Скачать презентацию Подпространства линейного пространства Подпространства и подмножества Определение Скачать презентацию Подпространства линейного пространства Подпространства и подмножества Определение

Подпространства линейного пространства.pptx

  • Количество слайдов: 16

Подпространства линейного пространства Подпространства линейного пространства

Подпространства и подмножества Определение. Подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством, если оно Подпространства и подмножества Определение. Подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством, если оно является линейным пространством относительно операций из V. Обозначение. Утверждение. (ноль принадлежит любому подпространству) Утверждение. Для любого линейного пространства V подмножества {0} и V являются подпространствами.

Примеры подпространств. Примеры подпространств.

Равносильное определение. Утверждение. Множество W является линейным подпространством V тогда и только тогда, когда Равносильное определение. Утверждение. Множество W является линейным подпространством V тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на число:

Подпространства матриц Пусть W 1 – симметрические матрицы W 2 – кососимметрические матрицы Подпространства матриц Пусть W 1 – симметрические матрицы W 2 – кососимметрические матрицы

Подпространства C[a, b] Пусть V=C[a, b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a, b] Подпространства C[a, b] Пусть V=C[a, b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a, b]

Пересечение и объединение подпространств Пусть V – ЛП, W 1, W 2 – подпространства Пересечение и объединение подпространств Пусть V – ЛП, W 1, W 2 – подпространства V Определение. Утверждение. Пересечение подпространств является подпространством. Замечание. Объединение подпространств не является подпространством.

Сумма подпространств Определение. Утверждение. Сумма двух подпространств является подпространством. Замечание. Разложение произвольного вектора из Сумма подпространств Определение. Утверждение. Сумма двух подпространств является подпространством. Замечание. Разложение произвольного вектора из W 1+W 2 по W 1 и W 2 возможно не единственным образом.

Пример суммы подпространств Пример. W 1=XOY W 2=YOZ W 1+W 2=R 3 Поскольку для Пример суммы подпространств Пример. W 1=XOY W 2=YOZ W 1+W 2=R 3 Поскольку для любого вектора возможно разложение:

Прямая сумма подпространств Определение. Пространство V называется прямой суммой подпространств W 1 и W Прямая сумма подпространств Определение. Пространство V называется прямой суммой подпространств W 1 и W 2, если V=W 1+W 2 и любой вектор x представим в виде x=w 1+w 2 единственным образом. Обозначение. Пример. Поскольку разложение единственнно

Теорема о размерности Теорема. Пусть V=W 1+W 2. Тогда Доказательство. Пусть e 1, e Теорема о размерности Теорема. Пусть V=W 1+W 2. Тогда Доказательство. Пусть e 1, e 2…. ek - базис W 1∩W 2. dim(W 1∩W 2 )=k e 1, e 2…. ek, a 1, a 2…. aℓ - базис W 1, dim. W 1=k+ℓ e 1, e 2…. ek, b 1, b 2…. bm - базис W 2, dim. W 2=k+m Для доказательства теоремы достаточно проверить, что e 1, e 2…. ek, a 1, a 2…. aℓ b 1, b 2…. bm - базис V

Доказательство 1. Проверим, что e 1, e 2…. ek, a 1, a 2…. aℓ Доказательство 1. Проверим, что e 1, e 2…. ek, a 1, a 2…. aℓ b 1, b 2…. bm ЛНЗ система векторов Левая часть последнего равенства принадлежит W 1, правая часть принадлежит W 2, следовательно и левая и правая части принадлежат W 1∩W 2, это значит, что правую часть можно выразить через базис пересечения.

Доказательство Доказательство

Доказательство Доказательство

Доказательство 2. Проверим, что любой вектор из ЛП V линейно выражается через систему e Доказательство 2. Проверим, что любой вектор из ЛП V линейно выражается через систему e 1, …ek, a 1, …aℓ, b 1…bm. □

Теоремы о прямой сумме Теорема 1. Пусть V=W 1+W 2. Тогда и только тогда, Теоремы о прямой сумме Теорема 1. Пусть V=W 1+W 2. Тогда и только тогда, когда ноль раскладывается единственным образом: . Теорема 2.