Понятие о математической деятельности учащихся
Способности проявляются и могут развиваться только в процессе деятельности. Математическая деятельность учащихся заключается в освоении математического "инструментария", поэтому у школьников можно развивать только учебно-практические математические способности.
Обучение математике можно рассматривать как обучение определенной математической деятельности (О. Б. Епишева). Существуют различные подходы к определению структуры математической деятельности, которые отличаются названиями и числом выделенных в процессе анализа стадий (аспектов) этой деятельности. Так, А. А. Столяр объединяет разные его аспекты в три основные стадии математической деятельности и определяет ее как мыслительную, протекающую по следующей схеме: 1) математическая организация (математическое описание) эмпирического материала (математизация конкретных ситуаций) с помощью эмпирических и индуктивных методов наблюдения, опыта, индукции, аналогии, обобщения и абстрагирования; 2) логическая организация математического материала (накопленного в результате первой стадии деятельности) с помощью методов логики; 3) применение математической теории (построенной в результате второй стадии деятельности) с помощью решения задач математического и межпредметного характера.
В работах отечественных и зарубежных ученых встречаются целый ряд и других специфические особенности математической деятельности, в том числе: ü интуиция и догадка (А. Пуанкаре); ü черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству (Р. Курант); ü правдоподобные рассуждения наряду с доказательствами (Д. Пойа); ü связь бессознательного и сознательного в творческой математической деятельности (Ж. Адамар); ü взаимосвязь логики и интуиции (А. Д. Александров, П. С. Александров, Я. С. Дубнов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Ляпунов и др. ).
В исследованиях Т. А. Ивановой разработана модель математической деятельности, отражающая гносеологический процесс познания в математике и включающая в себя: 1) накопление фактов с помощью общенаучных эмпирических методов (наблюдение, сравнение, анализ) и частных методов математики (вычисление, построение, измерение, моделирование); 2) выдвижение гипотез с помощью гипотетико-дедуктивных методов (анализ, синтез, аналогия, неполная индукция, обобщение, абстрагирование, интуиция, конкретизация, дедукция); 3) проверка истинности доказательством с помощью дедуктивных методов доказательств и опровержений (синтетический, аналитический, от противного, полная индукция, исчерпывающих проб, математическая индукция, контрапозиция, приведение контрпримера) и специальных методов; 4) построение теории с помощью аксиоматического метода; 5) выход в практику с помощью математического моделирования.
Для математической деятельности справедливы все общие закономерности мыслительной деятельности, но специфика содержания и методов математики накладывает на них некоторые особенности. Математическая деятельность непосредственно связана с математическим мышлением, исследованию которого посвящены труды известных отечественных психологов и математиков. Следует упомянуть психологов А. Г. Ковалева и В. Н. Мясищева, которые, в частности, выделили следующие особенности математического мышления: 1) склонность к операциям с числами, к решению математических задач и на еще более высоком уровне склонность и интерес к математическим проблемам; 2) быстроту усвоения счетных и арифметических правил; 3) особенно сильное проявление развития абстрактного мышления, аналитикосинтетических и комбинационных способностей в области оперирования цифровой и знаковой символикой; 4) развивающуюся самостоятельность и оригинальность в решении математических проблем и усиление творческого мышления; 5) волевую активность и работоспособность в области математического труда; 6) переход склонности и интереса в увлечение, когда математическая работа становится призванием; 7) продуктивную по количеству и качеству деятельность, позволяющую обнаруживать все более опережающие у сверстников показатели.
Б. В. Гнеденко выделяет следующие свойства математического мышления: 1) способность улавливать нечеткость рассуждения, отсутствие необходимых звеньев доказательства; 2) привычку к полноценной логической аргументации; 3) четкую расчлененность хода рассуждения; 4) лаконизм; 5) точность символики.
Наиболее содержательная характеристика особенностей математического мышления содержится в работах А. И. Маркушевича , который отметив наиболее привычное для нас требование развитых количественных и пространственных представлений, указал на следующие качества ума и характера, воспитываемые в связи с хорошо поставленным преподаванием математики: 1) умение вычленять сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей (умение абстрагировать); 2) умение строить такую схему явления, в которой сохранено только то, что нужно для математической трактовки вопроса, а именно: отношения принадлежности, порядка, количества и меры, пространственного расположения (умение схематизировать), что в свою очередь предполагает упрощение первоначальной постановки вопроса при помощи надлежащей рабочей гипотезы; 3) умение выводить логические следствия из данных предпосылок (дедуктивное мышление); 4) умение анализировать данный вопрос, вычленяя из него частные случаи, различать, когда они исчерпывают все возможности и когда они являются только примерами и всех возможных случаев не охватывают; 5) умение применять выводы, полученные из теоретических рассуждений, к конкретным вопросам и сопоставлять результаты с тем, что мы «предвычисляли или теоретически предполагали» , оценивать влияние изменяющихся условий на надежность результата; 6) обобщать полученные выводы и ставить новые вопросы в обобщенном виде.
С. И. Шварцбурд рассматривал следующие элементы в математическом развитии: 1) пространственные представления; 2) абстрактное мышление; 3) переход к математической схеме; 4) дедуктивное мышление; 5) анализирование, рассмотрение частных случаев; 6) применение выводов; 7) критичность; 8) математическую речь; 9) терпение при решении задач. Автор получил это путем обобщения мнений математиков, и здесь им использованы в основном выводы Л. И. Маркушевича.
Самое значительное исследование советских психологов по данной проблеме принадлежит В. А. Крутецкому и изложено в его книге «Психология математических способностей школьников» . Уточняя, что «способности это всегда способности к определенному роду деятельности» , автор отмечает, что характер деятельности определяет характер соответствующей ей способности. Каждая деятельность требует определенной совокупности знаний, умений и навыков. Характер знаний, умений и навыков, необходимых для данной деятельности, отражает существенные черты соответствующей способности.
В. А. Крутецким выделил следующие компоненты математических способностей, которым мы сопоставим определённые виды математической деятельности. № компоненты математических способностей виды математической деятельности 1 способность к формализации математического материала, к отделению формы от. содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей; формализация 2 способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном обобщение 3 способность к оперированию числовой и знаковой символикой оперирование числовой и знаковой символикой 4 способность к «последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению» (А. Н. Колмогоров), связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах аргументация 5 способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами свёртывание рассуждений 6 способность к обратимости мыслительного процесса переход с прямого на обратный ход мысли
виды математической деятельности № компоненты математических способностей 7 гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов решение математических задач, решение практических задач математическими методами 8 математическая память запоминание обобщений, формализованных структур, логических схем 9 способность к пространственным представлениям пространственное воображение и мышление
Обучение математике доказывает, что активность есть отношение ученика к учению, к той деятельности, которую ему предлагают выполнять. Важно, чтобы эта деятельность была не просто посильна для каждого, она должна находиться «в зоне ближайшего развития» обучаемого. Ученик должен испытывать потребность мобилизации своих познавательных сил и опыта для преодоления возникающих трудностей. Познавательная активность ценное личностное качество школьника, которое интенсивно формируется в школьные годы. Проявления его в каждом последующем возрасте шире, богаче, оно оказывает влияние на продуктивность обучения и учения, на активизацию всей учебной деятельности. Ценность урока, чаще всего, определяют через активность учащихся. Познавательную активность можно считать подготовительной ступенью самостоятельности. Самостоятельность связана с инициативой, с поиском различных путей решения учебно-познавательных задач без участия взрослых. От становления самостоятельности с ранних лет зависит активность ребёнка, х + 2 х + 3 = 4 5 х + 6 х + 7 = 8 его ориентировки в окружающей действительности. 9 х + 10 х = 0 Самостоятельная работа одна из форм учебной деятельности учащегося. Уровни самостоятельности: Ø репродуктивный, Ø частично-поисковый, Ø творческий. 2 2 2
Под творчеством ученика мы понимаем вид его деятельности, направленной на создание качественно новых для него ценностей, имеющих общественное значение, то есть важных для формирования личности как общественного субъекта [Лернер И. Я. Дидактические основы методов обучения. - М. , Педагогика, 1981. ] Качества творческой личности оригинальность способность производить идеи, отличающиеся от общепризнанных взглядов, Ø беглость количество идей за единицу времени, Ø гибкость мышления, Ø подвижность мысли способность переключаться с одной мысли на другую, Ø любознательность чувствительность к проблемам в окружающем мире, Ø способность к преобразованию, Ø идеализация мысленное конструирование идеального образа предмета, Ø Ø и т. п.
Фазы творческого процесса имеют много творческого с эмпирическими приёмами, выделенными Д. Пойа, и включают в себя: Ø обеспечение явного понимания предложенной задачи, Ø составление плана решения, Ø осуществление плана, Ø проверка и критическая оценка результата, Ø составление новых комбинаций.
Интуиция важнейший механизм творчества включает в себя ряд этапов: (1) накопление и бессознательное распределение образов и абстракций в системе памяти, (2) неосознанное комбинирование и переработка накопленных абстракций, образов и правил в целях решения определённых задач, (3) чёткое осознание задачи, (4) неожиданное для данного человека нахождение решения, удовлетворяющего задаче. Таким образом, интуиция ребёнка может сработать, если задача поставлена, а акцент с интеллектуальной сферы перенесён на эмоциональную, чувственную сферу.
Отметим важные моменты, которые следует учитывать в процессе целенаправленного развития интуиции: Ø Знание этапов творческого процесса и использование этого знания в работе в детьми. Ø Отбор нужных сведений для решения задачи и определения места для каждого из них. Ø Продумывание (поиск) связей между элементами знания, ведущими к цели. Ø Получение многообразия путей решения задачи, их критическая оценка, выбор главного. Ø Достраивание нерешённой проблемы до решаемой. Ø Выход за пределы исходного знания посредством охвата максимально возможного разнообразия элементов знания и переоценки их познавательной ценности (использование внутрипредметных и межпредметных связей). Ø Раскрепощение мышления посредством активного допущения парадоксальных мыслей. В связи с этим…
… намечаются следующие пути развития интуиции: объективные, интеллектуальные, субъективные и личностные. Ø актуализация знаний (посредством дополнительных вопросов, подводящих к решению задач, в том числе задач обратных и деформированных), Ø использование обобщённого опыта (мыслительных операций, способов рассуждений, приёмов познавательной деятельности), Ø сопоставление имеющихся знаний с целью, Ø устранение излишней логической связанности понятий, Ø вариативность шагов, Ø преобразование имеющихся знаний и опыта, Ø выбор оптимального пути, Ø игнорирование избыточной информации; Ø отвлечение от окружающего посредством мышечного и умственного расслабления (закрыть глаза, положить голову на руки и т. д. ); Ø постановка вопросов себе с целью выявления наличия ошибок, Ø оценка правильности предпринятых шагов.
Ценность воображения состоит в том, что оно позволяет принять решение пря отсутствии требуемой полноты знаний, необходимых для выполнения поставленных задач. Фантазия позволяет "перепрыгнуть" через какие-то этапы мышления и все -таки представить себе конечный результат. Однако в этом же заключается и слабость подобного решения проблемы [Психология и педагогика: Учебное пособие / Николаенко В. М. , Залесов Г. М. , Андрюшина Т. В. и др. ; Отв. ред. канд. филос. наук, доцент В. М. Николаенко. — М. : ИНФРА-М; Новосибирск: НГАЭи. У, 2000. - 175 с. ].
Признаки самостоятельной работы творческого характера (В. А. Гусев, С. Мадраимов): Ø Самостоятельная работа творческого характера характеризуется тем, что, в ней учащийся, опираясь на имеющиеся знания, теоретический и практический опыт, на интуицию и воображение, в результате активных действий создаёт нечто новое для себя. Ø Самостоятельная работа будет иметь творческий характер (особенно при изучении математики), если в ней реализуется собственный замысел учащегося, в результате чего ставятся и решаются задачи, выделяются новые нестандартные методы их решения. Ø Отличительной чертой самостоятельной работы творческого характера по решению поставленной задачи является то, что учащиеся при её решении должны сами найти способ (или несколько способов) решения, уметь применять знания в новых нестандартных ситуациях. Ø Самостоятельная работа творческого характера позволяет учащимся освобождаться в процессе своей работы от готовых образцов, шаблонов, сложившихся установок, придаёт этой учебной деятельности гибкий поисковый и проблемный характер.
Практические рекомендации, предъявляемые к самостоятельной работе творческого характера. Ø Организация на уроке (вне урока) самостоятельной работы творческого характера должна соответствовать основным целям и задачам обучения. Ø Самостоятельная работа творческого характера должна сочетаться с другими видами самостоятельной работы. Ø Отличительной и главной чертой самостоятельной работы творческого характера является то, что уровень новизны, степени сложности и строгости изучаемого материала должны носить дифференцированный характер. Ø Самостоятельная работа творческого характера может быть разной длительности по времени.
Исследовательская деятельность учащихся вид творческой деятельности, продуктом которой являются новые знания (либо о самом исследуемом объекте, либо о конкретном или специфическом методе исследования). Так как исследовательская деятельность является в то же время творческой, то она и процессуально не отличается от неё. Учебная исследовательская деятельность по логической структуре в принципе не отличается от научной исследовательской деятельности, хотя уровни строгости доказательства в её процессе могут быть ниже. Учебную исследовательскую деятельность даже на этапе завершения и оформления результатов исследования допустимо осуществлять на уровне правдоподобных рассуждений, заменяя ими строгие доказательные рассуждения.
Исследовательская деятельность присутствует при изучении всех школьных предметов, однако при обучении математике она имеет особо важное значение. Во-первых, в связи с проникновением математических методов исследования во все области науки, техники и производства неизмеримо возросла потребность в подготовке людей, не только обладающих некоторой системой математических знаний, но и умеющих их применять, причём в неизвестной заранее ситуации. Поэтому владение элементарными исследовательскими умениями математического характера необходимо для обеспечения подготовки к творческому труду в широкой сфере деятельности. Во-вторых, учебная деятельность учащихся, связанная с использованием математических средств, встречается не только при изучении курса математики, но и в процессе изучения предметов естественнонаучного цикла. Поэтому исследовательские умения, полученные в курсе математики, неизбежно оказывают положительное влияние на характер всей учебной деятельности школьников.
Деятельность по решению геометрических задач составляют следующие исследовательские умения: Ø выделять элементы задачи, Ø находить фигуры, попадающие под данный элемент задачи, Ø выявлять связи между фигурами, попадающие под данный элемент задачи, Ø устанавливать связи между полученными связями, которые в конечном счёте, и приводят к решению задачи, Ø оценивать полноту и непротиворечивость системы связей Ø строить структурный граф проведённого исследования (решения задачи). Заметим, что эта деятельность должна быть посильна всем учащимся, однако уровень и скорость овладения ею у каждого ученика свои.
Скачать презентацию Понятие о математической деятельности учащихся Способности проявляются
e8d04149f0cbd1a0bd1f4f37be868198.ppt