Подготовка к ОГЭ

Подготовка к ОГЭ ОГ 5 1 20 Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии Задачи № 9, 10, 11, 12, 13 Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час- ти 2 - 3 задания.

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в части 2 - 3 задания. А ГИ 3 1 20 Код по Название раздела содержания Число заданий КЭС 7. 1 Геометрические фигуры и их свойства. 1 Модуль Треугольник 7. 2 «Геометрия» содержит 8 1 заданий: в. Многоугольники 5 заданий, в час- 7. 3 части 1 - 1 7. 4 Окружность и круг 1 7. 5 ти 2 - 3 задания. величин Измерение геометрических 1 7. 6 Векторы на плоскости 0

Вашему вниманию представлены тридцать пять прототипов задач № 9, 10, 11, 12, 13 А ОГЭ – 2015. ГИ 3 1 20 Задача № 9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Задача № 10. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Модуль «Геометрия» 11. 1, 2, 3, 4, 85, 6, 7 Задача № содержит заданий: в части 1 - 5 заданий, в 4, 5, 6, 7 Задача № 12. 1, 2, 3, час- ти 2 - 3 задания. 2, 3, 4, 5, 6, 7 Задача № 13. 1,

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 (1) Повторение (2) Ответ: 70 4

Повторение В равнобедренном треугольнике углы при основании равны В треугольнике сумма углов равна 180° 5

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 (2) Повторение (3) ∠ВСА = 180° - 57° - 117°=6° Ответ: 6 6

Повторение Внешний угол треугольника – это угол, смежный с углом треугольника Сумма смежных углов равна 180° В треугольнике сумма углов равна 180° 7

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 (3) Повторение (3) Ответ: 111 8

Повторение В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Биссектриса – это луч, который делит угол пополам В треугольнике сумма углов равна 180° 9

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 (4) Один из углов параллелограмма на 46° больше другого. Найти больший из них. ∠А+∠D=180° Повторение (2) Пусть ∠А=х°, тогда∠D=(х+46)° х+х+46=180 2 х=134 х=67 ∠D =46+67°=113° Ответ: 113 10

Повторение Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180° 11

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 (5) Найти больший угол параллелограмма АВСD. Повторение (2) ∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72° ∠С+∠В=180° ∠В=180°-72°=108° Ответ: 108 12

Повторение Если угол разделен на части, то его градусная мера равна сумме градусных мер его частей. В параллелограмме сумма соседних углов равна 180° 13

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 (6) Углы ромба относятся как 3: 7. Найти больший угол. Повторение (2) ∠ 1+∠ 2=180° Пусть K – коэффициент пропорциональности, тогда ∠ 2=(3 k)°, ∠ 1=(7 k)° 3 k+7 k=180 10 k=180 k=18 ∠ 1=18°∙ 7=126° Ответ: 126 14

Повторение В ромбе противоположные стороны параллельны Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180° 15

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 (7) Разность противолежащих углов трапеции равна 68°. Найти больший угол. Повторение (2) ∠А+∠В=180° ∠В=∠С Если ∠А=х°, то ∠В = х+х+68=180 (х+68)° 2 х=180 -68 х = 56 ∠В=56°+68°=124° Ответ: 124 16

Повторение В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов, прилежащих боковой стороне трапеции равна 180°. 17

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 10 (1) В Найти АС. 5 Повторение (2) С А ⇒ По теореме Пифагора Ответ: 4 18

Повторение Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 19

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 10 (2) В Найти АВ. 15 С А Повторение (2) ⇒ По теореме Пифагора Ответ: 17 20

Повторение Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 21

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 10 (3) С Найти АВ. 26 Повторение (3) В H А BH = HA, значит АВ = 2 AH. HA = СH = 26 ⇒ АВ = 2 ∙ 26 = 52 Ответ: 52 22

Повторение Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90⁰ Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный 23

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 10 (4) С Найти CH. Повторение (2) В А H BH=HA, зн. АH=½ AB= По теореме Пифагора в ∆ACH Ответ: 117 24

Повторение Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 25

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 10 (5) С Найти AB. 120⁰ Повторение (3) В H А Проведем высоту CH, получим ∆ВCH. ∠ВCH=60⁰ ⇒ ∠CВH=30⁰ ⇒ По теореме Пифагора в ∆BCH Ответ: 75 26

Повторение Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 27

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 10 (6) В 1 С Дано: параллелограмм, BE – 2 биссектриса ∠B, P=10, А 3 Е D АЕ: ЕD=1: 3. Найти: AD ∠ 1=∠ 3 как накрест лежащие при секущей ВЕ ∠ 3=∠ 2 так как ∠ 1=∠ 2 по условию ⇒ АВ=АЕ Пусть АЕ=х, тогда АВ=х, ЕD=3 х Повторение (4) Р=2∙(х+4 х) ⇒ 2∙(х+4 х)=10 5 х=5 Х=1 AD=4∙ 1=4 Ответ: 4 28

Повторение Биссектриса – это луч, который делит угол пополам Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника При пересечении двух параллельных прямых накрест лежащие углы равны Если два угла в треугольнике равны, то треугольник - равнобедренный 29

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 10 (7) В С АВСD – трапеция, AH=51, ? HD=94 М К Найти среднюю линию трапеции А 51 94 D H E Повторение (3) Проведем СЕ⍊AD, получим ∆ABH=∆CED и прямоугольник BCEH ⇒ AH=ЕD=51, BC=HE=HD-ED=94 -51=43, ⇒ AD=AH+HE+ЕD= 51+94=145 ⇒ Ответ: 94 30

Повторение Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то треугольники равны Если отрезок точкой разделен на части, то его длина равна сумме длин его частей Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции 31

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 (1) С Найти площадь треугольника. 8 Повторение (1) 30⁰ В А 3 Ответ: 6 32

Повторение Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними 33

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 (2) С АВ=3 CH. Найти площадь треугольника 3 АВС Повторение (2) В H АВ=3 CH=3∙ 3=9 Ответ: 13, 5 34

Повторение Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины к противоположной стороне под прямым углом Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту 35

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 (3) С В Найти S∆ABC 5 D 8 А Повторение (2) Ответ: 36

Повторение Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице 37

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 (4) В Диагонали ромба равны 12 и А С 7. Найти площадь ромба. D Повторение (2) Ответ: 42 38

Повторение Ромб – это параллелограмм с равными сторонами Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей 39

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 (5) В С АС=10. 60⁰ О Найти площадь прямоугольника А D Повторение (5) АО=ВО=10: 2=5 В ∆АОВ, где ∠ВАО= ∠АВО=(180⁰-60⁰): 2=60⁰ ⇒ АВ=5 По теореме Пифагора в ∆АВD Ответ: 40

Повторение Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Если угол разбит на части, то его градусная мера равна сумме его частей В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон 41

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 (6) В С ABCD – трапеция. ВС в 2 раза меньше AD. Найти площадь трапеции 14 Повторение (2) А H D ВС=14: 2=7 BC=BH=7 Ответ: 73, 5 42

Повторение Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту 43

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 (7) В С ABCD – равнобедренная 135⁰ М К трапеция MK=8, боковая 8 сторона равна 5. А H D Найти площадь трапеции. Повторение (4) ∠АВH=135⁰-90⁰=45⁰ ⇒ ∠ВАH= ∠АВH=45⁰ По теореме Пифагора в ∆АВH, где AH=BH=х ⇒ Ответ: 44

Повторение Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту Средняя линия трапеции равна полусумме оснований Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 45⁰, то и другой острый угол равен 45⁰ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 45

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 12 (1) С Найти угол АВС (в градусах) Повторение (3) В А Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС Получим прямоугольный равнобедренный треугольник ⇒ ∠С=∠В=4 5⁰ по свойству острых углов прямоугольного треугольника Ответ: 45 46

Повторение (подсказка) Треугольник называется прямоугольным, если в нем имеется прямой угол В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰ 47

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 12 (2) С Найти угол АВС (в градусах) Повторение (4) А В D Проведем из произвольной точки луча ВС перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с ней Получим прямоугольный равнобедренный треугольник BCD ⇒ ∠С=∠В=4 по свойству острых углов 5⁰ прямоугольного треугольника ∠ABС+∠CВD=180⁰ как ⇒ смежные ∠ABС=180⁰ - ∠CВD=135⁰ Ответ: 135 48

Повторение (подсказка) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰ Смежными углами называются углы, у которых есть общая сторона, а две другие являются дополнительными лучами Сумма смежных углов равна 180⁰ 49

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 12 (3) А Найти синус угла ВАС 3 С 4 В Повторение (2) По теореме Пифагора в ∆АВС Ответ: 0, 8 50

Повторение (подсказка) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 51

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 12 (4) С Найти косинус угла ВАС В А Повторение (2) По теореме Пифагора в ∆АВС Ответ: 0, 2 52

Повторение (подсказка) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 53

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 12 (5) А Найти тангенс угла ВАС. 13 Повторение (2) С 12 В По теореме Пифагора в ∆АВС Ответ: 2, 4 54

Повторение (подсказка) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 55

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 12 (6) Найти тангенс угла АВС. С Повторение (3) В А Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС. Получим прямоугольный равнобедренный треугольник ⇒ ∠С=∠В=4 по свойству острых углов 5⁰ прямоугольного тр-ка Ответ: 1 56

Повторение (подсказка) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰ Тангенс угла в 45⁰ равен единице 57

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 12 (7) Найти косинус угла АВС С Повторение (2) В А Проведем перпендикуляр из такой точки луча ВА до пересечения с лучом ВС, чтобы в катетах треугольника АВС укладывалось целое число единиц измерения. В данном случае единицей измерения стала клетка. где АВ=3, АС=4, значит по теореме Пифагора ВС=5 (Пифагоров треугольник) Ответ: 0, 6 58

Повторение (подсказка) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 59

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 13 (1) Повторение Укажите номера верных утверждений да нет 1. Через любые три различные точки плоскости можно провести единственную прямую. да нет 2. Если угол равен 25⁰, то смежный с ним угол равен 155⁰ да нет 3. Через любую точку плоскости можно провести не менее одной прямой Ответ: 23 60

Повторение (подсказка) Сформулируйте аксиому о взаимном Через любые две точки проходит прямая , и расположениитолько одна притом прямой и точек. Каким. Сумма смежных углов равна 180° свойством обладают смежные углы? Сколько прямыхна плоскости можно провестина Через точку можно провести через точку плоскости? бесконечно много прямых. 61

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 13 (2) Повторение Укажите номера верных утверждений да нет 1. Если угол равен 56⁰, то вертикальный с ним угол равен 124⁰. да нет 2. Существует точка плоскости, через которую можно провести бесконечное количество различных прямых. да нет 3. Через любую точку плоскости можно провести не более двух прямых. Ответ: 2 62

Повторение (подсказка) Сформулируйте свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны Сколько прямых на плоскости можно провести Через точку можно провести через точку на плоскости? бесконечно много прямых. 63

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 13 (3) Повторение Укажите номера верных утверждений да нет 1. Любые три различные прямые проходят через одну общую точку. да нет 2. Существует точка плоскости, не лежащая на данной прямой, через которую нельзя провести на плоскости ни одной прямой, параллельной данной. да нет 3. Если угол равен 47⁰, то смежный с ним угол равен 133⁰. Ответ: 3 64

Повторение (подсказка) Как Три прямых на плоскости могут иметь одну могут взаимно располагаться три прямых на общую точку, могут пересекаться попарно, могут плоскости? и не иметь общих точек Через точку, не лежащую на данной прямой, Сформулируйте аксиому параллельных прямых. проходит только одна прямая, параллельная данной. Сформулируйте свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°. 65

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 13 (4) Повторение Укажите номера верных утверждений да нет 1. Через любые две различные точки плоскости можно провести не более одной прямой. да нет 2. Через любые две различные точки плоскости можно провести не менее одной прямой. да нет 3. Если угол равен 54⁰, то вертикальный с ним угол равен 36⁰. Ответ: 1 66

Повторение (подсказка) Сформулируйте аксиому о взаимном Через любые две точки проходит прямая, и расположении прямой и точек на плоскости. притом только одна. Сформулируйте свойство углы равны. углов Вертикальные вертикальных 67

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 13 (5) Повторение Укажите номера верных утверждений да нет 1. Через любую точку плоскости можно провести прямую. да нет 2. Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую. да нет 3. Существует точка плоскости, через которую можно провести прямую. Ответ: 13 68

Повторение (подсказка) Сколько прямых можно провести через точку на Через точку на плоскости можно провести плоскости? бесконечно много прямых. Существует ли точку плоскости можнокоторую точка плоскости, через провести Через любую нельзя провести прямую? прямую. 69

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 13 (6) Повторение Укажите номера верных утверждений да нет 1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. да нет 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 90⁰ да нет 3. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые перпендикулярны. Ответ: 1 70

Повторение (подсказка) Сформулируйте свойство параллельных прямых Если две параллельные прямые пересечены относительно соответственных углов третьей прямой, то соответственные углы равны Если две параллельные прямые пересечены Сформулируйте свойство параллельных прямых третьей прямой, то сума внутренних относительно внутренних односторонних углов равна 180° 71

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 13 (7) Повторение Укажите номера верных утверждений да нет 1. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180⁰, то прямые параллельны да нет 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны 75⁰ и 105⁰, то прямые параллельны да нет 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны Ответ: 3 72

Повторение (подсказка) Сформулируйте признак двух прямых третьей Если при пересечении параллельности двух прямых относительноуглы равны, то прямые накрест лежащие накрест лежащих углов. параллельны. Если при пересечении двух прямых третьей Сформулируйте признак параллельности двух соответственные углы равны, то прямые прямых относительно соответственных углов. параллельны. Сформулируйте признакдвух прямых третьей Если при пересечении параллельности двух прямых относительно внутренних сумма внутренних односторонних углов равна односторонних углов. 180°, то прямые параллельны. 73