Полезность Кырыкбаев Айбек Финансы-11 802 Функции полезности

Полезность Кырыкбаев Айбек Финансы-11. 802

Функции полезности u Будем говорить, что функция полезности U(x) описывает отношение предпочтения тогда и только тогда, когда для любых двух наборов благ x’ и x” верны следующие соотношения: x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”).

Функции полезности u Функцией полезности любая скалярная (имеющая числовые значения) функция U(x), заданная на множестве наборов благ x=(x 1, …, xn) Rn+ и удовлетворяющая следующему свойству: для любых двух наборов товаров (благ) x Rn+ и y Rn+ соотношение U(x) U(y) выполнено тогда и только тогда, когда x y (x предпочтительнее y).

Функции полезности u Непрерывное, монотонно возрастающее рациональное (т. е. полное, рефлексивное и транзитивное) отношение предпочтения может быть представлено непрерывной функцией полезности. u Непрерывность отношения предпочтения означает, что малые изменения набора потребительских благ влекут за собой малые изменения в уровне предпочтительности набора благ.

Функция полезности u Полезность является порядковым (т. e. задающим упорядочение) понятием. u Например, если U(x) = 6 и U(y) = 2, то тогда набор x строго предпочтительнее (лучше) набора y. Но при этом нельзя утверждать, что набор x в три раза предпочтительнее набора y.

Функции полезности и кривые безразличия u Рассмотрим наборы благ, представленные векторами (4, 1), (2, 3) и (2, 2). u Допустим, что потребитель упорядочил их следующим образом (2, 3) (4, 1)~(2, 2). u Поставим в соответствие этим наборам произвольные числа, сохраняющие упорядочение векторов по предпочтительности, например, U(2, 3) = 6 > U(4, 1) = U(2, 2) = 4. u Назовем эти числа уровнями полезности.

Функции полезности и кривые безразличия u Кривая безразличия содержит все одинаково предпочтительные наборы благ. предпочтительность один и тот же уровень полезности. u Т. о. , все наборы, принадлежащие кривой безразличия, обладают одинаковым уровнем полезности. u Одинаковая

Функции полезности и кривые безразличия u Тем самым наборы (4, 1) и (2, 2) принадлежат кривой безразличия, уровень полезности которой равен U º 4. u При этом набор (2, 3) принадлежит кривой безразличия с уровнем полезности U º 6. u На диаграмме кривых безразличия данная информация о предпочтительности наборов выглядит следующим образом:

Функции полезности и кривые безразличия (2, 3) p x 2 (2, 2) ~ (4, 1) Uº 6 Uº 4 x 1

Функции полезности и кривые безразличия u Другой способ визуального представления этой информации заключается в откладывании на вертикальной оси значений уровня полезности.

Функции полезности и кривые безразличия 3 -мерный график потребления и уровня полезности Полезность U(2, 3) = 6 U(2, 2) = 4 U(4, 1) = 4 x 2 x 1

Функции полезности и кривые безразличия u Это трехмерное представление предпочтений можно сделать более информативным за счет добавления в него двух кривых безразличия, которым принадлежат рассматриваемые наборы благ.

Функции полезности и кривые безразличия Полезность Uº 6 Uº 4 x 2 x 1 Расположенная выше кривая безразличия содержит более предпочтительные наборы.

Функции полезности и кривые безразличия u Сравнение большего числа наборов позволяет получить большее число кривых безразличия, что дает более полное представление о системе предпочтений потребителя.

Функции полезности и кривые безразличия x 2 Uº 6 Uº 4 Uº 2 x 1

Функции полезности и кривые безразличия u Как и ранее, визуальное представление данной информации может быть проведено в трехмерном измерении за счет расположения кривой безразличия на высоте, равной уровню ее полезности.

Функции полезности и кривые безразличия Полезность Uº 6 Uº 5 Uº 4 Uº 3 Uº 2 x 2 Uº 1 x 1

Функции полезности и кривые безразличия u Сравнивая по предпочтительности все возможные наборы потребительских благ, получим множество всех возможных кривых безразличия потребителя, каждой из которых приписан свой уровень полезности. u Это множество всех возможных кривых безразличия полностью описывает систему предпочтений потребителя.

Функции полезности и кривые безразличия u Совокупность всех кривых безразличия для данного отношения предпочтения называется картой кривых безраличия (indifference map). u Карта кривых безразличия есть способ задания функции полезности. Одно есть эквивалентное представление другого.

Функции полезности u Для заданного отношения предпочтения не существует единственной описывающей его функции полезности. u Допустим, что U(x 1, x 2) = x 1 x 2 описывает некоторое конкретное отношение предпочтения . u Обратимся к ранее рассматривавшимся наборам благ (4, 1), (2, 3) и (2, 2).

Функции полезности u U(x 1, x 2) = x 1 x 2 и поэтому, U(2, 3) = 6 > U(4, 1) = U(2, 2) = 4; Т. о. , (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2).

Функции полезности = x 1 x 2 (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). u Определим V = U 2. u Тогда V(x 1, x 2) = x 12 x 22 и V(2, 3) = 36 > V(4, 1) = V(2, 2) = 16, то есть вновь получаем, что (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). u V сохраняет тоже самое упорядочение наборов, что и U. Таким образом, функция V описывает одинаковое с U отношение предпочтения. u U(x 1, x 2)

Функции полезности = x 1 x 2 (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). u Определим W = 2 U + 10. u Тогда W(x 1, x 2) = 2 x 1 x 2+10, в силу чего W(2, 3) = 22 > W(4, 1) = W(2, 2) = 18. Т. о. , вновь получаем, что (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). u W сохраняет тоже самое упорядочение наборов по предпочтительности, что U и V, и потому является описанием той же самой системы предпочтений. u U(x 1, x 2)

Функции полезности Если U(x) является функцией полезности, описывающей отношение предпочтения на множестве неотрицательных наборов благ x Rn+, а f(U) есть строго возрастающая функция одного аргумента, то зависимость V = f(U) также представляет собой функцию полезности, описывающую исходное отношение предпочтения .

Функция полезности Теорема (о существовании непрерывной функции полезности) Пусть отношение предпочтения ЛПР является полным, рефлексивным, транзитивным, непрерывным и строго монотонным. Тогда существует непрерывная функция полезности U : Rn+ R, описывающая данное отношение предпочтения.

Благо, анти-благо и нейтральный продукт u Благо - продукт, который повышает полезность набора в случае появления в нем дополнительной единицы данного продукта (появление в наборе дополнительной единицы продукта делает набор более предпочтительным).

Благо, анти-благо и нейтральный продукт u Анти-благо - продукт, который снижает полезность набора в случае появления в нем дополнительной единицы данного продукта (появление в наборе дополнительной единицы продукта делает набор менее предпочтительным).

Благо, анти-благо и нейтральный продукт u Нейтральный (безразличный) продукт, появление дополнительной единицы которого в наборе не сказывается на полезности последнего (появление в наборе дополнительной единицы продукта не изменяет предпочтительности набора).

Благо, анти-благо и нейтральный продукт Полезность Объем воды, в пределах которого каждая единица является благом Функция полезности Объем воды, в пределах которого каждая единица является антиблагом Вода x’ В окрестности x’ единиц малое увеличение воды оказывается нейтральным.

Предельная полезность u Термин предельный понимается как “малый”. u Предельная полезность продукта i есть прирост полезности набора x, получаемый при изменении в нем количества продукта i на одну достаточно малую единицу при сохранении неизменными объемов других благ, т. е.

Предельная полезность u Например, если U(x 1, x 2) = x 11/2 x 22 , то

Предельная полезность u Например, U(x 1, x 2) = x 11/2 x 22 , то

Предельная полезность u Т. о. , если U(x 1, x 2) = x 11/2 x 22 , то