Показатели вариации Средняя величина являясь обобщающим показателем

Показатели вариации

Средняя величина, являясь обобщающим показателем для всех единиц совокупности, не дает представления об индивидуальных значениях варьирующего признака и о различиях между ними. В то же время именно эти различия представляют большой интерес для исследователя, так как они позволяют полнее раскрыть строение изучаемой совокупности, получить дополнительный материал для экономико-статистического анализа.

Показатели вариации Абсолютные размах вариации среднее линейное отклонение дисперсия среднее квадратическое отклонение Относительные коэффициенты осцилляции относительное линейное отклонение коэффициент вариации

Возраст, лет xi 20 22 23 20 25 В среднем 20+22+23+20+25= 22 года Возраст, лет xi 60 15 33 … 48 В среднем 60+15+33+…+48= 24 года

Возраст, лет xi 20 22 23 R = 25 – 20 = 5 лет 20 25 В среднем 22 года Возраст, лет xi 60 15 33 R = 60 – 15 = 45 лет … 48 В среднем 24 года

Размах вариации (R) R = X max – X min X max, X min – наибольшее и наименьшее значения варьирующего признака

Возраст, лет xi Отклонения 20 20 – 22 = – 2 22 22 – 22 = 0 23 23 – 22 = 1 20 20 – 22 = – 2 25 25 – 22 = 3 В среднем 22 года - 2 + 0 + 1 + (- 2) + 3 =0

Возраст, лет xi Отклонения _ xi – x Отклонения по модулю _ xi – x 20 20 – 22 = – 2 22 22 – 22 = 0 ÷ 0 23 23 – 22 = 1 1 20 20 – 22 = – 2 25 25 – 22 = 3 3 В среднем 22 года - 2 + 0 + 1 + (- 2) + 3 =0 (2 + 0 + 1 + 2 + 3) : 5 = 1, 6 года

Среднее линейное отклонение (Л) простая взвешенная

Возраст, лет xi Отклонения 20 20 – 22 = – 2 22 22 – 22 = 0 23 23 – 22 = 1 20 20 – 22 = – 2 25 25 – 22 = 3 В среднем 22 года - 2 + 0 + 1 + (- 2) + 3 = 0

Возраст, лет xi Отклонения _ xi – x Квадраты отклонений _ (xi – x) 2 20 20 – 22 = – 2 (– 2) 2 = 4 22 22 – 22 = 0 (0) 2 = 0 23 23 – 22 = 1 (1) 2 = 1 20 20 – 22 = – 2 (– 2) 2 = 4 25 25 – 22 = 3 (3) 2 = 9 В среднем 22 года -2+0+1+ (- 2) + 3 = 0 (4 + 0 + 1 + 4 + 9) : 5 = 3, 6 ____ 3, 6 - дисперсия 3, 6 = 1, 9 года Средний возраст 22 года 1, 9 года

Дисперсия σ2 простая взвешенная

Среднее квадратическое отклонение

Группы предприятий по себестоимости продукции, руб. Число предприятий, единиц xi fi 1, 6 - 2, 0 - 2, 4 - 2, 8 - 3, 2 - 3, 6 - 4, 0 2 3 5 7 10 3 Итого Накопленная частота 2 5 10 17 27 30 30

_ 1, 8 * 2 + 2, 2 * 3 + 2, 6 * 5 + 3, 0 * 7 + 3, 4 * 10 + 3, 8 * 3 Х = ------------------------------------- = 2, 98 руб 2 + 3 + 5 + 7 + 10 + 3 (10 – 7) Мо = 3, 2 + 0, 4 * --------------- = 3, 32 руб (10 – 7) + (10 – 3) 30 : 2 – 10 Ме = 2, 8 + 0, 4 * ---------- = 3, 09 руб 7 (1, 8– 2, 98)2 *2+(2, 2– 2, 98)2 *3+(2, 6– 2, 98)2 *5+(3, 0– 2, 98)2 *7+(3, 4– 2, 98)2 *10+(3, 8– 2, 98)2 *3 2 =-------------------------------------------------= 0, 1 2 + 3 + 5 + 7 + 10 + 3

Дисперсия ( 2) и среднее квадратическое отклонение ( ) являются общепринятыми мерами вариации признака. Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность. В отличие от размаха вариации, среднего линейного отклонения и среднего квадратического отклонения дисперсия является величиной неименованной.

Средняя величина отражает тенденцию развития, то есть действие главных причин (факторов), среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков, например, вариация возраста рабочих и их квалификации, вариация стажа и заработной платы и т. д. В этом случае показатели линейного и квадратического отклонений не годятся, так как нельзя сравнивать, например, колеблемость стажа в годах и колеблемость заработной платы в рублях. Для осуществления такого рода сравнения статистика использует относительные показатели вариации.

Относительные показатели вариации

коэффициент осцилляции относительное линейное отклонение коэффициент вариации

коэффициент осцилляции относительное линейное отклонение коэффициент вариации Если V больше 0, 4 (40%), то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Пример. Сравним вариацию двух признаков. -x Заработная плата рабочих- сдельщиков, руб. в сутки 1500 150 % выполнения суточной нормы выработки 110 18

-x -V= /x * 100% Заработная плата рабочих- сдельщиков, руб. в сутки 1500 150 10 % % выполнения суточной нормы выработки 110 18 16, 4 % Вариация выполнения норм выработки выше, чем вариация заработной платы, хотя можно ожидать примерного их равенства. Возможно, это объясняется стремлением администрации уравнять заработки рабочих.

1 способ – среднее из квадратов минус квадрат среднего. __ _2 x 2 * f x * f 2 = x 2 - x = ------- - ( -------- ) f f 2 .

Группы предприятий по себестоимости продукции, руб. xi 1, 6 - 2, 0 - 2, 4 - 2, 8 - 3, 2 - 3, 6 - 4, 0 Итого Число предприятий, единиц fi Накопленная частота 2 3 5 7 10 3 2 5 10 17 27 30 30 (1, 8– 2, 98)2 *2+(2, 2– 2, 98)2 *3+(2, 6– 2, 98)2 *5+(3, 0– 2, 98)2 *7+(3, 4– 2, 98)2 *10+(3, 8– 2, 98)2 *3 2 =------------------------------------------------- = 0, 3 2 + 3 + 5 + 7 + 10 + 3

Группы предприятий по себестоимости продукции, руб. xi 1, 6 - 2, 0 - 2, 4 - 2, 8 - 3, 2 - 3, 6 - 4, 0 Итого Число предприятий, единиц fi Накопленная частота 2 3 5 7 10 3 2 5 10 17 27 30 30 (1, 8)2 *2+(2, 2)2 *3+(2, 6)2 *5+(3, 0)2 *7+(3, 4)2 *10+(3, 8)2 *3 2 =-------------------------------------- – (2, 98) 2 = 0, 3 2 + 3 + 5 + 7 + 10 + 3

Общая дисперсия Внутригрупповая дисперсия Средняя из внутригрупповых дисперсий Межгрупповая дисперсия правило сложения дисперсий

Стаж, лет Число работников, человек Заработная плата, тыс. руб Зарплата в среднем на одного работника, тыс. руб. до 3 3 4; 6; 5 (4+6+5) : 3 = 5 3– 5 2 10; 12 (10+12) : 2 = 11 5 – 10 3 11; 9; 16 (11+9+16) : 3 = 12 более 10 2 12; 18 (12+18) : 2 = 15 ИТОГО 10 (4+6+5+10+12+11+9+16+ 12+18) : 10 = 10, 3

Стаж, лет Число работников, человек Заработная плата, тыс. руб Зарплата в среднем на одного работника, тыс. руб. до 3 3 4; 6; 5 (4+6+5) : 3 = 5 3– 5 2 10; 12 (10+12) : 2 = 11 5 – 10 3 11; 9; 16 (11+9+16) : 3 = 12 более 10 2 12; 18 (12+18) : 2 = 15 ИТОГО 10 (4+6+5+10+12+11+9+16+ 12+18) : 10 = 10, 3 Общая дисперсия = (4 -10, 3)2 + (6 -10, 3)2 + (5 -10, 3)2 + (10 -10, 3)2 + (12 -10, 3)2 + (11 -10, 3)2 + (9 -10, 3)2 + (16 -10, 3)2 + (12 -10, 3)2 + (18 -10, 3)2 : 10 = 18, 6

Стаж, лет Число работников, человек Заработная плата, тыс. руб Зарплата в среднем на одного работника, тыс. руб. до 3 3 4; 6; 5 (4+6+5) : 3 = 5 3– 5 2 10; 12 (10+12) : 2 = 11 5 – 10 3 11; 9; 16 (11+9+16) : 3 = 12 более 10 2 12; 18 (12+18) : 2 = 15 ИТОГО (4+6+5+10+12+11+9+16+ 12+18) : 10 = 10, 3 10 Внутригрупповые дисперсии Внутригрупповая дисперсия 1 группы = (4 – 5)2 + (6 – 5)2 + (5 – 5)2 : 3 = 0, 67 Внутригрупповая дисперсия 2 группы = (10 – 11)2 + (12 – 11)2 : 2 = 1, 0

Стаж, лет Число работников, человек Заработная плата, тыс. руб Зарплата в среднем на одного работника, тыс. руб. до 3 3 8; 7; 10 (8+7+10) : 3 = 5 3– 5 2 10; 12 (10+12) : 2 = 11 5 – 10 3 11; 9; 16 (11+9+16) : 3 = 12 более 10 2 12; 18 (12+18) : 2 = 15 ИТОГО 10 (8+7+10+10+12+11+9+16 +12+18) : 10 = 10, 3 Внутригрупповая дисперсия 3 группы = (11 – 12)2 + (9 – 12)2 + (16 – 12)2 : 3 = 8, 67 Внутригрупповая дисперсия 4 группы = (12 – 15)2 + (18 – 15)2 : 2 = 9, 0 Средняя из внутригрупповых = ( 0, 67*3 + 1, 0*2 + 8, 67*3 + 9, 0*2) : 10 = 4, 8

Стаж, лет Число работников, человек Заработная плата, тыс. руб Зарплата в среднем на одного работника, тыс. руб. до 3 3 4; 6; 5 (4+6+5) : 3 = 5 3– 5 2 10; 12 (10+12) : 2 = 11 5 – 10 3 11; 9; 16 (11+9+16) : 3 = 12 более 10 2 12; 18 (12+18) : 2 = 15 ИТОГО 10 (8+7+10+10+12+11+9+16 +12+18) : 10 = 10, 3 Межгрупповая дисперсия = (5 -10, 3)2 *3+ (11 -10, 3)2 *2+(12 -10, 3)2 *3 + (15 -10, 3)2 *2 : 10 = 13, 8

правило сложения дисперсий

Эмпирический коэффициент детерминации

Эмпирический корреляционное отношение где = до 0, 3 -- слабая связь; = от 0, 3 до 0, 7 -- средняя степень связи; = свыше 0, 7 -- высокая степень связи.

Эмпирический корреляционное отношение