с использованием таблиц истинности. Примеры – формула. Построим таблицу истинности для данной формулы, поместив в ней все необходимые компоненты формулы.
Алгоритм построения таблицы истинности: 1. Подсчитать количество переменных n в логическом выражении. 2. Определить число строк в таблице т = 2 n. 3. Подсчитать количество логических операций в формуле. 4. Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
4. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций. 5. Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n-1. 6. Провести заполнение таблицы истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п. 4 последовательностью.
ПРИМЕР
ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе. А=А
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то же в одно то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать. А&А=1
два противоречащих другу высказывания не могут быть одновременно истинными. А&А=0
ПРИМЕРЫ • На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет. • Оля окончила среднюю школу и учится в X классе.
Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.
ПРИМЕРЫ • Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано. • Предприятие работает убыточно или безубыточно. • Эта жидкость является или не является кислотой.
Это предложение ложно
ПАРАДОКС PARADOXOS (греч. ) НЕОЖИДАННЫЙ СТРАННЫЙ
ПАРАДОКСЫ • "Люди жестоки, но человек добр" • "Признайте, что все равны, - и тут же появятся великие «
название двойного отрицания исключения третьего операции с константами повторения поглощения переместительный сочетательный распределительный законы де Моргана для ИЛИ
Упрощение логических выражений Шаг 1. Заменить операции на их выражения через И, ИЛИ и НЕ: Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана: Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего.
Упрощение логических выражений раскрыли формула де Моргана распределительный исключения третьего повторения поглощения