Подобно тому как все искусства тяготеют к

«Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике» . Д. Сантаян

Гипотеза. Можно ли классифицировать уравнения «по внешнему виду» так, чтобы выбор метода его решения не вызывал трудности.

Тема исследования. «Визуально логический подход при решении уравнений» .

Цель исследования. Научиться решать уравнения разной сложности, используя разные подходы и методы, в том числе используя визуально логический подход.

Задачи. Изучить и систематизировать теоретический материал из разных источников по данной теме. Рассмотреть виды уравнений и методы их решения. Классифицировать уравнения таким образом, чтобы не возникало трудностей при решении уравнений разной сложности и выборе метода их решения.

Объект исследования: Тригонометрические, показательные, иррациональные, логарифмические уравнения и уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Можно выделить главные области возникновения и функционирования понятия "уравнение" как: средства решения текстовых задач; особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения; формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Названным областям относятся три основных направления изучения линий уравнений: Прикладная Теоретико математическая Направленность на установление связей

Алгебраические уравнения: Рациональные Целые рациональные Линейные Квадратные Высших степеней Дробные рациональные Иррациональные

Неалгебраические уравнения: Тригонометрические Показательные Логарифмические Трансцендентные

Трансцендентное уравнение—это уравнение вида f(x)= g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической: sin х = 1 — х. 32 log 4 x+2=16 x 2. cosx = x logx = x − 5 2 x = logx + x 5 + 40

Теоремы о равносильности: переносить какой–либо член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком; обе части уравнения возвести в нечетную степень; обе части уравнения f(x)=g(x) умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля выражение h(x), которое имеет смысл в области определения (ОДЗ) данного уравнения. Общие методы решения уравнений;

Теоремы о равносильности: после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области допустимых значений уравнения; после логарифмирования обеих частей уравнения по основанию a, где a и a, если обе части уравнения f(x)=g(x) положительны в области определения уравнения; показательное уравнение a f(x)=b g(x)равносильно уравнению f(x)=g(x).

Общие методы решения уравнения: Замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x) Метод замены переменной Метод разложения на множители Функционально-графический метод

Уравнения можно классифицировать как: Сводящиеся к квадратным. Однородные уравнения. Нестандартные уравнения.

Сводящиеся к квадратным: показательные уравнения: логарифмические уравнения: тригонометрические уравнения: иррациональные уравнения: обратные тригонометрические уравнения:

Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным Внешн ий вид (ax 4+bx 2+c=0 биквадратное уравнение) Метод метод введения новой переменной: 1 -замена f(x)=t 2 -решить at 2+bt+c=0 3 -решить f(x)= t 4 -учитывать одз Уравнения с Рациональное переменной в уравнение знаменателе где и -дробные выражения =0 1. Найти общий знаменатель дробей. 2. Решить полученное уравнение. 3. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Уравнение вида А(f(x))n +B(f(x))(n 1) (g(x)) +C(f(x)) (n 2) (g(x))2 +…+K(f(x))2 (g(x)) (n 1) +L (g(x)) n =0 называют однородным уравнением степени n относительно f(x) и g (x). Найдем те решения уравнения при котором g (x)=0. Затем обе части однородного уравнения разделить (g(x))n, то можно получить уравнение n ой степени относительно ; применяя замену =t можно получить уравнение A tn+Bt(n 1)+…+L=0.

Уравнения вида a 0 sinn x+a 1 sinn – 1 xcos x+a 2 sinn – 2 xcos 2 x + …+ an – 1 sin x cosn – 1 x + an cosn x = 0, где a 0, a 1, . . . , an - действительные числа, называются однородными относительно sin x и cos x. В этих уравнениях sin x и cos x нулю не равны, так как не существует такого значения угла x, при котором sin x и cos x одновременно принимали значение равное нулю. Поэтому такие уравнения решаются делением обеих частей уравнения на sinnx или на cosnx и приводятся к уравнениям отно сительно tgx или ctgx: a 0 tgn x+a 1 tgn – 1 x+a 2 tgn – 2 x + …+ an = 0.

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени: a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0. Однородное тригонометрическое уравнение второй степени: asin 2 x + bsinx cosx + c cos 2 x = 0 где а ≠ 0, b≠ 0, c ≠ 0.

Примеры: • 5 x=43 x • 6 sin 2 x – sin x cos x – cos 2 x = 3. • cos 3 x + sin 3 x = 0.

Примеры решения уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям.

3 cos x – 10 cos x + 3 = 0. Решение. Пусть cos x = y. Данное уравнение примет следующий вид: 3 y 2 – 10 y +3 = 0. Решив его, найдем y 1 = 1/3, y 2 = 3. cos x = 3 не имеет решения, так как | cos x | ≤ 1. Следовательно, cos x = 1/3; x = ± arccos (1/3) + 2 n, n Z. Ответ: ± arccos (1/3) + 2 n (n Z).

Решение. Область определения уравнения находим из условий: x+2 >0, x+2 1; x >– 2, x – 1. Умножим обе части уравнения на log 5 (x+2) 0, получим или, заменив log 5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению t 2 – t – 2 = 0, t 1 = – 1, t 2 =2. Возвращаемся к первоначальной переменной: log 5 (x+2) = – 1, x+2 = 1/5, x = – 9/5, log 5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23. Оба корня принадлежат области определения уравнения. Ответ: x = – 9/5, x = 23.

Вывод Уравнения вида где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа , A 0, В 0, приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1 (свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение Замена loga f(x)=t, где t R приводит его к квадратному At 2 + Ct + B = 0. Из уравнений loga f(x)= t 1 , logb f(x)= t 2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f(x) > 0, f(x) 1.

-. Решение. ОДЗ: . (Видимо, это уравнение приводимое к квадратным). x= -1 – не корень уравнения. Разделим на , получим Замена , тогда ; Ответ: 3; - , Ответ: 3; -.

Решение однородных и сводящихся к ним уравнений

cos 3 x + sin 3 x = 0. Решение. sin 3 x = - cos 3 x. Так как значения x, при которых cos 3 x=0, не являются корнями данного уравнения, то разделив обе части исходного уравнения на cos 3 x, получим уравнение, равносильное исходному: =- Отсюда 3 x = Ответ: - + n; x = - + n (n Z). или tg 3 x = - 1. + n, n Z.

6 sin 2 x – sin x cos x – cos 2 x = 3. Решение. 6 sin 2 x – sin x cos x – cos 2 x – 3 (sin 2 x + cos 2 x) = 0. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем 3 sin 2 x - sin x cos x – 4 cos 2 x = 0. Так как значения x = + n не являются корнями уравнения и cos x ≠ 0, то разделим обе части на cos 2 x: 3 tg 2 x – tg x – 4 = 0, tg x = - 1, x = - + n; tg x = 4/3, x = arctg (4/3) + k, n, k Z. Ответ: - + n, arctg (4/3) + k, (n, k Z).

, ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ОТНОСИТЕЛЬНО уравнения на Ответ: 1/2 . и разделим обе части ; ,

Функционально-графический метод

2 x=3 -x. Решение. 2 x=3 - x. Рассмотрим функции: . Функция y=2 x возрастает на R, а функция y=3 - x убывает на R. Значит, уравнение 2 x=3 -x не может иметь на Rболее одного корня 1. Построим графики функций y=2 x и y=3 - x. 2. Найдем точки пересечения графиков функций: x=1 Как видим, графики данных функций пересекаются в одной точке (1; 2). Значит, x=1. Ответ: x=1

Приближенные значения корней.

sin х = 1 — х. В одной и той же системе координат построим два графика: график функции y = sin х и график функции у = 1— х. Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень нашего уравнения: х ≈ 0, 5. При х = 0, 5 имеем: sin x ≈ 0, 4794, 1 — х = 0, 5; следовательно, sin х < 1 — х. Но тогда, как легко понять из рисунка, корень уравнения sin х = 1 —х будет больше, чем 0, 5. Проверим значение х = 0, 6. Имеем: sin х ≈ 0, 5446, 1— х = 0, 4; следовательно, sin х > 1 — х. Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень x 0 должен быть меньше, чем 0, 6. Теперь уже мы знаем, что x 0 находится в интервале [0, 5; 0, 6]. Поэтому с точностью до 0, 1: x 0 ≈0, 5 (с недостатком), x 0 ≈ 0, 6 (с избытком). Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные программы. Ответ: ≈ 0, 5.

Использование ограниченности функций f(x) и g(x) в уравнении f(x)=g(x) (Метод оценки, метод мажорант).

. Так как любом ОТВЕТ: 0 , при всех при ; , тогда. Поэтому , при x=0. При х=0 правая часть

Некоторые виды уравнений, для решения которых требуется искусственный прием.

. Пусть тогда получаем если перемножим первое равенство со вторым следующее выражение , . А теперь почленно сложим эти равенства. Получим , т. е. , отсюда , Ответ: 1;

Спасибо за внимание.