Понятие об алгебре логики 1 Высказывания и

Понятие об алгебре логики 1

Высказывания и операции над ними В информатике, как теоретической, так и прикладной, часто приходится иметь дело с логическими данными (высказываниями) и операциями над ними (или функциями) В алгебре логики под высказыванием понимают всякое предложение, которое либо истинно (имеет значение true), либо ложно (имеет значение false) Истинное высказывания обозначают числом 1, а ложное – с числом 0 Высказывания (как и числовые данные) принято обозначать латинскими буквами, например: A = Москва – столица России B = 3 > 5 (A = true, B = false) Из одного или нескольких высказываний, принимаемых за простые, можно составлять сложные высказывания, которые будут являться логическими или двоичными функциями простых высказываний К числу основных логических операций для получения сложных высказываний относятся операции инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, импликации 2

Инверсия (отрицание) Результатом операции отрицания является высказывание, противоположное исходному Обозначается A или not(A) или не(A) Например A = Москва – столица России not(A) = Москва не является столицей России B = 3 > 5 not(B) = 3 ≤ 5 Таблица истинности для инверсии A true false not(A) false true 3

Конъюнкция (логическое умножение) Конъюнкция связывает два высказывания. Результатом конъюнкции является true тогда и только тогда, когда оба входящих в него высказывания имеют значение true, в противном случае результатом является false Обозначается либо A and B либо И(A; B) Например A 3 > 2 3 < 2 B 4 ≤ 4 4 > 5 4 < 5 A and B true false 3 < 2 4 > 5 false 4

Таблица истинности для конъюнкции A true false B true false true A or B true false false

Дизъюнкция (логическое сложение) Дизъюнкция связывает два высказывания. Результатом дизъюнкции является false тогда и только тогда, когда оба входящих в него высказывания имеют значение false, в противном случае результатом является true Обозначается либо A or B либо ИЛИ(A; B) AÚB Например A 3 > 2 3 < 2 B 4 ≤ 4 4 > 5 4 < 5 A or B true 3 < 2 4 > 5 false 6

Таблица истинности для дизъюнкции A true false B true false true A or B true false

Импликация (следование) Обозначается A → B (читается «из А следует В» или «если А, то В» ) Результатом импликации является false тогда и только тогда, когда A = true, B = false, в противном случае результатом является true Например A 3 > 2 3 < 2 B 3 > 1 4 > 5 4 < 5 A → B true false true 3 < 2 4 > 5 true Импликация A → B эквивалентна not(A) or B 8

Свойства логических операций Приоритет операций: сначала отрицание, затем конъюнкция, затем 3 1 2 дизъюнкция A or not B and C При необходимости изменить порядок используются скобки A or not (B and C) (A or not B) and C 3 2 1 3 Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции (результат не зависит от порядка операндов) A and B = B and A A or B = B or A Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции (A and B) and C = A and (B and C) (A or B) or C = A or (B or C) Дистрибутивность A and (B or C) = (A and B) or (A and C) A or (B and C) = (A or B) and (A or C) 9

Свойства логических операций Логическое выражение называется тождественно истинным, если оно истинно при любых значения входящих в него высказываний Например A or (not A) Логическое выражение называется тождественно ложным, если оно ложно при любых значения входящих в него высказываний Например A and (not A) 10

Свойства логических операций not(A)) = A A and A = A A or A = A A and 1 = A A or 1 = 1 A or not(A) = 1 A and (not A) = 0 A and 0 = 0 A or 0 = A Правила де Моргана not (A or B) = not(A) and not(B) not (A and B) = not(A) or not(B) 11

Примеры 12

Примеры 13

Примеры 14

Примеры 15

Примеры 16

Логические основы ЭВМ Существуют такие наборы логических функций, с помощью которых можно выразить любые другие логические функции. Они называются функционально полными или базисами. Наиболее известный базис – это набор функций И, ИЛИ, НЕ. Функция штрих Шеффера является базисной, также как и функция стрелка Пирса. Поэтому, с помощью логических элементов ИЛИ-НЕ или И-НЕ можно собрать любую логическую схему. Из таких элементов собран микропроцессор компьютера и другие логические устройства. Логические схемы состоят из логических элементов, осуществляющих логические операции.

Логические элементы Логический элемент НЕ обозначается на схемах следующим образом:

Логические элементы Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

Логические элементы Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:

Логические элементы Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ) Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид: Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

Логические элементы Функция штрих Шеффера (И-НЕ) Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

Лекция окончена Спасибо за внимание ☺ 25