ПОКАЗАТЕЛИ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬ ЛЯПУНОВА КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ИНВАРИАНТНАЯ

ПОКАЗАТЕЛИ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ: ПОКАЗАТЕЛЬ ЛЯПУНОВА, КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ, ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА.

Общие понятия • Детермини рованный (динами ческий) ха ос — сложное непредсказуемое поведение детерминированной нелинейной системы. o Оказалось, что простые системы, состоящие из малого числа компонентов, с детерминированными правилами, не включающими элементов случайности, могут проявлять случайное поведение, достаточно сложное и непредсказуемое, причём случайность носит принципиальный, неустранимый характер. o Такого рода случайность, непредсказуемость развития системы понимается как хаос. • Некоторые нелинейные системы, в которых проявляется детерминированный хаос: o o o Маятник с возбуждением; Жидкости вблизи порога возникновения турбулентности; Лазеры; Приборы нелинейной оптики; Ускорители частиц; Стимулированные клетки сердца.

Общие понятия • Нелинейность — необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения. • Первопричина хаотического движения определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства

Характеристики хаотического движения (Количественные) • Показатель Ляпунова • Инвариантная мера • Корреляционная функция

Показатель Ляпунова Определение Под действием отображения (1. 1) соседние точки могут разбегаться, что ведет к хаотическому движению. (1. 1) Показатель Ляпунова характеризует степень экспоненциального разбегания: Рис1. Определение показателя Ляпунова. Согласно рис. 1, получаем выражение: (1. 2) В пределе: (1. 3) Формула для (1. 4)

Показатель Ляпунова Определение – коэффициент растяжения; Указывает, во сколько раз в среднем увеличится за одну итерацию расстояние между очень близкими точками

Показатель Ляпунова Потеря информации Кроме того, показатель Ляпунова определяет среднюю потерю информации за одну итерацию. Чтобы показать это, воспользуемся в (1. 4) формулой для производной сложной функции (цепное правило). (1. 5) и запишем показатель Ляпунова в виде (1. 6)

Показатель Ляпунова Потеря информации за одну итерацию линейного отображения Разобьем интервал [0, 1] на n равных подынтервалов и предположим, что точка x 0 может оказаться в каждом из них с вероятностью 1/n. Узнав, какой из подынтервалов содержит х0, мы имеем информацию (1. 7) Из рисунка видно, что линейное отображение изменяет длину интервала в раз. Соответствующее уменьшение определенности приводит к следующей потере информации в результате действия отображения: Рис 2. Увеличение интервала 1/n под действием линейного отображения. (1. 8)

Показатель Ляпунова Потеря информации Обобщение этого выражения в ситуации, когда зависит от x, после усреднения по итерациям приводит к такой формуле для средней потери информации: (1. 9) что в силу (1. 4) пропорционально показателю Ляпунова: (1. 4) (1. 10) Это соотношение между показателем Ляпунова и потерей информации является первым шагом на пути к тому, чтобы охарактеризовать хаос в инвариантной (относительно координат) форме.

Показатель Ляпунова для треугольного отображения (1. 11) Рис3. Треугольное отображение Δ(х). Функция Δ(х), служит удобной моделью, поскольку при r > 1/2 она порождает хаотическую последовательность х0, Δ(х0), Δ[Δ(х0)]. . . , а поскольку она еще и проста по форме, все величины, характеризующие хаотическое состояние, можно вычислить точно.

Показатель Ляпунова для треугольного отображения Чтобы подробнее разобраться с этим отображением, рассмотрим вопрос об устойчивости его неподвижных точек при различных значениях r. Точка х* - неподвижная точка отображения f(x), если: х* = f (х*) Неподвижная точка локально устойчива, если все точки х0 в окрестности точки х* притягиваются к ней, т. е. если последовательность итераций х0: сходится к х*. Поскольку расстояние следующим образом: до точки х* изменяется То аналитическим критерием локальной устойчивости является условие:

Показатель Ляпунова для треугольного отображения Рис 4. При r<1/2 точка x = 0 является единственной устойчивой неподвижной точкой и к ней притягиваются все точки из [0, 1]. При r>1/2 существуют две неустойчивые неподвижные точки

Показатель Ляпунова для треугольного отображения Рассмотрим случай r = 1. Этот случай является характерным для r > 1/2. Рис 5. под действием начальных итераций близкие точки все более и более разбегаются Из (1. 4): n-я итерация: функция является кусочнолинейной и имеет всюду наклон (кроме пиковых точек) (1. 12)

Показатель Ляпунова для треугольного отображения Рис 4. В общем случае для треугольного отображения показатель Ляпунова, очевидно, равен Отсюда следует, что при r > 1/2, т. е. в этом случае в результате итерации мы теряем информацию о положении точки в [0, 1]. При r < 1/2 выполняется неравенство , и тогда мы приобретаем информацию, т. к. все точки притягиваются к x* = 0. Следует отметить, что определение показателя Ляпунова можно обобщить и на отображения более высокой размерности.

Показатель Ляпунова для треугольного отображения При r=1/2 показатель Ляпунова меняет знак, поэтому можно сказать, что он играет роль параметра порядка, который характеризует наступление хаоса (Рис. 7). Рис 6. Показатель Ляпунова для треугольного отображения как функция r в окрестности rc

Инвариантная мера • Инвариантная мера (x) задает плотность итераций отображений: (2. 1) на единичном интервале и определяется следующим образом: (2. 2) • Если f(x) непрерывная в [0, 1] функция от x, имеющая единственный максимум на (0, 1), то как правило, при увеличении n поведение xn становится непредсказуемым, хаотическим: последовательные итерации (2. 1) распределяются в [0, 1] случайно с некоторой плотностью вероятности (x), не зависящей ни от n, ни от начального положения x 0.

Инвариантная мера • Данное формальное выражение позволяет записать временное среднее функции g(x) как среднее значение относительно инвариантной меры (2. 3)

Инвариантная мера 1. Как вычислить (x)? Если мы рассмотрим т. x 0, то за одну итерацию она переходит в f(x 0). Это значит, что распределение в виде дельтафункции (x-x 0) переходит за единицу времени в [x-f(x 0)], а данное распределение n(x) через одну итерацию принимает вид: (2. 6) Если для n(x) воспользоваться выражением (2. 2), то получим, что плотность распределения инвариантна относительно (2. 6), т. е. (2. 7) Действительно (x) можно вычислить с помощью (2. 7)

Инвариантная мера 2. Существует ли единственная плотность (x), для которой выполняется (2. 3) • Рассмотрим треугольное отображение: • В этом случае (2. 7) принимает вид • Это уравнение имеет очевидное нормированное решение (x)=1. • Кроме того, можем показать, что решение единственно.

Инвариантная мера • Если взять в качестве начального произвольное нормированное распределение 0(x) и применить к нему n раз (2. 7), то получим выражение (2. 7) (2. 8) • (2. 8) сходится к (2. 9): (2. 9)

Корреляционная функция С(m) отображения: Определяется следующим образом: (3. 1) Где: (3. 2)

Корреляционная функция • Корреляционная функция представляет собой еще одну характеристику стохастичности итерационной последовательности • Корреляционная функция показывает, насколько отклонения от среднего значения вычисленные через m шагов связаны в среднем друг с другом. • Если для отображения f(x) известна инвариантная мера (x) , то: • Здесь мы воспользовались свойством коммутативности итераций, т. е. :

Корреляционная функция • Таким образом, в случае треугольного отображения имеем

Корреляционная функция • результат следует из того, что функция симметрична относительно у = 0 и поэтому первый интеграл обращается в 0 при m > 0, а второй не зависит от m, как показано на рисунке Рис 7.

Выводы Для одномерного отображения в общем случае последовательность может быть охарактеризована с помощью: • Показателя Ляпунова, который показывает, как разбегаются близкие точки под действием f. • Инвариантной плотности вероятности, которая служит мерой того, как точки итерационной последовательности распределяются на интервале. • Корреляционной функции С(m), которая измеряет зависимость между итерациями через m шагов.

Выводы Для треугольного отображения: - показатель Ляпунова равен он меняет знак при r=1/2. Поэтому он может служить параметром, отмечающим появление хаоса. - при r=1 хаотическое поведение характеризуется постоянной стационарной плотностью (x)=1 и дельта-коррелированными итерациями