Подобные треугольники Подобные фигуры Фигуры принято называть

Подобные треугольники

Подобные фигуры Фигуры принято называть подобными, если они имеют одинаковую форму, но разные размеры.

Подобие в жизни (карты местности)

Подобие в жизни (фотографии)

Подобие в жизни (макеты)

Подобие в жизни (модели)

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. В А С D

Пропорциональные отрезки А А 1 4 С В 6 В 1 C 1 8 D 12 D 1 Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1, если отношения их длин равны.

Свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Найдите неизвестный член пропорции: a 48 7 12 12 x 2 15 2 19 4 y 25 4 b 12

Пропорциональные отрезки (нужное свойство) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Дано: А АВС, АК – биссектриса. Доказать: 12 ВК АВ КС АС Доказательство: Н В К С Т. к. АК – биссектриса, то 1 = 2, значит, АВК и АСК имеют по равному углу, поэтому АВ ∙ АК SАВК AB AC АС ∙ АК BK SАСК AB KС Проведём АН ВС. АC ВК S АВК и АСК имеют общую высоту АН, значит, АВК КC SАСК КС Следовательно, ВК АС АВ

Подобные треугольники Определение: треугольники называются подобными, если углы одного треугольника равны углам другого треугольника и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. В 1 В С 1 С А А 1= А 1 В 1 АВ А, В 1 = В 1 С 1 ВС В, С 1 = А 1 С 1 АС С k A 1 B 1 C 1 ~ ABC K – коэффициент подобия Сходственными сторонами в подобных треугольниках называются стороны, лежащие против равных углов.

Подобные треугольники Нужное свойство: В 1 В A 1 B 1 C 1 С ~ ABC, K – коэффициент подобия А А 1= АВ А 1 В 1 А, В 1 = ВС В 1 С 1 В, С 1 = АС А 1 С, 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1 , 1 – коэффициент подобия k

Теорема 1. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. К Дано: B Е М C МКЕ ~ АВС, K – коэффициент подобия. Доказать: РМКЕ : РАВС = k A Доказательство: Т. к. по условию МК АВ КЕ ВС МЕ АС МКЕ ~ K, АВС, k – коэффициент подобия, то Значит, МК = k ∙ АВ, КЕ = k ∙ ВС, МЕ = k ∙ АС. РМКЕ = МК + КЕ + МЕ = k ∙ АВ + k ∙ ВС + k ∙ АС = k ∙ (АВ + ВС + АС) = k ∙ РАВС. Значит, РМКЕ : РАВС = k.

Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициентa подобия. Дано: К B A М Доказать: SМКЕ : SАВС = k 2 Доказательство: Т. к. по условию M= SMKE SABC МКЕ ~ A, MK AB MK ∙ ME AB ∙ AC ME AC АВС, k – коэффициент подобия, то k, значит, МК = k∙АВ, МЕ = k∙АС. k∙АВ ∙ k∙АС АВ ∙ АС АВС, K – коэффициент подобия. C Е МКЕ ~ k 2

Реши задачу По данным на чертеже найти стороны АВ и В 1 С 1 подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1: В В 1 4 ? ? 2, 5 А 6 С А 1 3 С 1

Реши задачи 1. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см. Чему равен периметр первого треугольника ? 2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2. Чему равна площадь первого треугольника ? 3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2. Чему равна площадь первого треугольника ? 4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2. Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна сходственная сторона второго треугольника ? 24 см 81 см 2 8 см

Решение задачи Площади двух подобных треугольников равны 50 дм 2 и 32 дм 2, сумма их периметров равна 117 дм. Найдите периметр каждого треугольника. Дано: АВС, РЕК подобны, SАВС = 50 дм 2, SРЕК = 32 дм 2 , РАВС + РРЕК = 117 дм. Найти: РАВС, РРЕК Решение: Т. к. по условию треугольники АВС и РЕК подобны, то: SАВС 50 25 5 K 2. Значит, k = SРЕК 32 16 4 РАВС РРЕК 5 1, 25 Значит, РАВС = 1, 25 РРЕК K, РРЕК 4 Пусть РРЕК = х дм, тогда РАВС = 1, 25 х дм Т. к. по условию РАВС + РРЕК = 117 дм, то 1, 25 х + х = 117, х = 52. Значит, РРЕК = 52 дм, РАВС = 117 – 52 = 65 (дм). Ответ: 65 дм, 52 дм.