Понятие о точечном источнике и стоке Метод суперпозиции

Понятие о точечном источнике и стоке. Метод суперпозиции. Разработка нефтяных и газовых месторождений осуществляется не единичными скважинами. Для обеспечения необходимого уровня добычи жидкости или газа нужно определенное количество скважин. Сумма дебитов этих скважин должна обеспечить заданный отбор из месторождения. Поэтому в фильтрационных расчетах, связанных с разработкой месторождений, необходимо рассматривать множество скважин, размещенных определенным образом на площади нефтегазоносности, в зависимости от параметров пластов и свойств насыщающих их флюидов. При этом возникают гидродинамические задачи определения давлений на забоях скважин при заданных дебитах или определения дебитов скважин при заданных из технических или технологических соображений забойных давлений.

При решении этих задач нужно учитывать, что при работе скважин наблюдается их взаимное влияние друг на друга – интерференция скважин. Это влияние выражается в том, что при вводе в эксплуатацию новых скважин суммарная добыча из месторождения растет медленнее, чем число скважин. Зависимость суммарного дебита от числа скважин.

Точечным стоком назовем точку на плоскости, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник – это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины). Потенциал течения выразим как функцию, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т. е. сравнив с законом Дарси видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой:

Потенциал для точечного стока на плоскости, так как точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то можно воспользоваться формулой фильтрации для такого потока: где - дебит скважины-стока, приходящийся на единицу толщины пласта. Для плоскорадиального потока: откуда:

После интегрирования получаем выражение потенциала для точечного стока на плоскости: где С – постоянная интегрирования. Потенциал в окрестности скважины – стока пропорционален логарифму расстояния r от стока (центра скважины). При и функция обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл. Потенциал точечного стока в пространстве, движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации откуда:

и потенциал точечного стока в пространстве Для потенциала точечного источника знак дебита меняется на противоположный. Распределение давления и потенциал в установившихся потоках несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф 1(x, y), Ф 2(x, y), …. . , Фn(x, y), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа

то и сумма (где Сi – произвольные постоянные) также удовлетворяют уравнению Лапласа. Схема скоростей фильтрации в точке М при работе скважин-стоков на неограниченной плоскости (а) и результирующий вектор скорости фильтрации в точке М (б).

Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины, подчиняется так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин; затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются. Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины по правилам сложения векторов. Пусть на неограниченной плоскости расположено n источников и стоков. Потенциал каждого из них в точке М определяется по формулам: Где r 1, r 2, …. . rn – расстояние от первого, второго, …. n-го стоков до точки М; С 1, С 2, …Сn – постоянные.

Каждая из функций Тогда сумма потенциалов: удовлетворяет уравнению Лапласа. также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции, или сложения течений.

ПРИТОК ЖИДКОСТИ К ГРУППЕ СКВАЖИН В ПЛАСТЕ С УДАЛЕННЫМ КОНТУРОМ ПИТАНИЯ. Дано: Горизонтальный пласт, толщиной h; А 1, А 2, …, Аn – группа скважин с радиусом rci, которые работают с различными забойными потенциалами Фci, i = 1, 2, …, n, Фк – потенциал на контуре питания. Расстояние между центрами i – й и j- й скважин известны. Контур питания находится далеко от всех скважин, поэтому можно приближенно считать, что расстояние от всех скважин до всех точек контура одно и тоже и равно. Определить: дебит каждой скважины и скорость фильтрации в любой точке пласта.

Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания.

Решение: Потенциал в любой точке пласта М определим из выражения Где: q=Q/h - дебит скважины – стока, приходящейся на единицу толщины пласта; r 1, r 2, …, rn – расстояние от первого, второго, n – го стоков до точки М; С 1, С 2, …, Сn - постоянные. С = С 1 + С 2 +Сn.

Точку М последовательно поместим на забой каждой скважины, получим выражения забойного потенциала на них в виде: Дополнительное уравнение получаем, поместив точку М на контур питания:

Вычитая почленно каждое из уравнений, исключив постоянную С получим систему из n уравнений, из которой можно определить дебиты скважин q 1, …, qn, если заданы забойные и контурные потенциалы Фс1, Фс2, …, Фcn, Фк. Таким образом, можно решить обратную задачу определения потенциалов по известным дебитам qi (i = 1, 2, …, n). Имеем:

Чтобы определить физический смысл перейдем от потенциалов к давлениям: полученных соотношений …………………. . . полная потеря давления на стенке любой скважины равна сумме потерь давления от работы всех скважин:

Скорость фильтрации в любой точке пласта М определяется как геометрическая сумма скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины , и направлена по радиусу от точки М к данной скважине-стоку:

Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания. В полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания, на котором потенциал равен Фк, работает одна добывающая скважина А с забойным потенциалом Фс. Определить: дебит скважины q, потенциал и скорость фильтрации в любой точке пласта. Для решения этой задачи используем метод отображения источников и стока. Рассмотрим в бесконечном пласте совместную работу двух скважин: скважины стока А(аналог добывающей скважины) с дебитом q и скважины – источника А (аналог нагнетательной скважины) с дебитом q. Потенциал в любой точке М, находящейся на расстоянии r 1, от скважины А и r 2 от скважины А :

Схема притока жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания.

Потенциал в любой точке М, находящейся на расстоянии r 1, от скважины А и r 2 от скважины А : Потенциал на контуре питания можно выразив подставив в r 1 = r 2 , в результате чего получаем: Тогда потенциал на забое скважины А можно выразить следующим образом:

Выражение для дебита скважины А, приходящегося на единицу толщины пласта , получим в следующем виде: Если бы контур питания был окружностью радиуса a, то дебит определялся бы по формуле Дюпюи. На практике часто форма контура питания бывает неизвестна, но очевидно, что контур питания располагается между окружностью и прямой линией.

Схема пласта с различными контурами питания Для определения потенциала в любой точке М воспользуемся формулой:

Скорость фильтрации равна геометрической сумме скоростей фильтрации, вызванных работой реальной скважины-стока А и фиктивной скважины-стока А’ Где и направлена к скважине А и направлена от скважине А’

Приток жидкости к бесконечным цепочкам скважин Рассмотрим задачу о притоке жидкости к одной бесконечной цепочке скважин, расположенных на расстояниях 2σ друг от друга и на расстоянии L от прямолинейного контура питания. На контуре питания будет постоянный потенциал Фк, а на забоях скважин - Фс. Определим дебит каждой скважины и суммарный дебит n скважин в цепочке. Цепочка скважин-стоков отображается зеркально относительно контура питания в скважины-источники, и рассматривается интерференция двух цепочек скважин в неограниченном пласте.

Схема прямолинейной цепочки скважин

Дебит каждой скважины цепочки : где При L - геперболический синус. > σ, , тогда дебит скважины определяется:

Введем обозначения: , Получаем формулу аналогичную закону Ома: По терминологии Борисова величина: ρ - внешнее фильтрационное сопротивление батареи, ρ’ - внутреннее фильтрационное сопротивление батареи

Таким образом, приток жидкости к цепочке скважин можно представить схемой эквивалентных фильтрационных сопротивлений Суммарный дебит прямолинейной цепочки из n скважин:

Из последней формулы следует выражение для внешнего фильтрационного сопротивления цепочки: ρ = μL/(kh 2σn) = μL/(kh. B), которое представляет собой сопротивление потоку жидкости от контура питания до галереи длиной B = 2σn, расположенной на расстоянии L от контура питания, а внутреннее сопротивление ρ’ = μLn(σ/Пrc)/2 пkhn выражает сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам в зоне радиусом r = σ/П , где фильтрация практически плоскорадиальная.

Пусть полубесконечный пласт с прямолинейным контуром питания разрабатывается тремя параллельными цепочками скважин с числом скважин в каждой n 1, n 2, n 3. Пусть скважины в каждой цепочке имеют одинаковые радиусы rc 1, rc 2, rc 3. И забойные давления pc 1, pc 2, pc 3, суммарные дебиты цепочек составляют Q 1, Q 2, Q 3.

В этом случае внешние определяться: где: фильтрационные сопротивления будут L 1 - расстояние от контура питания до первой цепочки скважин L 2 – расстояние между первой и второй цепочками L 3 – между второй и третьей

Внутренние сопротивления определяются по формулам:

Приток жидкости к кольцевым батареям скважин Суммарный дебит круговой батареи скважин определяется по формуле: - внешнее фильтрационное сопротивление - внутреннее фильтрационное сопротивление

Внешнее сопротивление имеет вид: А внутреннее сопротивление: μ – вязкость (м. Па-с) k – проницаемость (мкм 2) h – мощность галереи (м) B – длина галереи (м) R – радиус батареи (м)

В случае нескольких круговых батарей Внешнее фильтрационное сопротивление рассчитывается по формулам: R 1, R 2, R 3 – радиусы батарей.

Внутренние фильтрационные сопротивления рассчитывается по формулам:

Дебит одной скважины кольцевой батареи, состоящей из n скважин: Q= μ – вязкость (м. Па-с) k – проницаемость (мкм 2) h –мощность галереи (м) pk – давление на контуре (МПа) pс – давление на забое (МПа) R – расстояние от соответствующей скважины до контура питания (м)

Результат интерференции сказывается в том, что при введении в эксплуатацию ряда скважин (работающих в одинаковых условиях) прирост суммарного дебита уменьшается. Кривая зависимости суммарного дебита от числа скважин с их ростом становится все более пологой. Чем ближе расположены скважины друг к другу, тем сильнее сказывается эффект интерференции и тем меньшим оказывается суммарный дебит. Большое влияние на суммарную добычу оказывает расстояние от действующих ск. до контура области питания или до цепоч. нагнетательных скваж. При приближении нагнетательных скважин к добывающим эффект взаимодействия между ними уменьшается, и их дебиты увеличиваюся.