ПОЛЕ Определение Ненулевое коммутативное кольцо P P

ПОЛЕ Определение. Ненулевое коммутативное кольцо P = называется полем, если алгебра образует абелеву группу. Таким образом, алгебра P = с двумя бинарными операциями называется полем, если: 1) - абелева группа; 2) - абелева группа; 3) a, b, c P (a+b)c = ac+bc. 1) е; 2) для каждого ненулевого элемента a P, должен существовать обратный элемент a-1 P такой, что a·a -1 = е.

Примеры. 1. Кольцо целых чисел ненулевое и коммутативное, кроме того, оно содержит 1. Z полем не является. 2. Кольцо K = , где коммутативное и ненулевое, содержащее 1. Пусть тогда

Примеры. 3. Полями являются кольца рациональных, действительных и комплексных чисел. 4. Можно показать, что коммутативное, ненулевое кольцо L = , где является полем: 1 L, и L, ơ 5. р – простое число, то кольцо классов вычетов Z/(p) является полем.

Определение. Непустое подмножество F поля Р называется его подполем, если оно само является полем относительно операций поля Р. Р называется расширением поля F. В общем случае, поле Р называется расширением поля F, если существует изоморфизм : F G, где G – подполе поля Р. Как и для кольца, аналогичным образом для поля вводится понятие характеристики. Установим связь между полем и областью целостности. Т. Поле является областью целостности. Конечная область целостности является полем.

Т. Поле является областью целостности. Конечная область целостности является полем. Доказательство. Пусть Р – поле и для некоторых a, b P, a ơ, a b = ơ. Тогда a-1 a b = a-1 ơ = ơ. С другой стороны, a-1 a b = b, поэтому b = ơ и Р – область целостности. Обратно, если К – конечная область целостности с элементами ơ, 1, а 2, а 3, …, аn и а = аi для некоторого 0 i n, то все произведения а ơ, а 1, а а 2, а а 3, …, а аn являются различными элементами области целостности К.

Т. Поле является областью целостности. Конечная область целостности является полем. Если допустить, что а аj= а аm, то а (аj – аm) = ơ и аj = аm. Следовательно, а ơ, а 1, а а 2, а а 3, …, а аn различные элементы области целостности К. Т. к. а аs = 1 для некоторого s, где 0 s n, то а имеет обратный элемент. Таким образом, область целостности К является полем. Тем не менее, не всякая область целостности является полем (например, Z), но каждая область целостности вкладывается в поле.

Поле частных для области целостности Определение. Поле Р называется полем частных для кольца К, если: 1) К Р; 2) любой элемент Р представим в виде = a b-1, где a, b К. Пример: Поле Q является полем частных для кольца Z целых чисел.

Т. Любая область целостности имеет поле частных. ► Пусть К – область целостности. Рассмотрим множество М пар элементов К: М = {(a, b) / a, b K}. Введем на этом множестве отношение ( – «быть в отношении» ): будем говорить, что (a, b) (c, d), если ad = bc. Покажем, что – отношение эквивалентности: 1) рефлексивность выполняется, (a, b) т. к. ab = ba – К – коммутативное кольцо; 2) симметричность: если (a, b) (c, d) ad = bc da = cb = da (c, d) (a, b); 3) транзитивность: (a, b) (c, d) и (c, d) (k, p) ad = bc и cp = dk adcp = bcdk ap = bk (сокращать можно, т. к. нет делителей нуля) (a, b) (k, p).

Т. Любая область целостности имеет поле частных. М/ = {M(a, b), M(c, d), …}. M(a, b) = {(x, y) M / (x, y) (a, b)}. Причем, t ơ K, M(a, b) = M(at, bt), т. к. (a, b) (at, bt), abt = bat (ab = ba). Обозначим множество классов эквивалентности М/ = P и введем на множестве P операции: M(a, b) + M(c, d) = M(ad+bc, bd); M(a, b) M(c, d) = M(ac, bd). Покажем, что – поле.

– поле I. – абелева группа. M(a, b) + M(c, d) = M(ad+bc, bd); -операция «+» – выполнима, т. к. ad+bc, bd K; -ассоциативность проверяется непосредственно: ╠ (M(a, b) + M(c, d)) + M(k, p) = M(ad+bc, bd) + M(k, p) = M((ad+bc)p+bdk, bdp) = M(adp+bcp+bdk, bdp), ╠ M(a, b) + (M(c, d) + M(k, p))= M(a, b) + M(cp+dk, dp) = M(adp+b(cp+dk), bdp) = M(adp+bcp+bdk, bdp);

– поле M(a, b) + M(c, d) = M(ad+bc, bd) - нулевой элемент: M(ơ, k), M(a, b) + M(ơ, k) = M(ak+bơ, bk) = M(ak, bk) = M(a, b); (ơ, k) (ơ, n) - противоположный элемент: M(-a, b), M(a, b) + M(-a, b) = M(ab-ab, b 2) = M(ơ, b 2) – нулевой элемент; - коммутативность очевидна: M(a, b) + M(c, d) = M(c, d) + M(a, b).

– поле M(a, b) M(c, d) = M(ac, bd) II) – абелева группа. - операция « » – выполнима, ac, bd K; - ассоциативность: (M(a, b) M(c, d)) M(k, p) = M(a, b) (M(c, d) M(k, p)); - единичный элемент: М(k, k), M(a, b) М(k, k) = M(ak, bk) = M(a, b); - обратный элемент: пусть M(a, b) M(ơ, k) – нулевому элементу, тогда M(b, a) – обратный к M(a, b), M(a, b) M(b, a) = M(ab, ba) = M(ab, ab) – единичный элемент; - коммутативность умножения очевидна.

– поле III) Дистрибутивный закон проверяется непосредственно: ╠ (M(a, b) + M(c, d)) M(k, p) = M(ad+bc, bd) M(k, p) = M((ad+bc)k, bdp) = M(adk+bck, bdp), ╠ M(a, b) M(k, p) + M(c, d) M(k, p) = M(ak, bp) + M(ck, dp) = M(akdp+bpck, bpdp) = M(akd+bck, bdp) = M(adk+bck, bdp), (M(a, b) + M(c, d)) M(k, p) = M(a, b) M(k, p) + M(c, d) M(k, p).

Р = {M(at, t) / a, t K} Р К Зададим отображение : a K, (a) = M(at, t). 1) Взаимная однозначность. a = b M(at, t) = M(bt, t) (at, t) (bt , t) at 2 = bt 2 a = b. 2) Сохранение операций. а) (a+b) = M((a+b)t, t); (a) + (b) = M(at, t) + M(bt, t) = M(at 2+bt 2, t 2) = M((a+b)t, t), т. к. ((a+b)t 2, t 2) ((a+b)t, t). (a+b) = (a) + (b)

б) (a b) = M((a b)t, t); (a) (b) = M(at, t) M(bt, t) = M((ab)t , t ) = M((a b)t, t). (a b) = (a) (b) 2 2 1) и 2) следует, что Р К. Область целостности К содержится в поле Р: К Р. Покажем, что Р, = М(a, b) = M(at 2, bt 2) = М(at, t) M(t, bt) = М(at, t) M-1(bt, t). ◄ Р Р

Изоморфизм полей частных Т. Поле частных для области целостности К определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Доказательство. Пусть К – область целостности и

,

– два поля частных для области целостности К. Покажем, что P 1 P 2. Т. к. Р 1 К, Р 2 К, то Р 1 Р 2 , т. е. : Р 1 Р 2 , – изоморфизм. Рассмотрим отображение : P 1 P 2, такое, что Р 1, = a 1 b 1 -1, где a 1, b 1 -1 Р 1 , ( ) = (a 1 b 1 -1) = a 2๏b 2 -1 = (a 1) ( (b 1))-1.

1) Взаимная однозначность. Пусть = , т. е. a 1 b 1 -1 = c 1 d 1 -1. Покажем, что (a 1 b 1 -1) = (c 1 d 1 -1). a 1 b 1 -1 = c 1 d 1 -1 a 1 d 1 = b 1 c 1 (a 1 d 1) = (b 1 c 1) – изом. (a 1)๏ (d 1) = (b 1)๏ (c 1) (a 1)๏( (b 1))-1 = (c 1)๏( (d 1))-1 (a 1 b 1 -1) = (c 1 d 1 -1). Возвращаясь по полученной цепочке назад, получим, что если (a 1 b 1 -1) = (c 1 d 1 -1), то a 1 b 1 -1 = c 1 d 1 -1.

2) Сохранение операций. ( + ) = (a 1 b 1 -1 + c 1 d 1 -1) = ((a 1 d 1 + b 1 c 1) (b 1 d 1)-1) = (a 1 d 1 + b 1 c 1)๏( (b 1 d 1))-1 = (a 1 d 1)๏( (b 1 d 1))-1 (b 1 c 1)๏( (b 1 d 1))-1; ( ) = (a 1 b 1 -1) (c 1 d 1 -1) = (a 1)๏( (b 1))-1 (c 1)๏( (d 1))-1 = ( (a 1)๏ (d 1) (b 1)๏( (c 1))๏( (b 1)๏ (d 1))-1 = (a 1 d 1)๏( (b 1 d 1))-1 (b 1 c 1)๏( (b 1 d 1))-1. ( ) = (a 1 b 1 -1 c 1 d 1 -1) = ((a 1 c 1) (b 1 d 1)-1) = (a 1 c 1) ๏ ( (b 1 d 1))-1; ( )๏ ( ) = (a 1 b 1 -1) ๏ (c 1 d 1 -1) = (a 1)๏( (b 1))1๏ (c 1)๏( (d 1))-1 = (a 1)๏ (c 1)๏( (b 1))-1๏( (d 1))-1 = (a 1 c 1)๏( (b 1 d 1))-1. 1), 2) P 1 P 2.

Алгебры над полем • P[x], Mn n(R), C над полем R, …. • Определение. Алгеброй над полем Р называется пара, состоящая из кольца К и векторного пространства V над полем Р. • Определение. Алгебра называется алгеброй с делением, если все ее ненулевые элементы имеют обратные. • Пример. Множество комплексных чисел С над полем действительных чисел R – алгебра с делением. Алгебру С можно рассматривать как векторное пространство размерности 2: a+bi=a 1+b i, 1, i – базис алгебры С над полем R.

i i + j k k • триплеты: a+bi+cj. 1, i, j – базис, a, b, c R. • (a+bi+cj)(x+yi+zj)=1. • алгебру кватернионов – алгебру размерности 4. a+bi+cj+dk – общий вид кватерниона; a, b, c, d R, таблица умножения базисных элементов имеет вид: j i j k i -1 k -j j -k -1 i k j -i -1

• Если a 2+b 2+c 2+d 2=0, т. е. a=b=c=d=0, обратный не существует. • Покажем, что нельзя построить ассоциативную алгебру с делением ранга 3. • Утверждение № 1 В ассоциативной алгебре с делением над полем R базисные элементы, не являющиеся действительными числами, можно подобрать так, что их квадрат равен -1. • Утверждение № 2 Для базисных элементов ассоциативной алгебры с делением, не являющихся действительными, верно: ij+ji R.

Т 1. Не существует ассоциативной алгебры с делением над полем действительных чисел R ранга 3. Допустим, что такая алгебра A существует и {1, , } базис A. , A и линейно выражаются через базис. (*) = a 0 1+a 1 +a 2 , a 0, a 1, a 2 R 2 = a 0 +a 1 +a 2 2, т. к. 2 = -1 - = a 0 +a 1 - a 2 (*) - = a 0 +a 1 (a 0+a 1 +a 2 ) - a 2; (a 12+1) + (a 0+a 1 a 2) + 1 (a 0 a 1 - a 2) = 0. Т. к. a 12+1 0, получаем, что система 1, , – линейно зависима, что противоречит условию: {1, , } – базис не выражается через 1, , . Т. к. 1, , - линейно независимая и через эту систему не выражается, то линейно независимой является система {1, , , }.

Т 2. Не существует алгебры с делением над полем действительных чисел R ранга более 4. ►{1, i, j, ij, t, …} – базис A. ti + it =обозн. 2 с1 R; tj + jt = 2 с2 R; t(ij) + (ij)t = 2 с3 R; t(ij) = 2 с3 – (ij)t = 2 с3 –i(jt) = 2 с3 – i(2 с2 – tj) = 2 с3 – 2 с2 i + i(tj) = 2 с3 – 2 с2 i + (it)j = 2 с3 – 2 с2 i + (2 с1 – ti)j = 2 с3 – 2 с2 i + 2 с1 j – (ti)j = 2 с3 – 2 с2 i + 2 с1 j –t(ij) 2 t(ij) = 2 с3 – 2 с2 i + 2 с1 j; t(ij) = с3 – с2 i + с1 j; (ij) t(ij)2 = с3(ij) – с2 i 2 j + с1 j(ij); (ij)2 = i 2 = – 1 (ij) = – 1 i слева – j(ij) = – i, или j(ij) = i, тогда – t = с3(ij) + с2 j + с1 i + с2 j + с3(ij) + 1 t = 0, причем с1, с2, с3, 1 R, т. е. система {1, i, j, ij, t} линейно зависима, а значит {1, i, j, ij, t, …} не является базисом. ◄

Теорема Фробениуса Т. Над полем R можно построить только 3 ассоциативные алгебры с делением: размерности 1 (R), размерности 2 (С), размерности 4 (К – кватернионы). Если отказаться от ассоциативности, можно построить алгебру с делением над полем действительных чисел R размерности 8 – алгебру октав. Других алгебр с делением нет.

Теоретико – групповые конструкции (способы построения групп на основе заданных) 1. Факторгруппа Если G – группа, то Н G, G/Н, ранее было показано, что G и G/Н – гомоморфны: G ~ G/Н. 2. Пересечение групп Пусть G 1 и G 2 – группы, имеющие одно исходное множество, тогда G = G 1 G 2 – группа.

3. Прямое произведение Пусть G 1 и G 2 – группы. Рассмотрим G = G 1 G 2: g G, g = g 1 g 2, g 1 G 1, g 2 G 2. G 1 G 2, G 1 = {g = g 1 e / e G 2}; G 2 G 1 G 2. Число множителей в прямом произведении может быть и больше двух, даже бесконечным. Но если множителей бесконечно много, то g G, равен произведению конечного числа множителей: g = gi gi … gin. 1 2 ,

Теоретико – кольцевые конструкции (способы построения колец на основе заданных) Пусть К – кольцо. 1) К[x] – кольцо многочленов от одной переменной; 2) K[x 1, x 2, …, xn] – кольцо многочленов от n переменных; 3) Q(K) – поле частных; 4) Mn n(K) – кольцо квадратных матриц; 5) Факторкольцо: I K, I – идеал, K/I – кольцо.

Идеалы из заданных можно получать следующим образом: а) I 1 I 2 = {t / t I 1 и t I 2}; б) I 1 + I 2 = {t = t 1 + t 2 / t 1 I 1 и t 2 I 2}; в) I 1 I 2 = {t = t 1 t 2 + …/ tx 1 I 1, tx 2 I 2}; Примеры: К = , 1. I 1 = (3); I 2 = (5), I 1 I 2 = (15) I 1 + I 2 = {3 m+5 n} = Z; (3; 5) = 1 u, v Z, такие, что 3 u+5 v=1; I 1 I 2 = (15). 2. I 1 = (12); I 2 = (18), I 1 I 2 = (36); I 1 + I 2 = (6); I 1 I 2 = (216).

Теоретико – кольцевые конструкции (способы построения колец на основе заданных 1) К[x] – кольцо многочленов от одной переменной; 2) K[x 1, x 2, …, xn] – кольцо многочленов от n переменных; 3) Q(K) – поле частных; 4) Mn n(K) – кольцо квадратных матриц; 5) Факторкольцо: I K, I – идеал, K/I – кольцо. 6) Прямая сумма: К = К 1 К 2 …, К = {t / t=t 1+t 2+… , ti Ki}.

Структуры (Решетки) Определение. Частично упорядоченное множество называется структурой (решеткой), если любое его двухэлементное подмножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границу. Определение. Отношение называется отношением порядка на множестве М, если оно транзитивно и антисимметрично. Определение. Порядок называется линейным, если для любых a, b M, a b или b a. Если a, b M, такие, что , то порядок называется частичным.

Т. Если М – решетка, то на ней можно задать две бинарные операции a + b = sup{a, b}; a b = inf{a, b}, обладающие свойствами: (1) a + a = a; (1 ) a a = a; (2) a + b = b + a; (2 ) a b = b a; (3) (a + b) + с = a + (b + с); (3 ) (a b) с = a (b с); (4) a (a + b) = a; (4 ) a + a b = a. И наоборот, если М – множество с двумя бинарными операциями, обладающими перечисленными свойствами (1) – (4), (1 ) – (4 ), то на М можно задать отношение порядка a b, полагая a b, если a + b = b (при этом окажется, что a b тогда и только тогда, когда a b = a). Возникающее частично упорядоченное множество будет решеткой, причем sup{a, b} = a + b; inf{a, b} = a b.

►Доказательство. I. Пусть М – решетка. Зададим операции a + b = sup{a, b}; a b = inf{a, b}. Покажем, что выполняются свойства (1) – (4), (1 ) – (4 ): (1) a + a = sup{a, a} = a; (2) a + b = sup{a, b} = sup{b, a} = b + a; (3) (a + b) + с = sup{(a + b), с} = sup{a, b}, с} = sup{a, b, с}; a + (b + с) = sup{a, (b + с)} = sup{a, sup{b, с}} = sup{a, b, с}; (4) a + b = sup{a, b} a a + b; a (a + b) = inf{a, (a + b)} = a. (1 ), (2 ), (3 ) – очевидно; (4 ) a b = inf{a, b} a b a, a b b, a + a b = sup{a, a b} = a.

II. Пусть М – множество, на котором заданы операции с перечисленными свойствами. Покажем, что на М можно ввести отношение порядка a b, если a + b = b (a b = a), и по этому отношению М будет решеткой. Покажем, что a b, если a + b = b – отношение порядка: 1) транзитивность a b, если a + b = b; b с, если b + с = с; с = b + с = (a + b) + с = a + (b + с) = a + с a с; 2) антисимметричность a b, если a + b = b; b a, если b + a = (2) a + b = a; a = b.

Покажем, что М – решетка и a + b = sup{a, b}; a b = inf{a, b}. a + (a + b) = (a + a) + b = a + b a a + b; b + (a + b) = (b + a) + b = (a + b) + b = a + (b + b) = (a+b) b a + b. Покажем, что a + b – точная верхняя граница. Пусть y – произвольная верхняя граница. a y, b y; a + y = y, b + y = y; (a + b) + y = a + (b + y) = a + y = y (a + b) y a + b – точная верхняя граница. Аналогично доказывается, что a b – точная нижняя граница.

Примеры. 1. – линейно упорядоченное множество с транзитивным, антисимметричным отношением « » : a, b N, a b или b a: если a b, то inf{a, b} = a; sup{a, b} = b. 2. – частично упорядоченное множество с транзитивным, антисимметричным отношением : a, b N, Будет ли – решеткой? Для любых натуральных a и b мы можем найти их наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Положим, что inf{a, b} = НОД(a, b); sup{a, b} = НОК(a, b).

3. Подмножества данного множества, упорядоченные по включению, где inf{A, B} = A B; sup{A, B} = A B. 4. Подпространства векторного пространства, упорядоченные по включению, где inf{A, B} = A B; sup{A, B} = {x / x = a+b, a A, b B}. 5. Действительные функции, определенные на отрезке [0; 1] и упорядоченные условием: f g, если f(t) g(t) для всех t [0; 1], где inf{f, g} = v, причём v(t) = min{f(t), g(t)}; sup{f, g} = u, причём u(t) = max{f(t), g(t)}. 6. Множество всех подгруппы. 7. Множество всех нормальных делителей группы. 8. Множество всех подколец кольца. 9. Множество всех идеалов кольца.