Понятие о графе несовместных сотояний Состояния Н

Понятие о графе несовместных сотояний

Состояния Н 0, H 1, Н 2, H 12, H 21 являются несовместными на интервале ( 0, t) и образуют полную группу событий. Следовательно, сумма вероятностей пребывания системы в этих состояниях равна единице: P 0 + P 1+P 2 + P 12 + P 21=l Иногда не делают различие в состояниях H 12 и Н 21, тогда эти состояния объединяют в одно обобщенное H 12, которое появляется на интервале ( 0, t) с вероятностью P 12.

Интенсивность перехода из состояния Hj в состояние Hk обозначается λ(j)k (t) Марковский процесс смены состояний описывается дифференциальными уравнениями А. Н. Колмогорова относительно вероятностей пребывания системы в момент t в том или другом состоянии. Рассмотрим К-й узел графа, изображенный на рисунке. Инженерное правило. Производная от вероятности пребывания системы в момент t в К-м узле графа (в состоянии Нк) равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов на соответствующие вероятности пребывания системы в тех узлах графа, откуда совершается непосредственный переход системы в другие (соседние) узлы. дифференциальное уравнение для Нк имеет вид:

схемы «гибели» Простая схема «гибели» Сложная схема «гибели»

Характерной особенностью схемы «гибели» является наличие поглощающего состояния (гибель), из которого система не совершает уже перехода ( «замирает» ). Время достижения этого состояния есть случайное время «жизни» , математическое ожидание которого можно определить путем перехода от дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова к соответствующим алгебраическим уравнениям. Алгебраическое уравнение для Нк будет иметь вид: Для состояния Н 0, в котором система находится в момент t =0 уравнение имеет вид: Среднее время «жизни» системы будет равно (М - число состояний в системе)

Для оценки вероятностей пребывания в момент t в конкретном состоянии существуют асимптотические оценки. Для простой схемы «гибели» известны оценки вероятности попадания в поглощающее состояние Qn (оценки А. Д. Соловьева). Для сложной схемы «гибели» для состояния Н 0:

Пример

Схема «гибели размножения» Другой моделью Марковского процесса является схема «гибели и размножения» , которая используется для оценки надёжности восстанавливаемых систем при неограниченном числе восстановлении. Различают простую схему «гибели и размножения» (схема Эрланга) и сложную схему. Графы этих схем изображены на рисунках.

Если граф состояний системы заканчивается поглощающим состоянием (экраном), то оценивается среднее время «жизни» и вероятность безотказной работы системы ( до первого отказа системы ). Если граф состояний заканчивается отражающим состоянием (экраном), то обычно оценивается стационарные вероятности застать систему в момент t в том или другом состоянии. Можно, например, определить дисперсию времени «жизни» , решая алгебраическую систему уравнений вида: где αk, αi –вспомогательные величины, с помощью которых вычисляется второй начальный момент времени «жизни» α 2 и дисперсия этого времени Д.

Пример задачи