ПОНЯТИЕ ГРАДИЕНТА И ЛАГРАНЖИАНА Понятие градиента Градие

ПОНЯТИЕ ГРАДИЕНТА И ЛАГРАНЖИАНА

Понятие градиента Градие нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении. С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

пример Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма» , и своей величиной характеризовать крутизну склона. Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

градиент в физике В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей. Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. . Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Понятие лагранжиана Лагранжиан -Лагранжиа н, функция Лагранжа динамической системы, названа в честь Жозефа Луи. Лагранжа, является функцией обобщённых координат и описывает эволюцию системы. в простейшем случае, - разность между кинетической и потенциальной энергией системы, записанная как функция переменных состояния системы называется лагранжианом

Лагранжиан формула В классической механике лагранжиан есть L=T-V где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия.

Сущность лагранжиана и уравнения Эйлера-Лагранжа Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера. Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы уравнения Эйлера-Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические)уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).