ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ o o Многофакторные эксперименты наиболее часто применяют для построения линейных по параметрам полиномиальных моделей. Вид полинома задается заранее, а его параметры определяются по экспериментальным данным. Широкое распространение полиномиальных моделей объясняется тем, что исследуемые экспериментальными методами функции многих переменных f (х1, х2, . . . , хк) в ограниченной области W обычно можно разложить в ряд Тейлора: 1
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ o o где 0, ij, ii - действительные значения коэффициентов уравнения; хi, xj - факторы; Y - отклик; - слагаемые третьего и более высокого порядка малости. o Если модель включает в себя переменную (l - 1) степени, то данная переменная в эксперименте должна принимать не менее l значений или уровней. 2
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ o В уравнении регрессии коэффициенты bi являются оценками соответствующих коэффициентов i , а y оценка отклика Y. 3
Метод наименьших квадратов где i = 1, 2, . . . , N – номер опыта. где ξi – невязка, разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениями i-й экспериментальной точке. ув 4
Метод наименьших квадратов o . 5
Метод наименьших квадратов o . 6
Метод наименьших квадратов o В этой формуле j = 0, 1, 2. . . , k – номер фактора. Ноль записан для вычисления b 0. 7
Полный факторный эксперимент o o Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если в k – мерном пространстве фактор х1 будет принимать l 1 уровень, фактор х2 – l 2 уровней, а фактор хк – lк уровней, то k – факторов образуют: наборов, или точек факторного пространства. o В теории ТПЭ обычно l 1 = l 2 =. . . = lk поэтому N = lk. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный эксперимент типа o N = 2 k. 8
Полный факторный эксперимент k 2 3 4 5 N 4 8 16 32 64 Матрица планирования 22 6 7 8 9 10 128 256 512 1024 Матрицы планирования 23 № опыта х1 х2 Y № опыта х1 х2 х3 y 1 – 1 y 1 1 + + + y 1 2 +1 – 1 y 2 2 – + + y 2 3 – 1 +1 y 3 3 + – + y 3 4 +1 +1 y 4 4 – – + y 4 5 + + – y 5 6 – + – y 6 7 + – – y 7 8 – – – y 8 9
Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 22 10
Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 23 11
Свойства матрицы ПФЭ типа 2 k o Симметричность относительно центра эксперимента, o где j – номер фактора, N – число опытов, j = 1, 2. . . k. Условие нормировки o Ортогональность матрицы планирования o j ≠ u, j, u= 0, 1, 2, …, k. o 12
Параллельные опыты. Рандомизация o o o Для снижения случайной составляющей погрешности в каждой точке плана производят по несколько параллельных опытов (обычно 3 - 5 ). В практике эксперимента встречаются случаи, когда отклик непроизвольно меняется под влиянием различных неконтролируемых воздействий. Они могут иметь как случайный так и периодический характер, причем период может быть меньше времени проведения эксперимента, так и значительно больше. Для уменьшения влияния медленно изменяющихся помех используют метод, или принцип, рандомизации. 13
Параллельные опыты. Рандомизация o o Термин “ рандомизация “ происходит от слова random (случай, случайность ). Он означает, что опыты производятся не в той последовательности, как они записаны в плане, а в случайной последовательности. Кроме уменьшения влияния дрейфа, рандомизация обеспечивает статистическую независимость результатов опытов между собой. Поэтому принцип рандомизации имеет основополагающее значение в теории ПЭ и должен использоваться при проведении экспериментальных исследований. 14
Скачать презентацию ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ o o Многофакторные эксперименты наиболее часто
Планирование экспер. лекции4.ppt