Полные системы булевых функций Определение и пример

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Полные системы булевых функций

Определение и пример полной системы функций Определение: Система логических функций P = {f 1, f 2, …, fs, …) называется полной, если любая логическая функция может быть представлена формулой от функций из Р (суперпозицией формул из P). Пример: Система функций является полной, так как любая булева функция может быть представлена в виде СДНФ или СКНФ. Не всякая система функций является полной. Например, система P = {0} не является полной.

Признак полной системы функций Теорема 1: Если даны две системы логических функций Р = {f 1, f 2, …, fk}, D = {g 1, g 2, …, gs), относительно которых известно, что Р – полная, и любая функция fi P есть формула над D, то D тоже является полной системой. Пример 2. Система полная , так как система полная, и ее функции являются формулами над D 1: , а остальные две функции просто входят в D. Пример 3. Система полная.

Другие примеры полных функций Пример 4. Система является полной. полная. Так как то D 2 выражается через S. Поэтому по теореме 1 система S тоже полная. Пример 5. Система, состоящая из одной функции является полной. = |. Поэтому штрих Шеффера тоже полная систем функций.

Теорема о 7 полных системах Теорема 2. Следующие 7 систем булевых функций являются полными:

Специальные классы функций Определение. Булева функция f(x 1, x 2, …, xn) сохраняет ноль, если f(0, 0, …, 0) = 0. Пример: f = x. Определение. Булева функция f(x 1, x 2, …, xn) сохраняет единицу, если f(1, 1, …, 1) = 1. Пример: f = x. Определение. Булева функция f(x 1, x 2, …, xn) называется самодвойственной, если f(x 1, x 2, …, xn) = f*(x 1, x 2, …, xn). Определение. Булева функция f(x 1, x 2, …, xn) называется линейной, если ее можно представить в виде многочлена Жегалкина степени 1. Пример: f = = x +1. Определение. Булева функция f(x 1, x 2, …, xn) называется монотонной, если для a 1, a 2, …, an, b 1, b 2…, bn [0, 1] и ai, bi (i=1. . n) из ai bi следует f(a 1, a 2, …, an) f(b 1, b 2, …, bn).

Классы Поста Введем обозначения: T 0 класс (множество) всех булевых функций, сохраняющих 0. T 1 класс (множество) всех булевых функций, сохраняющих 1. S класс всех булевых самодвойственных функций. М класс (множество) всех монотонных булевых функций. L класс (множество) всех линейных булевых функций. Эти классы не пустые и собственные подмножества в P 2.

Замыкание множества функций Определение: Пусть дано множество логических функций A. Замыканием A называется множество всех логических функций, реализуемых формулами над A. Замыкание множества A обозначается [A]. СВОЙСТВА ЗАМЫКАНИЯ : 1. A [A]; 2. [[A]] = [A]; 3. Если A 1 A 2, то [A 1] [A 2]; 4. ([A 1] [A 2]) [A 1 A 2]. Множество A логических является полной системой функций, если [A] = P 2.

Свойства классов Поста Определение: Класс (множество) функций A называется замкнутым, если [A] = A. Теорема 3: Классы Поста Т 0, Т 1, S, M, L являются собственными замкнутыми классами булевых функций. 1. Пусть функции f, f 1, …, fn Т 0 и F их суперпозиция: F = f(f 1(x 1, …, xn), …, fn(x 1, …, xn)). Тогда: F(0, …, 0) = f(f 1(0, …, 0), …, fn(0, …, 0)) = f(0, …, 0) = 0. Следовательно, F Т 0. 2. Пусть f, f 1, …, fn Т 1 и и F их суперпозиция: F = f(f 1(x 1, …, xn), …, fn(x 1, …, xn)). Тогда: F(1, …, 1) = f(f 1(1, …, 1), …, fn(1, …, 1)) = f(1, …, 1) = 1 Следовательно, F Т 1.

Теорема Поста о полноте системы логических функций • Теорема Поста (Э. Пост, 1921 г). Система логических функций {f 0, f 1, …, fk, …} является полной тогда и только тогда, когда в этой системе имеется функция, не принадлежащая классу T 0, имеется функция, не принадлежащая классу T 1, имеется функция, не принадлежащая классу S, имеется функция, не принадлежащая классу M, имеется функция, не принадлежащая классу L. Короче: система логических функций {f 0, f 1, …, fk, …} является полной тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в каком классе Поста.

Доказательство необходимости условия теоремы Поста Пусть система логических функций A={f 0, f 1, …, fk, …} полная. Тогда [A] = P 2. Допустим, что A T 0. Тогда [A] [T 0]. По теореме 3 класс T 0 = [T 0] и T 0 P 2. Получаем [A] = P 2 T 0. Но T 0 ≠ P 2. Противоречие. Поэтому в полной системе A имеется функция F T 0. Аналогично доказывается, что в системе A={f 0, f 1, …, fk, …} имеются функции, не принадлежащие классам Т 1, S, M, L.

Скачать презентацию Полные системы булевых функций Определение и пример

Полные_ системы.ppt

Количество слайдов: 11