Покажем что закон Фарадея является результатом действия силы

Покажем, что закон Фарадея является результатом действия силы Лоренца на электроны в движущихся проводниках. Рассмотрим контур с подвижной перемычкой. Поместим его в однородное магнитное поле В, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за лист. Туда же направлен и вектор нормали n.

Начнем передвигать перемычку со скоростью v. Вместе с перемычкой будут перемещаться и находящиеся в ней электроны. На каждый электрон действует сила Лоренца, направленная вдоль перемычки – заряд электрона (е < 0). Действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью где е (30) Однако, это поле имеет магнитное, электростатическое происхождение. а не

цию ем контуру. Направление обхода контура показано на рисунке. Эта циркуляция должна равняться ЭДС Поскольку поле отлично от нуля лишь на перемычке (участок контура 1 - 2), то

Воспользуемся свойством смешанного произведения Умножим и разделим правую часть этого равенства на dt Из рисунка следует, что где d. S – приращение площади контура за время перемещения контура dt.

Поэтому можем записать Таким образом, получили закон электромагнитной индукции Фарадея. Как видим, роль сторонних сил, вызывающих ЭДС электромагнитной индукции, играет магнитная сила – сила Лоренца.

15. Вращение рамки с током Явление электромагнитной индукции широко используется технике, в частности, в генераторах для преобразования механической энергии в электрическую. Рассмотрим принцип действия генератора на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном поле В.

Пусть рамка вращается (за счет, например, энергии пара, воды и т. д. ) с угловой скоростью поток, пронизывающий рамку равен Угол . Магнитный n и = t , между нормалью к поверхности рамки вектором магнитной индукции поэтому В равен

При вращении рамки в ней возникает ЭДС электромагнитной индукции Эта переменная ЭДС снимается с вращающегося витка с помощью щеток (см. рисунок). В России принята частота = /(2 ) = 50 Гц.

Электродвигатели В электродвигателях явление электромагнитной индукции используется для обратного преобразования электрической энергии в механическую. Если по рамке, помещенной в магнитное поле с индукцией B, пропускать переменный электрический ток I, то на нее со стороны магнитного поля будет действовать вращательный механический момент где - магнитный момент рамки, S – площадь рамки. В результате рамка будет вращаться с частотой, равной частоте переменного тока .

16. Явление самоиндукции Ток I, текущий по замкнутому контуру, создает вокруг себя магнитное поле с индукцией B. С этим магнитным полем связан магнитный пронизывающий контур. При изменении тока поток I Ф, меняется и магнитный поток Ф. Вследствие этого в контуре возникает ЭДС. Данное явление называют самоиндукцией. Поскольку, согласно закону Био-Савара индукция B пропорциональна силе тока I, а поток Ф пропорционален индукции B, то магнитный поток пропорционален току Ф = L*I (31) где L – индуктивность контура.

Индуктивность L зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Если контур жесткий и окружающая среда не содержит ферромагнетиков, то индуктивность является величиной постоянной, не зависящей от силы тока. Единицей измерения индуктивности является генри 1 Гн = 1 Вб/А 1 Гн – это индуктивность такого контура, у которого при силе тока в 1 А возникает сцепленный с ним поток Ф, равный 1 Вб.

Вычислим в качестве примера индуктивность и ЭДС самоиндукции соленоида, находящегося в вакууме. Согласно (25) магнитный поток через соленоид, состоящий из N витков площадью S каждый, равен Фс = ВSN где В - магнитная индукция внутри соленоида, равная (24) n = N/a Подставляя – плотность витков, В, получаем а – длина соленоида.

Поэтому индуктивность соленоида равна (32) где V = a. S – объем соленоида. Отсюда следует, что размерность магнитной постоянной ЭДС самоиндукции 0 равна найдем из закона Фарадея (29) (33)

В частности, если при изменении силы тока контур не деформируется, то L = const и ЭДС самоиндукции равна (34) Знак минус говорит о том, что индуктивность замедляет изменение тока в контуре. Например, если ток по знаку положителен и с течением времени возрастает, то Поэтому в согласии с правилом Ленца ЭДС самоиндукции создает отрицательный по знаку индукционный ток, препятствующий нарастанию тока в цепи.

17. Экстратоки замыкания и размыкания Явление самоиндукции приводит к тому, что при замыкании или размыкании цепи ток изменяется не мгновенно, а постепенно. Рассмотрим сначала как меняется ток при размыкании цепи. Пусть имеется цепь, состоящая из источника тока , индуктивности L и сопротивления R. Если сопротивление источника пренебрежимо мало, то в цепи будет течь ток равный

В момент времени t=0 отключим источник тока, одновременно замкнув цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет ЭДС самоиндукции которая создаст индукционный ток Исключая , получаем дифференциальное уравнение для нахождения тока (35)

Разделяя переменные и интегрируя, находим Откуда Значение постоянной условия Таким образом (36) С 1 определим из начального (37)

Значит ток в цепи обращается в нуль не мгновенно, а убывает постепенно по экспоненциальному закону. Через время, равное (38) сила тока уменьшается в е раз. Время называют постоянной времени цепи. Формулу (37) можем записать в виде (39) Из (38 - 39) следует, что чем больше индуктивность L и меньше сопротивление времени R, тем больше постоянная и значит тем медленнее спадает ток в цепи.

Рассмотрим теперь случай замыкания цепи. После подключения ЭДС в цепи возникнет ток, который достигнет своего установившегося значения I 0 не мгновенно, а через некоторое время постепенно возрастая. Это связано с тем, что в цепи, наряду с будет действовать ЭДС самоиндукции , противодействующая росту тока. Поэтому закон Ома имеет вид Это уравнение можно переписать как (40)

Уравнение (40) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Оно отличается от (35) наличием в правой части величины . Решение неоднородного уравнения (40) равно сумме любого его частного решения и общего решения однородного уравнения (36). Частным решением уравнения (40) является Поэтому общее решение уравнения (40) можно записать в виде

Константу интегрирования найдем из начального условия Откуда Поэтому окончательно получаем (41) Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней ЭДС.

18. Явление взаимной индукции Пусть имеются два контура. Если в контуре 1 течет ток I 1, то он создает магнитный поток, пронизывающий контур 2 где L 21 - взаимная индуктивность контуров. При изменении тока I 1 в контуре ЭДС 2 возникает

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I 2 создается магнитный поток, пронизывающий контур 1 При изменении тока I 2 в контуре электромагнитной индукции 1 возникает ЭДС Контуры 1 и 2 называют связанными, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении тока в другом называется взаимной индукцией.

Расчеты показывают, что в отсутствие ферромагнетиков коэффициенты взаимной индуктивности контуров одинаковы L 21 = L 12 Значение этих коэффициентов зависит от формы, размеров, взаимного расположения контуров окружающей их среды. и

19. Магнитное поле в веществе До сих пор предполагалось, что проводники находятся в вакууме. Если же они находятся в какой-то среде (магнетике), то магнитное поле изменится. Это связано с тем, что всякое вещество под действием внешнего магнитного поля В 0, созданного токами текущими по проводникам, приобретает магнитный момент (намагничивается). В результате это вещество создает магнитное поле В´, которое накладывается на поле В 0. Результирующее магнитное поле равно В = В 0 + В´ (42)

Микроскопическое магнитное поле В сильно меняется на межатомных расстояниях. При макроскопическом рассмотрении оно не обнаруживается. Поэтому, как и в случае электрического поля, в качестве характеристики магнитного поля в веществе используют усредненное по физически бесконечно малому объему значение поля. Далее будем предполагать, что в формуле (41) присутствуют именно усредненные макроскопические поля.

Поле В´, как и поле В 0, не имеет источников, поэтому дивергенция результирующего поля В равна нулю Следовательно, теорема Гаусса справедлива не только для магнитного поля в вакууме, но и для суммарного магнитного поля в веществе

Для объяснения намагничивания тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи. Каждый из таких токов создает вокруг себя магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи и их магнитные моменты ориентированы беспорядочно. Поэтому созданное всеми молекулами магнитное поле и магнитный момент равны нулю. Под действием внешнего магнитного поля В 0 молекулы приобретают преимущественную ориентацию, в результате вещество намагничивается – возникает поле В´, суммарный магнитный момент всех молекул становится отличным от нуля.

Для описания намагничивания веществ используют магнитный момент единицы объема - эту величину называют намагниченностью J. Намагниченность вещества в некоторой его точке дается выражением (43) где V - физически бесконечно малый объем в окрестности рассматриваемой точки, pm – вектор магнитного момента отдельной молекулы. Суммирование ведется по всем молекулам, находящимся в объеме V.