Поле действительных чисел Выполнила: Рыбникова Екатерина Группа БУ-14
Аксиомы сложения Во множестве действительных чисел определена операция сложения, удовлетворяющая следующим аксиомам. С. 0. На задана алгебраическая операция, называемая сложением. Результат выполнения операции сложения обозначается и называется суммой чисел и 2
С. 1. Операция сложения обладает следующими свойствами: 1) – операция сложения ассоциативна; 2) – операция сложения коммутативна; 3) Существует единственное число, называемое нулем, такое, что 4) Существует единственное число, называемое противоположным числу , такое, что 3
Аксиома умножения На множестве действительных чисел определена операция умножения, удовлетворяющая следующим аксиомам. У. 0. На множестве задана алгебраическая операция, называемая умножением. Результат выполнения операции умножения называется произведением и обозначается или. 4
Аксиома умножения У. 1. На множестве операция умножения обладает следующими свойствами: 1. – операция умножения ассоциативна; 2. – операция умножения коммутативна; 3. Существует единственное число , такое, что , называемое единицей и обозначаемое 1; 4. существует единственное число , такое, что и называемое числом, обратным числу. 5
Дистрибутивные законы Операции сложения (аксиомы С) и умножения (аксиомы У) связаны между собой дистрибутивными законами, которые имеют следующий вид: 1. 2. Таким образом, множество действительных чисел является полем. 6
Аксиомы порядка Сформулируем аксиомы порядка множества действительных чисел, рассматривая замкнутую числовую прямую П. 0. В задано отношение , то есть установлено, выполняется или нет. П. 1. – отношение рефлексивно. П. 2. – отношение антисимметрично. 7
Аксиомы порядка П. 3. транзитивно. П. 4. П. 5. – отношение 8
Теорема Архимеда Для каждого действительного числа существует натуральное число Поле действительных чисел является упорядоченным полем. 9
Свойства неравенств и правила действий с ними: 1. а) из следует б) из следует 2. а) из следует б) из следует 3. а) если и то б) если и то 4. Элемент является положительным (отрицательным) в том и только в том случае, если элемент отрицателен (положителен). Получаем: и 10
Свойства неравенств и правила действий с ними: 5. Произведение положительных чисел положительно, как и произведение отрицательных чисел. Если положительно, а отрицательно, то отрицательно. 6. Из и следует 7. Из и следует 8. 9. Из и следует 11
Абсолютная величина действительного числа Важнейшим понятием теории поля действительных чисел является понятие абсолютной величины действительного числа. Пусть , тогда число Называется абсолютной величиной (модулем) действительного числа 12
Свойства абсолютной величины 1. 2. 3. 4. , причем (неравенство треугольника). 13
Скачать презентацию Поле действительных чисел Выполнила Рыбникова Екатерина Группа БУ-14
Pole_deystvitelnykh_chisel.pptx