Подвійні інтеграли Основні поняття і означення Нехай

Подвійні інтеграли

Основні поняття і означення Нехай у замкненій області D площини Oxy задана неперервна функція z=f(x, y). Розіб'ємо область D на n елементарних «подрібнень» Di (i=1, 2, . . n), площі яких позначимо , а діаметри (найбільшу відстань між точками області)- через di.

Означення 1. В кожному подрібнені Di виберемо довільну точку Мі і помножимо значення f(xi, yi) функції в цій точці на і складемо сумму усіх таких добутків

Означення 2. • Якщо існує границя інтегральної суми (1. 1) при , і не залежить від способу подрібнення області D на частини, а також від вибору точок в них, то така границя називається подвійним інтегралом від функції в области D і позначається

• Отже подвійний інтеграл визначається рівнянням • • , (1. 2) • де – інтегрована в області D, • D – область інтегрування, • – змінні інтегрування, • – елемент площі.

Теорема 1. (Достатня умова інтегрування функції) • Якщо функція неперервна у замкненій області D, то вона інтегрована у цій області.

П. 2. Геометричний і фізичний зміст подвійного інтеграла • І. Об’єм циліндра. • • • Розглянемо тіло обмежене зверху поверхнею , знизу замкненою областю D площини XOY, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а направляюча – границя області D. Таке тіло називається циліндричним.

• Подрібнимо область D на n довільних подрібнень Di, площі яких. Розглянемо циліндричні стовпчики з основою Di обмежену зверху точками поверхні. У сукупності вони складають тіло V. Позначимо об’єм стовпчика з основою • Di через , отримаємо. Візьмемо у кожному подрібненні Di довільну точку Mi і замінимо кожен стовпчик прямим циліндром з тією ж основою Di і висотою.

• Об’єм цього циліндра наближено дорівнює об’єму циліндричного стовпчика, тобто. • Тоді (1. 3) • Це рівняння тим точніше, чим більше число n і чим менші розміри подрібнень • Di, отже , що згідно • (1. 2) набуває вигляду (1. 4) • Висновок 1. • Величина подвійного інтеграла від додатної функції дорівнює об’єму циліндричного тіла.

• 2. Маса плоскої пластини. • Потрібно знайти масу m плоскої пластини D, у якої поверхнева густина • - неперервна функція координат точки. Розіб’ємо пластину на n елементарних подрібнень Di, площі яких позначимо через. В кожному подрібнені візьмемо довільну точку і обчислимо в ній густину. • Якщо подрібнення Di достатньо малі, то густина у кожній точці мало відрізняється від значення.

• Вважаючи наближено густину у кожній точці області Di сталою, рівною можна знайти її масу : • . (1. 5) • Значення маси отримаємо як границю суми (1. 5) при умові , • або згідно (1. 2) • (1. 6) • Висновок 2. • Таки чином, подвійний інтеграл від функції чисельно дорівнює масі пластинки, якщо підінтегральну функцію вважати за густину цієї пластинки у точці. У цьому і полягає фізичний зміст подвійного інтеграла.

Основні властивості подвійного інтеграла. • 1. • 2. • 3. Якщо , а перетином є три лінії, що їх розділяють, то

• 4. Якщо в області D має місце нерівність , то і. • Якщо в області D , то і • 5. , оскільки .

• 6. Якщо функція неперервна в замкненій області D, площа якої S, то • де m і M відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області D. • 7. Якщо функція неперервна в замкненій області D, площа якої S, то в цій області існує така точка , • що. • Величину • називають середнім значенням функції в області D.

П. 3. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах. • Обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення послідовно двох визначених інтегралів. • Нехай потрібно обчислити і неперервна в області D. Тоді, як було показано в п. 2. цей інтеграл виражає об’єм циліндричного тіла, обмеженого зверху поверхнею. Знайдемо цей об’єм, використовуючи метод паралельних перерізів. Із геометричних застосувань визначеного інтеграла знаємо, що • де – площа перерізу площиною перпендикулярною до осі OX, а – рівняння площин, які обмежують дане тіло.

Спочатку покладемо, що область D – криволінійна трапеція, обмежена прямими і кривими , де всі. Така область називається правильною у напрямку осі OY: будьяка пряма паралельна осі OY перетинає границю області не більше ніж у двох точках.

• Побудуємо перетин циліндричного тіла площиною, перпендикулярною осі OX: • . У перетині отримаємо криволінійну трапецію ABCD, обмежену лініями , де. Площу трапеції знаходимо за допомогою визначеного інтеграла.

• Тепер, згідно методу паралельних перерізів, шуканий об’єм циліндричного тіла може бути знайдений так: • З іншого боку в п. 2. було доведено, що об’єм циліндричного тіла визначається як подвійний інтеграл від функції по області D. Отже , Це рівняння записують у вигляді (1. 7) • Ця формула і є методом обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах. Праву частину в формулі (1. 7) називають двократним або повторним інтегралом від функції по області D. • До того ж називають внутрішнім інтегралом.

• Для обчислення двократного інтеграла спочатку беремо внутрішній інтеграл, вважаючи , потім беремо зовнішній інтеграл, тобто результат першого інтегрування інтегруємо по у межах від до. • Якщо облась D обмежена прямими • , кривими • , тобто область D – правильна у напрямку OX, то перетинаючи тіло площиною , аналогічно отримаємо (1. 8).

Зауваження • • 1. Формули (1. 7) і (1. 8) справедливі і у випадку, коли по області D. 2. Якщо область D правильна в обох напрямках, то подвійний інтеграл можна обчислити за будь-якою формулою з (1. 7) і (1. 8). 3. Якщо область D не є правильною у жодному напрямку, то її слід розбити на частини правильні у напрямку осі OX, або OY. 4. Корисно пам’ятати, що зовнішні межі у двократному інтегралі завжди постійні, а внутрішні, як правило, змінні.

Приклад 1. • Обчислити , де область D обмежена лініями. • Дана область правильна у напрямку осі OX. Скористаємося формулою (1. 8)

• Тепер обчислимо інтеграл за формулою (1. 7).

Що ми вивчили сьогодні: • 1. Величина подвійного інтеграла від додатної функції дорівнює об’єму циліндричного тіла. • 2. Подвійний інтеграл від функції чисельно дорівнює масі пластинки, якщо підінтегральну функцію вважати за густину цієї пластинки у точці. • 3. Метод обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах