Полярное преобразование плоскости. Принцип двойственности
• Теорема 1. Если через точку P, не лежащую на окружности S, провести всевозможные пары секущих, пересекающих окружность в точках A и A 1, B и B 1, то геометрическим местом точек пересечения прямых AB и A 1 B 1 и геометрическим местом точек пересечения прямых AB 1 и A 1 B будет являться одна прямая p.
Прямая p называется полярой точки P относительно окружности S, а точка P – полюсом прямой p. A S B B 1 P p A 1 p P A 1 B 1 S A B
• Поляра р точки P относительно окружности S перпендикулярна к прямой OP (O – центр окружности S); обратно, полюс P прямой p лежит на перпендикуляре, опущенном из O на прямую p.
• Теорема 2. Если точка A лежит на поляре b точки B, то точка B лежит на поляре a точки A. a B b M N A Q N 1 M 1 S
• Пусть имеется какая-либо фигура F на плоскости. Поставим в соответствие этой фигуре новую фигуру F’, заменив каждую точку фигуры F её полярой и каждую прямую фигуры F – её полюсом относительно какой-либо фиксированной окружности S. • Преобразование, которое ставит в соответствие F новую фигуру F’, называется полярным преобразованием.
• Теоремы, получаемые одна из другой при помощи полярного преобразования, называются двойственными теоремами, а факт существования пар двойственных другу теорем носит названия принципа двойственности.
Свойства: • А) Точка A и проходящая через неё прямая b переходит при полярном преобразовании в прямую a и лежащую на ней точку B. • Следствие: Три точки A, B и C, лежащие на одной прямой l, переходят при полярном преобразовании в три прямые a, b и c, пересекающиеся в одной точке L, и наоборот.
• Б) Параллельные прямые переходят при полярном преобразовании в точки, лежащие на одной прямой с центром окружности S, относительно которой производится полярное преобразование; обратно, точки, лежащие на одной прямой с центром окружности S, переходят в параллельные прямые.
• В) Угол между двумя прямыми a и b равен углу, под которым виден из центра основной окружности полярного преобразования отрезок, соединяющий точки A и B, в которые переходят эти прямые (или углу, смежному с ним)
• Г) Если четыре точки A, B, C и D, лежащие на одной прямой l, переходят при полярном преобразовании в четыре прямые a, b, c и d, то сложное отношение четырёх прямых a, b, c и d равно сложному отношению четырёх точек A, B, C, D.
Скачать презентацию Полярное преобразование плоскости Принцип двойственности
Полярное преобразование плоскости.pptx