ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА И ПОДМНОЖЕСТВА Понятие множества Множество

ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА И ПОДМНОЖЕСТВА.

Понятие множества. Множество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). »

Понятие подмножества. Подмно жество в теории множеств — это понятие части множества.

Элементы теории множеств. 1. Логические символы Квантор - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было". Квантор - заменяет выражение "существует", "найдется". Запись (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A. Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем. Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем .

Элементы теории множеств. 2. Операции над множествами Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит. Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, . . . }, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями: N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел; C - множество всех комплексных чисел; Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел. Запись означает, что элемент a принадлежит множеству A. Запись означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Элементы теории множеств. Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A, называется подмножеством множества A, и при этом записывают Объединением множеств A и B является закрашенный участок на см. рис. 4. Пересечением подмножеств A и B является закрашенный участок на рис. 5.

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ, ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Делимость Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число q , что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b или что b делит a. При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b , а число q называется частным от деления a на b. Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

Свойства делимости Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю: 0 : а = 0. Любое целое число делится на единицу: а : 1 = а. На ноль делится только ноль: а : 0, а = 0. Единица делится только на единицу: 1 : а, а = ± 1

Свойства делимости Для любого целого числа а ≠ 0 найдётся такое целое число b ≠ 0, для которого b : a. Если a : b и |b| > |a|, то a = 0. Если a : b, a ≠ 0 то |a| ≥ |b|. Для того чтобы a: b необходимо, чтобы|a| : |b|. Если a 1 : b, a 2 : b, …an : b, то (a 1 + a 2 +…+ an) : b.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Признаки делимости Признак делимости чисел на 2 На 2 делятся все четные натуральные числа Например: 172. Признак делимости чисел на 3 На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например: 39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);

Признаки делимости Признак делимости чисел на 4 На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например: 124 (24 : 4 = 6); Признак делимости чисел на 5 На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720.

Признаки делимости Признак делимости чисел на 6 На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (6 — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3). Признак делимости на 8 Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8. Например: 225 000 (три последние цифры – нули), 112 120 (120 : 8 = 15)

Признаки делимости Признак делимости чисел на 9 На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например: 1179 (1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2). Признак делимости чисел на 10 На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30.

Признаки делимости Признак делимости чисел на 11 На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например: 105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 = 14); Признак делимости чисел на 25 На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25. Например: 1 475 (75 : 25 = 3).