Поверхность отклика в двумерном факторном пространстве Y X 1 min X 2 max x 2 X 1 max x 1
Задание границ факторного пространства в случае двух факторов X 2 Область допустимых сочетаний значений обоих факторов X 2 max Факторное пространство 0 X 2 min X 1 0 X 1 max X 1
Разложение неизвестной функции в ряд Тейлора где
Пересчет реальных значений факторов в масштабные xi – масштабное значение i-го фактора ( 1 …+1) Xi – реальное значение i-го фактора Xi min – минимальное реальное значение i-го фактора Xi max – максимальное реальное значение i-го фактора Xi интервал варьирования
Матрица полного факторного эксперимента № опыта x 1 x 2 x 3 1 2 3 4 5 6 7 8 1 +1 1 1 +1 +1
Свойства полных факторных экспериментов Расширенная матрица плана 22 № опыта x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 +1 1 1 +1 y 1 2 +1 +1 1 1 y 2 3 +1 1 y 3 4 +1 +1 y 4 Симметричность Нормированность Ортогональность
Вычисление коэффициентов модели плана 22 с помощью метода наименьших квадратов (1) Минимизируемая функция yu – экспериментальное значение функции отклика Yu – расчетное значение функции отклика Использование МНК для функции Y = a + bx Y Y y Y a 0 y Y tg = b a x 0 tg = b x
Вычисление коэффициентов модели плана 22 с помощью метода наименьших квадратов (2)
Вычисление коэффициентов модели плана 22 с помощью метода наименьших квадратов (3)
Вычисление коэффициентов модели плана 22 с помощью метода наименьших квадратов (4)
Вычисление коэффициентов модели плана 22 с помощью метода наименьших квадратов (5)
Расчет среднего значения и дисперсии функции отклика при дублировании опытов в центре плана y 0 – среднее значение функции отклика в центре плана yg 0 – результат g-го дублирования в центре плана f – число степеней свободы n 0 – число дублирований опытов в центре плана S 2 y – дисперсия опыта
Расчет средних значений и дисперсии опытов при неравномерном дублировании yu – среднее значение функции отклика в u-м опыте yg u – результат g-го дублирования u-го опыта fu – число степеней свободы для u-го опыта nu – число дублирований u-го опыта S 2 yu – дисперсия u-го опыта S 2 y – дисперсия опытов (средняя)
Расчет средних значений и дисперсии опытов при равномерном дублировании nu = n fu = f yu – среднее значение функции отклика в u-м опыте yg u – результат g-го дублирования u-го опыта fu = f – число степеней свободы для любого опыта nu = n – число дублирований любого опыта S 2 yu – дисперсия u-го опыта S 2 y – дисперсия опытов (средняя)
Проверка ряда дисперсий на однородность по критерию Кохрена при равномерном дублировании Ряд дисперсий однороден, если Gрасч Gтабл Расчетное значение критерия Кохрена Табличное значение критерия Кохрена S 2 y u max – максимальная дисперсия опыта S 2 y u – дисперсия u-го опыта N – число экспериментов f – число степеней свободы – уровень значимости
Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии Коэффициент значим, если bi ≥ bi При дублировании опытов в центре плана При равномерном дублировании опытов bi – доверительный интервал S 2 bi – дисперсия оценок коэффициентов S 2 y – дисперсия опытов (средняя) N – число экспериментов n – число дублирований опытов t – критерий Стьюдента t = ( , f), где f = n 0 – 1 или t = ( , f 1), где f 1 = N(n – 1)
Проверка значимости уравнения регрессии (1) Уравнение значимо, если Fрасч ≤ Fтабл При дублировании опытов в центре плана При равномерном дублировании опытов S 2 неад – дисперсия неадекватности Yu – расчетное значение функции отклика для u-го опыта yu, yu – экспериментальное значение для u-го опыта k’ – число значимых коэффициентов уравнения регрессии
Проверка значимости уравнения регрессии (2) При дублировании опытов в центре плана При равномерном дублировании опытов
Проверка значимости уравнения регрессии (3) При дублировании опытов в центре плана Fтабл = (f, f 2) При равномерном дублировании опытов Fтабл = (f 1, f 2) f 2 – число степеней свободы в числителе f, f 1 – число степеней свободы в знаменателе При N = k’ f 2 = 0 r – число дополнительных опытов
Преобразование уравнения регрессии под реальное представление факторов Вид уравнения для масштабного представления факторов Y – прочность порошкового материала x 1 – температура спекания (900 1100 o. C) x 2 – время изотермической выдержки (10 30 мин) Пересчет реальных значений факторов в масштабные Вид уравнения для реального представления факторов
Матрица планирования дробного факторного эксперимента 23 -1 на базе плана 22 № опыта x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 y 1 +1 1 1 +1 y 1 2 +1 +1 1 1 y 2 3 +1 1 y 3 4 +1 +1 y 4 Симметричность Нормированность Ортогональность
Смешивание эффектов в дробных факторных экспериментах № опыта 1 2 3 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 – 1 +1 +1 +1 – 1 – 1 +1 – 1 +1 +1 b 1 β 1 + β 23 b 2 β 2 + β 13 b 3 β 3 + β 12
Понятия генерирующего соотношения и определяющего контраста Генерирующее соотношение x 3 x 1 x 2 x 32 x 1 x 2 x 3 Определяющий контраст 1 x 1 x 2 x 3 x 12 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 22 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 x 32 x 3 x 1 x 2
Матрица ДФЭ 24 -1 с определяющим контрастом 1 x 1 x 2 x 3 x 4 № опыта x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 1 – 1 – 1 2 3 +1 – 1 – 1 +1 +1 4 +1 +1 – 1 5 – 1 – 1 +1 6 +1 – 1 – 1 7 – 1 +1 – 1 8 +1 +1 – 1 +1 b 1 β 1 + β 234 b 2 β 2 + β 134 b 3 β 3 + β 124 b 4 β 4 + β 123 b 12 β 12 + β 34 b 13 β 13 + β 24 b 14 β 14 + β 23 b 23 β 23 + β 14 b 34 β 34 + β 12 Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4
Матрица ДФЭ 24 -1 с определяющим контрастом 1 x 1 x 2 x 4 № опыта x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 1 – 1 – 1 +1 2 3 +1 – 1 – 1 – 1 4 +1 +1 – 1 +1 5 – 1 – 1 +1 6 +1 – 1 – 1 7 – 1 +1 – 1 8 +1 +1 – 1 +1 b 1 β 1 + β 24 b 2 β 2 + β 14 b 3 β 3 + β 1234 b 4 β 4 + β 12 b 13 β 13 + β 234 b 23 β 23 + β 134 b 34 β 34 + β 123 b 24 β 24 + β 1 Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 34 x 3 x 4
Планы второго порядка – истинная величина функции отклика Y – оценка величины функции отклика i, ij, ii – истинные значения коэффициентов регрессии bi, bij, bii – оценки коэффициентов регрессии Число членов модели Число опытов
Матрица композиционного плана на базе плана 22 № опыта x 1 x 2 Элемент плана 1 2 3 – 1 +1 – 1 – 1 +1 Ядро плана – ПФЭ 22 4 5 6 7 8 9 +1 –α +α 0 0 0 +1 0 0 –α +α 0 "Звездные точки" Центр плана Общее число опытов в композиционных планах с k факторами
Обобщенная расширенная матрица композиционного плана x 1 – 1 +1. . . +1 –α +α 0 0. . . 0 0 0 x 2 – 1. . . +1 0 0 –α +α. . . 0 0 0 … … …. . . … … … xk – 1. . . +1 0 0. . . –α +α 0
Нечетные моменты плана При всех видах дублирования
Четные моменты плана При дублировании опытов в центре плана и равномерном дублировании При неравномерном дублировании
Вспомогательные коэффициенты для расчета коэффициентов уравнений регрессии композиционных планов Проверка правильности расчетов вспомогательных коэффициентов
Расчет коэффициентов уравнения регрессии композиционных планов (1) При дублировании опытов в центре плана и равномерном дублировании
Расчет коэффициентов уравнения регрессии композиционных планов (2) При неравномерном дублировании опытов
Дисперсия оценки коэффициентов регрессии При дублировании опытов в центре плана При неравномерном При равномерном дублировании
Условие D-оптимальности для непрерывных симметричных планов При k = 1 При k > 1
Расширенная матрица плана B 2 № опыта 1 2 x 0 x 1 x 2 x 12 x 22 +1 +1 – 1 – 1 +1 +1 3 4 5 6 7 8 +1 +1 +1 – 1 +1 0 0 +1 +1 0 0 +1 +1 N = N 1 + 2 k
Расширенная матрица плана B 3 № опыта x 0 x 1 x 2 x 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +1 +1 +1 +1 – 1 +1 – 1 +1 0 0 – 1 – 1 +1 +1 0 0 – 1 +1 x 2 x 3 x 1 x 3 +1 – 1 – 1 +1 0 0 0 +1 +1 – 1 – 1 +1 +1 0 0 0 +1 – 1 – 1 +1 0 0 0 x 12 x 22 x 32 +1 +1 +1 0 0 +1 +1 +1 +1 +1 0 0 +1 +1
Расчет коэффициентов уравнения регрессии композиционного плана Bk При дублировании опытов в центре плана величина Yu меняется на величину Yu
Расчет дисперсий и среднеквадратических ошибок оценок коэффициентов При дублировании опытов в центре плана При равномерном дублировании опытов
Определение состава материала в двумерном правильном симплексе B 20 80 А = 40 % A 40 60 B 40 60 80 A B = 40 % C = 20 % 20 20 40 C 60 80 C
Преобразование полиномиального регрессионного уравнения в каноническую форму Шеффе (1) Исходное уравнение Правило нормировки b 0 = b 0 x 1 + b 0 x 2 + b 0 x 3 x 12 = x 1 – x 1 x 2 – x 1 x 3 = x 1(1 – x 2 – x 3) x 22 = x 2 – x 1 x 2 – x 2 x 3 = x 2(1 – x 3) x 32 = x 3 – x 1 x 3 – x 2 x 3 = x 3(1 – x 2)
Преобразование полиномиального регрессионного уравнения в каноническую форму Шеффе (2) Y = (b 0 + b 11)x 1 + (b 0 + b 22)x 2 + (b 0 + b 33)x 3 + (b 12 – b 11 – b 22)x 1 x 2 + (b 13 – b 11 – b 33)x 1 x 3 + + (b 23 – b 22 – b 33)x 2 x 3 i = b 0 + bii ij = bij – bii – bij Каноническая форма Шеффе Y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3
Приведение полинома первого порядка к канонической форме в q-мерном случае
Приведение полинома второго порядка к канонической форме в q-мерном случае
Приведение полинома третьего порядка к канонической форме в q-мерном случае
Симплекс-решетчатые планы Для модели степени n используют n + 1 равноотстоящих уровней: 0; 1/n; 2/n; 3/n; … n/n Первый порядок x 3 x 1 Второй порядок x 3 x 2 Y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 x 1 x 2 Y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 12 x 1 x 2 + 23 x 2 x 3 + 13 x 1 x 3
Симплекс-решетчатые планы неполного и полного третьего порядка x 3 x 1 x 2 Y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 12 x 1 x 2 + 23 x 2 x 3 + 13 x 1 x 3 + + 12 x 1 x 2 + 23 x 2 x 3 + + 123 x 1 x 2 x 3 + 12 x 1 x 2(x 1 – x 2) + + 13 x 1 x 3 + 123 x 1 x 2 x 3 23 x 2 x 3(x 2 – x 3) + 13 x 1 x 3(x 1 – x 3) x 1 x 2
Симплекс-решетчатый план четвертого порядка x 3 x 1 x 2
Матрица симплекс-решетчатого плана полного третьего порядка для q = 3 № опыта Содержание компонентов в экспериментальных точках Обозначение точки Обозначение значения функции отклика x 1 x 2 x 3 1 1 0 0 x 1 Y 1 2 0 1 0 x 2 Y 2 3 0 0 1 x 3 Y 3 4 1/3 2/3 0 x 122 Y 122 5 1/3 0 2/3 x 133 Y 133 6 0 1/3 2/3 x 233 Y 233 7 2/3 1/3 0 x 112 Y 122 8 2/3 0 1/3 x 113 Y 113 9 0 2/3 1/3 x 223 Y 223 10 1/3 1/3 x 123 Y 123
Расчет коэффициентов уравнения регрессии методом подстановки (1) На примере уравнения для симплекс-решетчатого плана второго порядка Y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 23 x 2 x 3 + 13 x 1 x 3 Для точки с координатами x 1 = 1; x 2 = 0; x 3 = 0 Y 1 = 1 1 + 2 0 + 3 0 + 12 1 0 + 23 0 0 + 13 1 0 = 1 Аналогично 2 =Y 2 3 =Y 3 i =Yi
Расчет коэффициентов уравнения регрессии методом подстановки (2) Для точки с координатами x 1 = 1/2; x 2 = 1/2; x 3 = 0 Y 12 = 1 1/2 + 2 1/2 + 3 0 + 12 1/2 + 23 1/2 0 + + 13 1/2 0 = 1 1/2 + 2 1/2 + 12 1/4 С учетом i =Yi 12 = 4 Y 12 – 2 Y 1 – 2 Y 2 Аналогично 23 = 4 Y 23 – 2 Y 2 – 2 Y 3 13 = 4 Y 13 – 2 Y 1 – 2 Y 3 ij = 4 Yij – 2 Yi – 2 Yj
Расчет коэффициентов уравнения регрессии для плана неполного третьего порядка i =Yi ij = 4 Yij – 2 Yi – 2 Yj 123 = 27 Y 123 – 12(Y 12 + Y 23 + Y 13) + + 3(Y 1 + Y 2 + Y 3)
Расчет коэффициентов уравнения регрессии для плана полного третьего порядка i =Yi ij = 9/4 (Yiij + Yijj– Yi – Yj) 123 = 27 Y 123 – 27/4 (Y 112 + Y 122 + Y 223 + + Y 233 + Y 113 + Y 133) + 9/2 (Y 1 + Y 2 + Y 3) ij = 9/4 (3 Yiij – 3 Yijj– Yi + Yj)
Проверка адекватности уравнения регрессии по критерию Сьюдента (1) tрасч tтабл для всех контрольных точек Yr – экспериментальное (среднее) значение в контрольной точке r Yrр – расчетное значение в контрольной точке r Sy 2 – средняя дисперсия опытов в основных точках плана Syr 2 – средняя дисперсия опытов в контрольных точках плана
Проверка адекватности уравнения регрессии по критерию Сьюдента (2) * * - по данным Шеффе и Микешиной nr – число дублирований опыта в контрольной точке r – величина, зависящая от положения контрольной точки на симплексе
Линии равных значений величины для двумерных симплексов (1) Первый порядок Второй порядок
Линии равных значений величины для двумерных симплексов (2) Неполный третий порядок Третий порядок
Линии равных значений величины для двумерных симплексов (3) Четвертый порядок
Расчет значений (1) Модель первого порядка Модель второго порядка Модель неполного третьего порядка
Расчет значений (2) Модель третьего порядка
Оценка дисперсии значений, предсказанных моделью (1) На примере уравнения для плана второго порядка Yрасч = Y 1 x 1 + Y 2 x 2 + Y 3 x 3 + (4 Y 12 – 2 Y 1 – 2 Y 2)x 1 x 2 + + (4 Y 23 – 2 Y 2 – 2 Y 3)x 2 x 3 + (4 Y 13 – 2 Y 1 – 2 Y 3)x 1 x 3 Yрасч = Y 1(x 1 – 2 x 1 x 2 – 2 x 1 x 3) + Y 2(x 2 – 2 x 1 x 2 – 2 x 2 x 3) + + Y 3(x 3 – 2 x 1 x 3 – 2 x 2 x 3) + 4 Y 12 x 1 x 2 + 4 Y 23 x 2 x 3 + 4 Y 13 x 1 x 3 Yрасч = x 1(2 x 1 – 1)Y 1 + x 2(2 x 2 – 1)Y 2 + x 3(2 x 3 – 1)Y 3 + + 4 x 1 x 2 Y 12 + 4 x 2 x 3 Y 23 + 4 x 1 x 3 Y 13
Оценка дисперсии значений, предсказанных моделью (2) bi = xi(2 xi – 1) bij = 4 xixj Если величины xi определяются без ошибок
Оценка дисперсии значений, предсказанных моделью (3) При равномерном дублировании ni = nij = n –доверительный интервал значений функции отклика, предсказываемых моделью
Симплекс-центроидные планы Координаты точек: (1; 0; … 0); (1/2; 0; … 0); … …(1/q; … 1/q) x 3 Симплекс-центроидный план для q = 3 x 1 x 2
D-оптимальные планы Координаты точек модели третьего порядка для q факторов: (1; 0; … 0); (0, 7236; 0, 2764; 0; … 0); (1/3; 0; … 0) Координаты точек модели четвертого порядка для q факторов: (1; 0; … 0); (1/2; 0; … 0); (0, 8273; 0, 1727; 0; … 0); (0, 5670; 0, 2165; 0; … 0); (1/4; 0; … 0)
Матрица D-оптимального плана третьего порядка для q = 3 № опыта Содержание компонентов в экспериментальных точках Обозначение точки Обозначение значения функции отклика x 1 x 2 x 3 1 1 0 0 x 1 Y 1 2 0 1 0 x 2 Y 2 3 0 0 1 x 3 Y 3 4 0, 2764 0, 7236 0 x 122 Y 122 5 0, 2764 0 0, 7236 x 133 Y 133 6 0 0, 2764 0, 7236 x 233 Y 233 7 0, 7236 0, 2764 0 x 112 Y 122 8 0, 7236 0 0, 2764 x 113 Y 113 9 0 0, 7236 0, 2764 x 223 Y 223 10 1/3 1/3 x 123 Y 123
Расчет коэффициентов уравнения регрессии для D-оптимального плана третьего порядка i =Yi ij = 2, 5 (Yiij + Yijj– Yi – Yj) 123 = 27 Y 123 – 7, 5 (Y 112 + Y 122 + Y 223 + + Y 233 + Y 113 + Y 133) + 6 (Y 1 + Y 2 + Y 3) ij = 2, 5 (Yi – Yj) + 2, 5· 50, 5 (Yiij – Yijj)
Поиск экстремума методом последовательного симплекс-планирования x 2 Движение симплексов по линии, близкой к линии градиента 8 1 x 1
Расчет координат зеркально отраженной вершины симплекса (1) x 2 А' x 2 A' В М x 2 M x 2 A С А x 1 A x 1 M x 1 A' x 1
Расчет координат зеркально отраженной вершины симплекса (2) i – номер фактора q –число факторов * – индекс новой (зеркальной) вершины f – индекс вершины с наихудшим значением отклика 1; 2; (f – 1); (f + 1) – индексы остальных вершин симплекса
Построение исходного симплекса совмещением его стороны со стороной квадрата факторного пространства x 2 +1 C Точка +1 x 1 A – 1 B 1 1 B +1 1 C 0 +1 C’ – 1 x 2 A C' x 1 0 +0, 73
Построение исходного симплекса совмещением его вершины с вершиной квадрата факторного пространства x 2 +1 A Точка B +1 x 1 – 1 C x 1 x 2 A +1 +1 B 1 +0, 46 C +0, 46 1
Построение исходного симплекса совмещением его центра тяжести с центром координат x 2 C Точка A r 2 R 1 = r 1 x 2 r 1 r 2 B x 1 A R 2 R 1 r 2 C 0 R 2 B R 1 = r 1 = 0, 5
Координаты вершин q-мерного симплекса при совмещении его центра тяжести с центром координат (1) Координаты вершин Вершина симплекса x 1 x 2 x 3 . . . xq– 1 xq С 1 –r 2 –r 3 . . . –rq– 1 –rq С 2 R 1 –r 2 –r 3 . . . –rq– 1 –rq С 3 0 R 2 –r 3 . . . –rq– 1 –rq С 4 0 0 R 3 . . . –rq– 1 –rq . . Сq 0 0 0 . . . Rq– 1 –rq Cq+1 0 0 0 . . . 0 Rq
Координаты вершин q-мерного симплекса при совмещении его центра тяжести с центром координат (2) При длине ребра i-мерного (1 i < q) симплекса, равной 1 Для двумерного симплекса
Построение исходного симплекса совмещением его вершины с центром координат x 2 p C Точка r p x 1 0 p r C A 0 B B x 2 A r x 1 r p
Координаты вершин q-мерного симплекса при совмещении его вершины с центром координат (1) Координаты вершин Вершина симплекса x 1 x 2 x 3 . . . xq– 1 xq С 1 0 0 0 . . . 0 0 С 2 p r r . . . r r С 3 r p r . . . r r С 4 r r p . . . r r . . Сq r r r . . . p r Cq+1 r r r . . . r p
Координаты вершин q-мерного симплекса при совмещении его вершины с центром координат (2) При q = 2
Качание симплекса относительно одной грани С 10 С 8 С 9 С 7 С 11
Метод деформированного симплекса где: – коэффициент деформации симплекса = – нормальное отражение = – сжатие симплекса = – растяжение симплекса
Виды деформации двумерного симплекса x 2 4 – нормальное отражение 5 – растяжение симплекса 5 4 2 6 1 7 3 6 – положительное сжатие 7 – отрицательное сжатие x 1
Рекомендуемые значения коэффициента деформации симплекса при поиске минимума Соотношение результатов при поиске минимума Вид деформации симплекса Yнл < Y* < Yнх+1 Рекомендуемые коэффициенты Символ Значения Нормальное отражение 1 Y* > Yнх+1 и Y* ≥ Yнх Отрицательное сжатие – – 0, 5; – 0, 25 Yнх+1 < Y* < Yнх Y* < Yнл Сжатие Растяжение 0, 5; 0, 25 2; 2, 5 Yнх – наихудший отклик Y* - отклик нормального отражения Yнх + 1 – отклик, следующий за наихудшим
Поиск экстремума методом градиента x 2 A 3 A 1 0 Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 x 1 Y = b 0' + b 1' x 1 + b 2' x 2
Использование компонентов градиента при переходе на следующий уровень функции отклика Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 b 1 < b 2 B C x 2 b 1 Y + Y b 2 A 0 x 1 D x 1 Y
Метод крутого восхождения x 2 A 5 A 4 A 3 A 6 A 7 A 2 A 1 0 x 1
Схема принятия решений при реализации метода "крутого восхождения Крутое восхождение Эффективное Область оптимума достигнута Область оптимума не достигнута Неэффективное Область оптимума близка Область оптимума далека Линейная модель адекватна Линейная модель неадекватна
Обобщенный параметр оптимизации Yi – обобщенный параметр оптимизации для i-го опыта yui – значение частного отклика yu в i-м опыте i = 1, 2, …, N; u = 1, 2, …, m
Шкала желательности для случая односторонних ограничений d = exp ( y')) d y'
Шкала желательности для случая двусторонних ограничений d = exp ( (| y'|n)) d y'