Понятие случайной величины Определение Случайной величиной СВ

Понятие случайной величины • Определение. Случайной величиной (СВ) называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытаний случайно принимает одно значение из множества возможных значений. Обозначают СВ X, Y, Z. • • Х Определение. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной. Определение. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной. Определение. Под суммой (произведением) случайных величин X и Y понимают случайную величину Z=X+Y (Z=X*Y), возможные значения, которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины X и каждого возможного значения величины Y. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 1

Закон распределения • Определение. Законом распределения случайной дискретной величины (СДВ) называют соответствия между возможными значениями величины и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически, графически. • Табличное задание закона распределения дискретной случайной величины, это когда в I-ой строке таблицы указаны возможные значения величины, а во II-ой строке - соответствующие им вероятности. X х1 х2 х3 … хn P р2 р1 р3 … рn • Причем р1+ р2 +…+ рn =1, в случае бесконечного количества возможных значений. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 2

Графически закон распределения ДСВ • Графически закон распределения дискретной случайной величины задается в виде многоугольника распределения: где по оси абсцисс откладывают возможные значения величины Х, а по оси ординат - соответствующие им вероятности. • Р • Х • Аналитическое представление закона распределения для случайной величины записывается в виде формулы, связывающей возможные значения СВ с их вероятостями Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 3

Биноминальный закон распределения • Данный закон имеет место только для дискретной случайной величины. Пусть для каждого отдельного случая величина может принимать только 2 значения: 1 с вероятностью p; (вероятность появления события) 0 с вероятностью q=1 -p. (вероятность «непоявления» события) • Тогда соответствующие вероятности появления т успешных случайных величин Х вычисляется по формуле: (1), здесь • • Подобный закон распределения называется биноминальным законом распределения дискретной случайной величины. Х 1 2 … n Р • 0 … m qn C 1 nрqn-1 C 2 nр2 qn-2 … Cmn pmqn-m … Pn Примечание: n!=1*2*3*…*n, (n-1)!=1*2*3*…*(n-1) Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 4

Распределение Пуассона Если известны значения дискретной случайной величины, тогда закон распределения может быть законом Пуассона. Распределение Пуассона обычно использует в случае «редких событий» , то есть когда количество испытаний велико (n→∞), а вероятность появления события А очень мала (р→ 0), (например, определение родившихся двойняшек в городе за определенный период). • Пусть случайная величина Х, принимающая только целые положительные значения, распределена по закону распределения Пуассона с параметром λ, если: • (2) • где - интенсивность, n – количество испытаний (наблюдений); а p – вероятность появления события в каждом из них. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 5

Интегральная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Определение. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной (НСВ). Дана непрерывная случайная величина Х, возможные значения которой принадлежат интервалу (a; b). Выражения Х<х означает, что случайная величина Х принимает значения меньше, чем х (какое-то число). Определение. Интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение, меньше чем х: F(x)= P(X

Свойства функции распределения F(x) 1. ; 2. Если функция F(x)- неубывающая, то есть если х1< х2 , то F(x 1) F(x 2). 3. Вероятность попадания случайной непрерывной величины Х в интервал (a; b) равна разности между значениями функции распределения F(Х) в правом и левом концах интервала (a; b). P(a

Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Определение. Дифференциальной функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины (плотностью вероятностей) называется функция f(x), равная производной от интегральной функции распределения: f(x)=F’(x). (6) Теорема 1: Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a; b) равна определенному интегралу от её плотности вероятностей в пределах интегрирования от a до b. (7) В частности если f(x) - четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то (8) Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 8

Свойства дифференциальной функции распределения. • 1) Плотность распределения вероятности является неотрицательной функцией f(x) 0. • 2) . (9) График интегральной функции распределения случайной непрерывной величины, принимающей возможные значения из интервала (a; b): График плотности распределения называется кривой распределения вероятностей. Если все возможные значения непрерывной случайной величины принадлежит (a; b): Площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна единице, так как: . Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 9

Нормальный закон распределения (НЗР) НЗР вероятности случайной величины Х имеет место только для непрерывной случайной величины и задается плотностью вероятности (10) - среднее квадратное отклонение, а – математическое ожидание. Обозначение нормальной случайной величины: . Если , нормальная случайная величина называется стандартной нормальной величиной. Плотность нормализированного (приведенного к стандартному нормальному распределению) распределения имеет вид: . Параметр а определяет положение центра нормальной плотности, - разброс относительно центра. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 10

Свойства нормального распределения • Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно средней а. • Если постоянно , а меняется а, то форма кривой остается неизменной, а ее график смещается вдоль оси абсцисс. • При постоянстве а изменение влечет изменение ширины и высоты кривой. • Площадь под нормальной кривой не зависит от а и и всегда равна единице. • Вероятность попадания нормально распределенной величины в интервалы , составляет 68. 3%, 95. 4% и 99. 7% соответственно. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 11

Нормальная кривая – это график плотности нормального распределения. . Графики функции плотности и функции распределения стандартного нормального закона. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 12

Теорема 2: Вероятность того, что нормально распределенная величина Х примет значение из интервала (α; β) равна: (11) где - функция Лапласа. Для значений функции Лапласа существуют специальные таблицы. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания, меньше заданного положительного числа δ, определяется по формуле: (12) Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 13

Распределение «ХИ – квадрат» Если случайные величины независимы и каждая из них имеет стандартное нормализованное распределение (параметры такого распределения: математическое ожидание а=0, среднее квадратичное отклонение =1), то случайная величина определяется как: (13) Данная случайная величина имеет -распределение с n степенями свободы. Согласно основной теореме теории вероятностей о сходимости многих распределений к нормальному: распределение медленно стремится к нормальному с увеличением числа степеней свободы. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 14

Распределение «Стьюдента» или t-распределение Это непрерывное распределение, связанное с нормальным распределением. Если случайные величины независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина (14) имеет распределение, называемое распределением Стьюдента с (n-1) степенями свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро становится нормальным при (n>160). Распределение Стьюдента симметричное. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 15

Распределение Фишера или F-распределение Это распределение непрерывной случайной величины связанно с нормальным распределением. Если случайные величины и (n, m – натуральные числа), независимы и каждое из них имеет нормализованное распределение, то случайная величина (15) имеет распределение Фишера с параметрами n и m, называемыми степенями свободы данного распределения. С увеличением числа степеней свободы распределение Фишера очень медленно стремится к нормальному. На графике плотность распределения Фишера, когда обе степени свободы =10. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 16

Показательное распределение Определение: Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины Х называется распределение, которое имеет плотность вероятностей: (16) где λ постоянная положительная величина (λ>0). Интегральная функция показательного распределенной случайной величины имеет вид: Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 17

Теорема 3: Вероятность попадания в интервал (а; b) непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется как: (17) Графики плотности вероятностей и функции показательного распределения при λ=1, 5. Лекция № 1, ТВи. МС, Лакман И. А. 18