Полуевклидова плоскость Геометрия Галилея Для студентов 3 курса

Полуевклидова плоскость. Геометрия Галилея Для студентов 3 курса математического факультета (сост. доц. М. С. Ананьева) 1

Вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Модели полуевклидовой плоскости. Плоскость Галилея. Расстояние между точками. Особое расстояние Прямая. Особая прямая. Уравнения прямых. Геометрический смысл углового коэффициента. Окружность. Дуга окружности, отрезок прямой. Единичная окружность. Уравнение окружности. Угол. Формула для вычисления угла между прямыми Треугольники. Высоты, биссектрисы, медианы треугольника. Равные треугольники. Равнобедренный треугольник 2

8. n-мерные пространства 3

9. Полуевклидова плоскость: модели 4

9. Полуевклидова плоскость: модели 5

9. Полуевклидова плоскость: модели 6

9. Полуевклидова плоскость: модели 7

9. Полуевклидова плоскость 8

9. Полуевклидова плоскость: модель 1 9

9. Полуевклидова плоскость: модель 1 10

1. Полуевклидова плоскость – (Модель 2: Геометрия Галилея) 11

1. Скалярное произведение векторов: модель 2 12

1. Координаты точки на плоскости Галилея o Система координат – прямоугольная n n o Ось абсцисс Ось ординат А (х; у) n n х – время у – координата точки на прямой 13

2. Расстояние между точками 14

2. Прямые o Невертикальные евклидовы прямые назовем прямыми плоскости Галилея у=kx+b n o график равномерного движения Вертикальные евклидовы прямые назовем особыми (изотропными) прямыми плоскости Галилея х=р n момент времени 15

3. Расстояние между точками o Расстоянием между точками назовем разность первых координат d=х2 -х1 n o o разница во времени Для точек, лежащих на одной вертикальной прямой, введем «особое расстояние» Особым расстоянием между точками, лежащими на особой прямой, назовем разность вторых координат d=у2 -у1 n разница в координате одновременных событий 16

3. Расстояние между точками 17

3. Расстояние между точками 18

3. Расстояние между точками o o Свойства Расстояние между точками может принимать любой знак. Две точки совпадают тогда и только тогда, когда: n n между ними определено особое расстояние, и оно равно нулю. 19

4. Окружность o Окружность – множество точек, удаленных от данной точки на данное расстояние 20

4. Окружность o Окружность – множество точек, удаленных от данной точки на данное расстояние n Особая прямая 21

4. Окружность o Дуга окружности на плоскости Галилея– отрезок особой прямой o Отрезок прямой на плоскости Галилея – отрезок не особой прямой 22

4. Окружность o Единичная окружность – n n окружность радиуса 1 на плоскости Галилея особая прямая, удаленная от центра на 1 вправо 23

4. Окружность o o Уравнение окружности (А, r), где А(х0, у0) Уравнение окружности (О, r) 24

5. Угол между векторами 25

5. Угловой коэффициент прямой o o Прямая l: у=kx+b k – угловой коэффициент прямой = тангенс угла наклона к оси Ох 26

5. Угловой коэффициент прямой o o o Прямая l: у=kx+b k – угловой коэффициент прямой = тангенс угла наклона к оси Ох k – ордината орта направляющего вектора прямой 27

5. Угол между прямыми o Углом между пересекающимися прямыми на плоскости Галилея называют угол между ортами их направляющих векторов 28

5. Угол между прямыми o Углом между пересекающимися прямыми на плоскости Галилея называют длину дуги, которую они высекают на единичной окружности с центром в точке их пересечения 29

5. Угол o Величина угла может быть любым действительным числом, n o т. е. принимать любой знак Любой угол – ориентированный 30

5. Угол o o Угол между параллельными или совпавшими прямыми равен нулю Перпендикулярными прямыми называют прямые, направляющие векторы которых перпендикулярны 31

5. Угол o Теорема 1 o Величина угла от прямой к прямой k 2 -k 1 у=k 1 x+b 1 у=k 2 x+b 2 равна разности 32

5. Угол o o Теорема 2 Две прямые, пересеченные третьей, параллельны тогда и только тогда, когда третья прямая образует с ними равные углы 33

5. Угол. Перпендикуляр Определение o Перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую l, называют прямую, соединяющую Ас ближайшей точкой прямой l. 34

5. Угол. Перпендикуляр Теорема 3 o Из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить единственный перпендикуляр на эту прямую. o Из точки прямой можно восстановить единственный перпендикуляр к ней 35

6. Треугольники Определение o Треугольником на плоскости Галилея называется совокупность трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (не особых прямых), их соединяющих 36

6. Треугольники Определение o Треугольником на плоскости Галилея называется совокупность трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (не особых прямых), их соединяющих o o Точки А, В, С Отрезки АВ, ВС, СА 37

6. Треугольники o Треугольник АВС n n Точки А, В, С вершины Отрезки АВ, ВС, СА – стороны 38

6. Треугольники o Треугольник АВС n n n Точки А, В, С вершины Отрезки АВ, ВС, СА – стороны Особые отрезки , , – углы 39

6. Треугольники: свойства o o Периметр любого треугольника равен нулю. Сумма углов треугольника равна нулю n Докажите самостоятельно 40

6. Треугольники: равенство o Два треугольника называются равными, если существует преобразование, переводящее один треугольник в другой n Проверьте признаки равенства евклидовых треугольников на плоскости Галилея 41

6. Треугольники o Медиана – отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны n n n o Биссектриса угла – прямая, делящая угол пополам n n o простой отрезок особый отрезок – дуга внутри треугольника не отрезок внутри и вне треугольника Высота – отрезок перпендикуляра, проведенный от вершины к противоположной стороне 42

6. Треугольники o Треугольник АВС n Отрезок АМ – медиана n n простой отрезок особый отрезок – дуга 43

6. Треугольники o Треугольник АВС n прямая a – биссектриса прямая a, b – биссектрисы углов , , n n угла прямая b – биссектриса угла 44

6. Треугольники o Треугольник АВС n Отрезок hc – высота 45

Задачи 1. 2. 3. Большая сторона треугольника равна сумме двух других сторон. Докажите, что в полуевклидовой плоскости отрезок, соединяющий середины боковых сторон, параллелен основанию и равен его половине. В равнобедренном треугольнике середина основания параллельна вершине. 46

Задачи 4. 5. 6. 7. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2: 1. Пересекаются ли биссектрисы треугольника, в одной точке? Высоты? Докажите, что биссектрисы углов треугольника попарно пересекаются, причем точки их пересечения служа вершинами треугольника, стороны которого равны сторонам исходного треугольника, а углы вдвое меньше углов исходного. Постройте равнобедренный треугольник. Докажите, что медиана равнобедренного треугольника является его высотой. Будет ли являться медиана биссектрисой? 47

Задачи 8. 9. 10. Докажите, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Существуют ли равносторонние треугольники? Докажите теорему синусов: 48