Скачать презентацию Понятие дифференциала функции Пусть функция f x дифференцируема в Скачать презентацию Понятие дифференциала функции Пусть функция f x дифференцируема в

2 вопрос.ppt

  • Количество слайдов: 7

Понятие дифференциала функции Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0, тогда её приращение в Понятие дифференциала функции Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0, тогда её приращение в этой точке можно записать в виде суммы: y =A x + ( x) x, где Слагаемое ( х) х при х 0 – бесконечно малая более высокого порядка, чем х. Определение. Дифференциалом функции y= f(x) в точке х0 называется главная, линейная относительно х, часть приращения функции в этой точке: dy = A x Учитывая, что А=f '(x 0), формулу можно записать в виде dy = f '(x 0) x. Дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной dx = x. Соотношение принимает теперь вид: dy =dx

Геометрический смысл дифференциала y y M dy x y = f(x) 0 x 0+ Геометрический смысл дифференциала y y M dy x y = f(x) 0 x 0+ x x

Производные высших порядков Производная f '(x) функции y = f(x) сама является некоторой функцией Производные высших порядков Производная f '(x) функции y = f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Назовём f '(x) производной первого порядка функции f(x). Производная от производной некоторой функции называется производной 2 -го порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной 3 -го порядка (или третьей производной) и т. д.

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у'', у''', у(4), …, Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у'', у''', у(4), …, у(n), … или f ''(x), f '''(x), f (4)(x), …, f (n)(x), … Производная n-го порядка является производной от производной (n-1)-го порядка: y(n) = (y(n-1) )'. Если функция y = f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то 1 -ая производная f '(x) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а 2 -ая производная равна ускорению точки в момент х

Параметрическое задание функции и ее дифференцирование Пусть заданы две функции x = (t), y Параметрическое задание функции и ее дифференцирование Пусть заданы две функции x = (t), y = (t) (1) одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если x = (t) строго монотонна, то обратная функция t = F(x) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемый параметром: y = [F(x)].

В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (1). Предположим, что функции (1) имеют производные, причем '(t) 0 на некотором промежутке. По теореме о производной обратной функции функция F(x) имеет производную: а по теореме о производной сложной функции функция y = [F(x)] имеет производную: y '(x) = '[F(x)] F '(x)

Производная неявной функции Функция задана неявно, если она имеет вид f(x, y) = C. Производная неявной функции Функция задана неявно, если она имеет вид f(x, y) = C. Для нахождения производной y'x заданной неявно функции нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x), а затем из полученного уравнения найти производную y'x. Можно также воспользоваться свойством дифференциала функции двух переменных: